Equações e Considerações Fundamentais

As leis fundamentais que regem as equações dos balanços de massa, momento e energia compõem a base para o desenvolvimento de modelos hidrodinâmicos. Contudo, são equações bastante complexas para resolução de forma numérica, tornando-as inviáveis para aplicação em amplas regiões e/ou extensos períodos de análise. Neste contexto, faz-se necessária a aplicação de aproximações (Ji, 2008).

Nos tópicos seguintes serão abordadas as principais aproximações matemáticas utilizadas pelos modelos hidrodinâmicos que simplificam processos físicos e facilitam as operações matemáticas, resguardando um certo grau de fidelidade quanto aos fenômenos naturais.

23 3.3.2.1. Aproximação de Boussinesq

Na aproximação de Boussinesq, considera-se que a densidade do fluido é dependente apenas da temperatura, ignorando a influência da pressão (Zárete e Sengers, 2005). Conforme Drazin e Reid (1995), a fundamentação teórica para esta aproximação se deve ao fato que, em alguns fluxos, a variação de temperatura é mínima e, consequentemente, a densidade também varia pouco e, desse modo, a força de empuxo é a principal atuante no movimento. A formulação adquire a forma da Equação 3.13 quando há pequena diferença de densidade entre a superfície e o fundo da coluna de água.

𝜌 = 𝜌0[1 − 𝛼(𝜃 − 𝜃0)] (3.13)

em que, 𝜌₀ é a densidade do fluido na temperatura 𝜃₀ na parte inferior da coluna de água e 𝛼 é o coeficiente de expansão volumétrica.

A aproximação de Boussinesq é comumente empregada na representação do empuxo em fluidos incompressíveis, particularmente nos casos onde a densidade independe da pressão da água (Ji, 2008).

3.3.2.2. Aproximação de Distribuição da Pressão Hidrostática

Em diversas aplicações nas áreas de hidrodinâmica, meteorologia e oceanografia, convencionou-se definir o gradiente de pressão na coluna de água como sendo oriundo apenas da pressão hidrostática, consideração decorrente da grande disparidade entre as escalas horizontal e vertical verificada na maioria dos corpos de água. A aproximação da pressão hidrostática considera que o gradiente vertical de pressão é equilibrado pela força de empuxo exercida pelo fluido. Essa premissa é válida considerando que a parcela de pressão devido à aceleração vertical assume valores significativamente menores, podendo então ser desprezada nos equacionamentos (Graebel, 2007; Ji, 2008).

Segundo Ji (2008), a equação do momento na vertical, derivada da equação de Navier-Stokes (Equação 3.10), pode ser escrita como:

𝑑𝑤 𝑑𝑡 + 𝑔 + 1 𝜌 𝜕𝑝 𝜕𝑧 = 0 (3.14)

em que 𝑤 representa a componente da velocidade na vertical, 𝑡 o tempo, 𝑔 a aceleração da gravidade, 𝜌 a massa específica, 𝑝 a pressão da água e 𝑧 a coordenada vertical. Aplicando- se a aproximação de distribuição da pressão hidrostática, o termo 𝑑𝑤 𝑑𝑡⁄ assume o valor zero, e, portanto, a Equação 3.14 adquire a forma da Equação 3.15.

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𝜌 𝜕𝑝

𝜕𝑧 = −𝑔 (3.15)

Diversos modelos hidrodinâmicos disponíveis incluem a aproximação hidrostática na sua rotina de cálculos, partindo da premissa que a dimensão da profundidade do lago ou reservatório seja muito menor que a largura do espelho de água e que, portanto, a equação vertical do momento pode ser reduzida à aproximação da pressão hidrostática (Sisbahia- COPPE; DELTARES, 2014a; U.S. Environmental Protection Agency, 2007).

3.3.2.3. Condições Iniciais e de Contorno

Nas mais diversas aplicações, as equações hidrodinâmicas e de qualidade da água requerem condições iniciais e de contorno apropriadas para a representação dos fenômenos físicos, químicos e biológicos nos modelos hidrodinâmicos. Na resolução das equações de forma numérica, faz-se necessária a inserção dessas informações para estabelecer os limites e as condições iniciais dos fenômenos analisados (Zárate e Sengers, 2005; Ji, 2008).

As condições iniciais representam o estado em que se encontra o corpo hídrico no momento inicial da simulação, e os dados inseridos devem ser oriundos de outras fontes, não do resultado da própria simulação. Ressalta-se que as condições iniciais são necessárias apenas em simulações que consideram a dependência do tempo, dado que a evolução do sistema no tempo se dará conforme as condições impostas para o início do processo. As condições de contorno, por sua vez, referem-se às forçantes que condicionam a simulação do modelo, não sendo calculadas por ele, apenas afetando-o. As condições de contorno interferem em diversos processos hidrodinâmicos simulados pelo modelo, incluindo, correntes, taxas de mistura e transferência de calor (Ji, 2008).

3.3.2.4. Validação, Calibração, Verificação

Um modelo matemático selecionado para resolução de um determinado problema precisa ser avaliado por testes iniciais, calibração e verificação. Inicialmente, o modelo deve ser testado para simular um processo simples em pequena escala para qual os resultados sejam conhecidos, ou possam ser facilmente obtidos de forma analítica ou por medições. Esse processo assegura a adequabilidade do modelo em representar a situação em análise (Popescu, 2014). O modelo pode ser calibrado com dados experimentais e, em seguida, o desempenho do modelo é medido por meio da verificação.

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Os processos de calibração e verificação são essenciais para o desenvolvimento de modelos hidrodinâmicos e de qualidade da água. Na etapa de calibração, o usuário deve selecionar um conjunto de valores para os parâmetros de interesse, estabelecendo uma amplitude aceitável de variação, com o intuito de minimizar as diferenças entre os resultados produzidos pelo modelo e os dados observados para uma determinada série de dados, definindo uma faixa mínima aceitável de acurácia. Na etapa subsequente, de verificação, um segundo conjunto de dados independentes é utilizado para avaliar a aptidão do modelo em representar o comportamento do corpo hídrico de forma realista (Tang et al., 2017).

A qualidade da calibração é avaliada considerando um conjunto de critérios, os quais dependem dos objetivos propostos pelo modelador. Vale ressaltar que não é incomum que exista interdependência entre parâmetros, principalmente para modelos muito complexos, no sentido que a modificação de um deles repercuta em outro, o que pode dificultar ou mesmo impedir a obtenção do conjunto de parâmetros ótimos. A verificação, por sua vez, deve ser objetiva e atender a diversos testes com o intuito de assegurar a validade das equações do modelo e do código computacional utilizados, considerando ainda as condicionantes do teste (Popescu, 2014).