3.2 GR do Efeito Kondo tradicional
3.2.3 Equação do GR
no qual matriz Σ obedece a seguinte relação de comutação:
Σa
, Σb = 4iabcΣc, (3.24)
onde abc é o símbolo de Levi-Civita.
3.2.3
Equação do GR
A partir dos Hamiltonianos linearizados (3.16) e (3.18), podemos aplicar a teoria de perturbação em até segunda ordem no acoplamento λ, onde a matriz S é dada por: S = T exp −i Z dtHI(0, t) , (3.25)
em que T é o ordenamento temporal. Inserindo o Hamiltoniano (3.18) e expandindo a exponencial em até a segunda ordem de λ, encontramos a seguinte expressão:
S = 1 − iλπvF Z dtΨ†(0, t)ΣΨ(0, t)· S(t) −1 2(λπvF) 2Z dtdt0TSa(t)Sb(t0) · T Ψ†(0, t)ΣaΨ(0, t)Ψ†(0, t0)ΣbΨ(0, t0) + · · · . (3.26)
A proposta baseia-se em integrar os modos de altas energias e substituir o
Capítulo 3. Grupo de Renormalização (GR) 49
Figura 3.3: Diagrama de Feynman para a interação Kondo, onde a linha pontilhada é o eixo de interação e a linha cheia representa o propagador do elétron.
Fonte: ELABORADO PELO AUTOR.
acoplamento de λ → λefe(`), onde ` = ln (Λ/Λ0) com Λ sendo o antigo cutoff de energia e
Λ0 o novo (ver Fig. 3.2), escrito da forma:
Λ0 = Λ − dΛ. (3.27)
Considere o termo de segunda ordem de λ, escrito da seguinte forma:
−1
2(λπvF)
2Z
dtdt0TSa(t)Sb(t0) · T Ψ†(0, t)ΣaΨ(0, t)Ψ†(0, t0)ΣbΨ(0, t0) . (3.28) Esta expressão fornece o diagrama na figura 3.3, que é de primeira ordem (tree level). Podemos simplificar (3.28) utilizando o teorema de Wick [92], logo encontramos
−1 2(λπvF) 2Z dtdt0T Sa(t)Sb(t0) Ψ†(0, t)Σa, Σb Ψ(0, t) hT Ψ(0, t)Ψ†(0, t0)i , = (λπvF)2 Z dtdt0sgn(t − t0)Ψ†(0, t)ΣΨ(0, t)· S hT Ψ(0, t)Ψ†(0, t0)i , (3.29) onde utilizamos a relação de comutação (3.24) e a função sinal sgn(t − t0), que aparece do produto de spin ordenado temporalmente, definido por:
T Sa(t)Sb(t0) = θ(t − t0)SaSb+ θ(t0 − t)SbSa , (3.30) em que θ(t − t0) é a função degrau de Heaviside. O spin do estado localizado S obedece à seguinte relação de comutação:
Sa, Sb = iabcSc. (3.31)
Capítulo 3. Grupo de Renormalização (GR) 50
Também usamos a função de Green matricial de tempo ordenado para os elétrons livres, dada por:
G(t − t0) = −i hT Ψ(0, t)Ψ†(0, t0)i
= − I4
2πvF(t − t0)
, (3.32)
onde I4 é uma matriz identidade 4 × 4. Expandindo o termo Ψ†(0, t)ΣΨ(0, t0) em série de
Taylor em torno de t0, obtemos
Ψ†(0, t)ΣΨ(0, t0) ∼= Ψ†(0, t0)ΣΨ(0, t0) + (t − t0)∂t0Ψ†(0, t)ΣΨ(0, t0) + · · · , (3.33)
onde os termos com ∂t0 são irrelevantes no sentido do GR, e por isso são desprezados nesta
análise. Dessa forma, reduzimos a expressão (3.29), como segue
−iπvF λ2 2 Z 1 Λ<|t−t 0|<1 Λ0 d(t − t0) |t − t0| Z dtΨ†(0, t)ΣΨ(0, t)· S. (3.34) O passo do GR no tempo real é integrar curtos intervalos de tempo entre os processos de espalhamento 1/Λ < |t − t0| < 1/Λ0. A integral do intervalo de tempo (t − t0),
será Z 1 Λ<|t−t0|< 1 Λ0 d(t − t0) |t − t0| = 2 Z Λ01 1 Λ d(t − t0) t − t0 = 2 ln Λ Λ0 . (3.35)
Substituindo a equação (3.35) na expressão (3.34), temos
−iπvFλ2ln
Λ Λ0
Z
dtΨ†(0, t)ΣΨ(0, t)· S. (3.36) Comparando com a primeira ordem de λ na matriz S em (3.26), obtemos que a segunda ordem de λ corrige a primeira. Temos que λefe(`) pode ser escrita em termos
da escala `, como segue
λefe(`) = λ + λ2ln
Λ Λ0
. (3.37)
Podemos então determinar a equação do GR, derivando (3.37) com respeito ao ln(Λ/Λ0),
Capítulo 3. Grupo de Renormalização (GR) 51
Figura 3.4: Fluxo do GR para o acoplamento Kondo efetivo. Fonte: ELABORADO PELO AUTOR.
assim encontramos a seguinte relação: dλefe(`)
d ln(Λ/Λ0) =
dλ d` = λ
2, (3.38)
integrando a equação (3.38), encontramos o acoplamento efetivo λefe(`), dado por
λefe(`) =
λ0
1 − λ0ln ΛΛ0
. (3.39)
O acoplamento Kondo efetivo λefe(`) depende do comportamento de λ0, que é
o acoplamento Kondo “despido”, determinado pela condição inicial do GR. Para λ0 > 0,
que corresponde ao caso de acoplamento antiferromagnético, λefe(`) diverge e o fluxo do
GR irá para o que chamamos de regime de acoplamento forte (ver Fig. 3.4). Para esse caso, o acoplamento λ é dito marginalmente relevante devido a sua primeira ordem na função beta (3.38) ser nula. No limite λefe → ∞, um elétron próximo à origem forma
um singleto com o spin da impureza. Os outros elétrons se propagam livremente, porém não entram no orbital localizado do elétron blindado, pois teriam que quebrar o singleto e isso custaria uma alta energia na ordem de TK (que é a escala de energia importante
em baixas energias). Quando λ0 < 0, ocorre o caso ferromagnético, em que λefe(`) → 0, e
o fluxo GR tende ao regime de acoplamento fraco. O acoplamento Kondo adimensional λ é marginalmente irrelevante. Neste regime, o spin desacopla dos fios, e os outros elétrons não passam pela origem e ficam presos no eixo positivo ou negativo, levando a uma reflexão perfeita.
Capítulo 4
Modelo Kondo não Hermitiano PT
simétrico
Sistemas abertos com ganho e perda balanceados podem ser estudados através de Hamiltonianos não Hermitianos PT simétricos [19]. O trabalho desenvolvido por Longhi [52] permite ter ganho e perda controlados através de sítios auxiliares com potenciais complexos. O processo de hopping não Hermitiano pode levar a um tunelamento alternativo por meio de sítios auxiliares acoplados a um reservatório. Os estados dos sítios auxiliares são denominados estados intermediários que, por sua vez, são os estados que controlam a taxa de hopping. O estado intermediário pode estar acoplado aos estados |1i e |2i (dois sítios da rede conectados pelo estado intermediário) (ver Fig. 4.1), que não possuem hopping entre si. Este estado intermediário produz uma taxa de decaimento e um hopping efetivo complexo. Para a segunda ordem de teoria de perturbação para t , o hopping efetivo toma a seguinte forma
tefe =
t2
ε − iγ ≡ we
iφ, (4.1)
onde γ é a taxa de decaimento, ε é a energia do estado intermediário, com w ∈ R e φ ∈ [−π, π]. Assim, podemos escrever um Hamiltoniano efetivo não Hermitiana como segue Hefe= weiφ c†1c2 + c † 2c1 . (4.2) 52
Capítulo 4. Modelo Kondo não Hermitiano PT simétrico 53
Figura 4.1: Estados |1i e |2i, sem hopping entre si, são acoplados a um estado intermediário que controla a taxa de hopping com uma taxa de decaimento γ e energia ε.
Fonte: ELABORADO PELO AUTOR.
Veja que o hopping torna-se hermitiano para os valores de φ = 0, π. Temos que φ pode ser positivo ou negativo, dependendo do sinal de γ. Isto está relacionado a ganho ou perda no sítio intermediário.
4.1
Modelo
Nesta seção, apresentaremos o modelo estudado na tese. Tomamos como ponto de partida o modelo de Anderson (2.19) que descreve o transporte entre dois fios através de um ponto quântico (ver Fig. 2.4). Além do hopping usual entre o ponto quântico e os fios, consideramos um processo de hopping não Hermitiano similar a (4.2) onde sítios auxiliares se encontram acoplados a um reservatório de partículas [52]. O Hamiltoniano que descreve esse processo será
HPT = weiφ c†1cd+ c † dc1 + we−iφc†−1cd+ c † dc−1 , (4.3)
observe que weiφ (we−iφ) é a amplitude de hopping não Hermitiano entre o estado localizado e o fio da esquerda (direita). Dessa forma, adicionando o Hamiltoniano HPT
ao modelo de Anderson (2.19), podemos escrever o Hamiltoniano não Hermitiano PT
Capítulo 4. Modelo Kondo não Hermitiano PT simétrico 54
Figura 4.2: Representação esquemática do modelo de Anderson com hopping não Hermitiano PT simétrico entre o ponto quântico e os fios.
Fonte: LOURENCO; ENEIAS; PEREIRA (2018) [105]. simétrico como segue
H = H + H¯ PT,
= Ht+ Ht0 + Hd+ HPT, (4.4)
onde Ht é o Hamiltoniano que descreve o hopping dos elétrons nos fios (2.20), Ht0 é o
Hamiltoniano de tunelamento dos elétrons nas bordas dos fios com o estado localizado (2.21) e Hd é o Hamiltoniano que caracteriza o estado localizado (2.22). Veja que o
Hamiltoniano (4.4) é não Hermitiano para φ 6= 0, π, mas preserva a simetria PT com as transformações de paridade e reversão temporal definidas por
P : cj 7→ c−j, (4.5)
T : i 7→ −i, cj 7→ iσycj, cd7→ iσycd, (4.6)
onde σy é a matriz de Pauli no espaço de spin como definida em (2.14). O modelo (4.4) possui simetria partícula buraco para U = −2εd > 0 e momento de Fermi kF =
π hc†jcji /2 = π/2 nos fios (fixando o espaçamento da rede a = 1).