Equação do movimento e RAO (Response Amplitude Operator)

6) H1/3 é a altura significativa da onda [m], definida conforme das alturas de 1/3

das ondas de maior amplitude

2.9. Equação do movimento e RAO (Response Amplitude Operator)

Nesta etapa será analisado o movimento de um corpo rígido flutuante, totalmente submerso oscilando verticalmente devido ao movimento das ondas.

Uma boia submersa pode movimentar-se em todas as direções, no entanto, neste trabalho será considerado que o flutuador está conectado ao leito marinho por uma estrutura que restringe seus movimentos em outras dimensões, podendo-se considerar que o movimento do conversor ocorre apenas no eixo vertical, ou seja, há apenas movimento de arfagem, ou heave.

A interação entre o flutuador e as ondas incidentes causa mudanças no movimento natural das ondas, fazendo com que forças atuem sobre o flutuador e que energia seja transferida para o corpo.

A equação que determina a dinâmica do flutuador sob movimento de heave causado por uma onda é apresentada abaixo [11]

𝑚𝑍̈(𝑡) = 𝐹_𝑓(𝑡) + 𝐹_𝑃𝑇𝑂(𝑍, 𝑍̇, 𝑡) (2.9.1)

Onde 𝐹_𝑓 representa as forças induzidas pelo fluido/onda, enquanto que 𝐹_𝑃𝑇𝑂 é a resultante das forças de resistência exercidas pelo sistema PTO, força esta que é aplicada intencionalmente para a tomada de potência. Tem-se ainda que 𝑚 é a massa total do sistema e Z(t) é a posição vertical da boia, sendo Z = 0 a posição vertical do flutuador em sua posição de equilíbrio.

A força induzida pelo fluido no flutuador totalmente submerso pode ser decomposta de acordo com a teoria linear de onda, de forma que:

𝐹_𝑓(𝑡) = 𝐹𝑚_𝑎𝑑+ 𝐹_𝑒(𝑡) (2.9.2) Ou,

𝐹_𝑓(𝑡) = −𝑚_𝑎𝑑. 𝑧̈(𝑡) + 𝐹_𝑒(𝑡) (2.9.3) As quatro

29 componentes que definem a força induzida pela onda são:

3. Força de Inércia Adicional

𝐹𝑚_𝑎𝑑 = −𝑚_𝑎𝑑. 𝑧̈(𝑡) é a força relacionada a massa adicionada ao corpo flutuante devido ao seu movimento oscilatório enquanto submerso no fluido, mad. Esse valor se origina do fato de que quando o corpo se move, a porção de água em volta dele também se desloca. O valor da massa adicionada depende da frequência, embora essa dependência diminua conforme o corpo se aproxima do leito marinho.

4. Força de Excitação

𝐹_𝑒(𝑡) é a força que atuaria no corpo caso este estivesse fixo em sua posição de equilíbrio estático. Essa força pode ser dividida em duas contribuições: de ondas incidentes e de ondas difratadas, ambas dependentes da amplitude de onda e da frequência.

𝐹_𝑒(𝑡) = 𝑅_𝑒[ζ_𝑎(𝑋)𝑒𝑖𝜔𝑡], 𝑋 = 𝑋_{𝑖𝑛𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒}+ 𝑋_{𝑑𝑖𝑓𝑟𝑎𝑡𝑎𝑑𝑜} (2.9.4)

Onde 𝑋_{𝑖𝑛𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒} representa as forças das ondas incidente e 𝑋_{𝑑𝑖𝑓𝑟𝑎𝑡𝑎𝑑𝑜} representa as forças das ondas difratadas. A componente 𝑋_{𝑖𝑛𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒} é obtida através da integração da pressão exercida pelas ondas incidentes na área da superfície molhada do corpo, essa contribuição também é conhecida como força de Froude-Krylov. Já a componente relativa as ondas difratadas pode ser negligenciada para corpos suficientemente pequenos em relação ao comprimento da onda [11]. Essa simplificação é conhecida como Aproximação de Froude-Krylov e é válida para boias com raio pequeno quando comparados ao comprimento das ondas, como é o caso neste trabalho.

Com relação as forças de resistência geradas pelo power take-off system (PTO), as mesmas podem ser representadas por um modelo linear consistente de uma massa ligada à uma mola e um amortecedor, em paralelo. A mola é definida através de sua constante elástica 𝑘_𝑃𝑇𝑂, enquanto que o amortecedor é representado por seu coeficiente de amortecimento 𝑏_𝑃𝑇𝑂, um desenho esquemático do sistema é apresentado na figura a seguir. Tem-se assim que a equação relativa a força total do sistema PTO é a que segue:

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Figura 23: Figura esquemática do conversor de energia de ondas e seus elementos

Após identificadas todas as forças atuantes no sistema pode-se por fim se obter a equação que modela a resposta do flutuador oscilando em heave para ondas regulares de frequência constante igual a 𝜔.

(𝑚 + 𝑚_𝑎𝑑)𝑍(𝑡)^̈ + 𝑏_𝑃𝑇𝑂𝑍(𝑡)^̇ + 𝑘_𝑃𝑇𝑂𝑍(𝑡) = 𝐹𝑒. 𝑒𝑖𝜔𝑡 (2.9.6) Onde,

1) z: deslocamento do flutuador em [m]

2) 𝑧̇: velocidade vertical do flutuador em [m/s] 3) 𝑧̈: aceleração vertical do flutuador em [m/s2]

4) m: massa do sistema em [kg]

5) mad: massa adicional do flutuador em [kg]

6) bPTO: coeficiente de amortecimento do sistema de PTO em [kg/s] 7) kPTO: rigidez do sistema PTO em [kg/s2]

31 8) Fe: força externa de excitação no flutuador devido a ondas incidentes e

difratadas em [N]

Para encontrar a solução particular desta equação deve-se considerar que a força de excitação externa pode ser expressa por:

𝐹𝑒(𝑡) = 𝐹_𝑒. 𝑒^{𝑖(𝜔𝑡+𝜀}𝑓) , onde 𝐹_𝑒 é a amplitude da força e 𝜀_𝑓 é a fase da força Assim, o deslocamento vertical será uma função da forma:

𝑍(𝑡) = 𝑍₀. 𝑒^{𝑖(𝜔𝑡+𝜀}𝑧), sendo 𝑍₀ a amplitude do deslocamento vertical e 𝜀_𝑧 a fase do deslocamento vertical

𝑧̇(𝑡) = 𝑖𝜔𝑧₀. 𝑒^{𝑖(𝜔𝑡+𝜀}𝑧̇), sendo 𝜀_𝑧̇ = 𝜀_𝑧+^𝜋

2 a fase da velocidade vertical 𝑧̈(𝑡) = −𝜔²𝑧₀. 𝑒^{𝑖(𝜔𝑡+𝜀}𝑧̈), sendo 𝜀_𝑧̈ = 𝜀_𝑧+ 𝜋 a fase da aceleração vertical Substituindo esses valores na equação do movimento (2.9.6) chega-se a:

𝑍₀ = ^𝐹𝑒

−𝜔2(𝑚 + 𝑚_𝑎𝑑) + 𝑖𝜔(𝑏_𝑃𝑇𝑂) + 𝑘_𝑃𝑇𝑂 ^(2.9.7)

Em geral, trabalha-se com a versão adimensional deste resultado denominada RAO (Response Amplitude Operator). O RAO é a resposta do corpo oscilante à amplitude da onda incidente e é obtido dividindo-se ambos os lados da equação pela amplitude da onda. Assim: 𝑅𝐴𝑂 =^𝑍0 ζ_𝑎 ⁼ 𝐹𝑒 ζ_𝑎 ⁄ −𝜔2(𝑚 + 𝑚_𝑎𝑑) + 𝑖𝜔(𝑏_𝑃𝑇𝑂) + 𝑘_𝑃𝑇𝑂 ^(2.9.8)

No projeto de um sistema flutuante de geração de energia deve-se considerar que há uma situação ótima do movimento do flutuador em relação à onda incidente que permite que a máxima conversão de energia possível. Tal situação ocorre quando a frequência natural do flutuador é igual a frequência da onda incidente, ou seja, quando o sistema está em ressonância [28]. Assim é possível projetar o conversor de tal forma que a sua frequência natural seja igual a frequência da onda média que ocorre no local de instalação.

32 A frequência natural de um sistema massa, mola é igual a raiz quadrada do coeficiente de rigidez dividido pela massa total, assim, para o sistema em questão, tem-se que a frequência natural 𝜔_𝑛 será dada por:

𝜔_𝑛 = √ ^{𝑘𝑃𝑇𝑂}

𝑚 + 𝑚_𝑎𝑑 ^(2.9.9)

Entretanto, mesmo ciente desta relação, é bastante improvável que o conversor funcione em seu máximo potencial por longos períodos de tempo uma vez que as frequências das ondas na localidade podem apresentar grandes variações, tornando difícil a ocorrência do fenômeno de ressonância.