Na seção 2.1, apresentou-se a Equação de Difusão de Nêutrons Monoenergéticos e salientou-se que esse modelo apresenta limitações quanto à precisão, pois o intervalo de energia dos nêutrons pode variar de oito a nove ordens de magnitude (aproximadamente 0,01 eV até 10 MeV). Regiões de baixa energia (< 0, 1 eV), onde a seção de choque de absorção decresce acentuadamente com o aumento da energia dos nêutrons (ver Figura 2.2), a seção de choque é inversamente proporcional à velocidade do nêutron. Já para regiões com energia entre 0, 1 a 1000 eV, a seção de choque de absorção cresce muito rapidamente para certas energias e então cai novamente. Em outras palavras, pode-se interpretar esse comportamento analisando a quantidade de tempo que o nêutron perma- nece na vizinhança do núcleo: quanto maior a velocidade do nêutron, mais rapidamente ele se retira dessa vizinhança e menor a chance de ser absorvido e causar uma ssão. Então, como a maioria das ssões acontecem no grupo térmico, gerando nêutrons com energias elevadas, é comum utilizar dois grupos de energia. Desta maneira, denominam- se nêutrons térmicos os nêutrons com energias menores que 1 eV e nêutrons rápidos os nêutrons com energia entre 1 eV e 10 MeV. A Figura 2.7 mostra a divisão da energia dos nêutrons em dois grupos de energia para um reator térmico. Em vista disso, com dois grupos de energia e utilizando parâmetros ponderados através de muitos grupos com a Teoria de Transporte, a solução se torna su cientemente precisa para cálculos em difusão.
E2= 0
Grupo 2 (térmico) Grupo 1 (rápido)
E1 1 eV E0 10 MeV
Figura 2.7 Divisão da energia dos nêutrons em dois grupos de energia para um reator térmico.
Utilizando-se dois grupos de energia, por consequência, deve-se ter dois uxos (Φ1
e Φ2), onde o primeiro representa o grupo rápido e o segundo, o grupo térmico. Também
precisam-se de duas seções de choque macroscópicas de remoção (Σr1 e Σr2), duas seções
de choque macroscópicas de ssão (Σf 1 e Σf 2), seus respectivos números de nêutrons
produzidos na ssão (ν1 e ν2) e dois coe cientes de difusão (D1 e D2).
Diante disso, pode-se de nir inicialmente: Fluxo Rápido = Φ1(r, t) = Z E0 E1 Φ(r, E, t)dE, (2.78) e: Fluxo Térmico = Φ2(r, t) = Z E1 E2 Φ(r, E, t)dE. (2.79)
Nesse caso, com dois grupos de energia, as ssões ocorrem no grupo térmico, em que os nêutrons possuem energia apropriada para causar esse tipo de reação. Os nêutrons gerados aparecem no grupo rápido, pois possuem grandes energias. Esse fato pode ser observado na Figura 2.8, que exibe o comportamento do uxo e do espectro de ssão para o modelo a dois grupos. Assim, para o espectro de ssão pode-se assumir que:
Figura 2.8 Comportamento do uxo e do espectro de ssão para o modelo a dois grupos. [Adaptado de Garland, 2014]
χ1 =
Z E0 E1
e:
χ2 =
Z E1 E2
χ(E)dE = 0. (2.81)
Deste modo, a fonte de nêutrons rápidos (Sf 1(r, t)) provenientes da ssão nuclear
é dada por:
Sf 1(r, t) = ν1Σf 1(r)Φ1(r, t) + ν2Σf 2(r)Φ2(r, t), (2.82)
enquanto que, para a fonte de nêutrons térmicos (Sf 2(r, t)), tem-se:
Sf 2(r, t) = 0. (2.83)
Admitindo que não ocorrem espalhamentos com upscattering, ou seja, os nêutrons do grupo térmico não espalham para o grupo rápido, então Σs21(r) = 0. Portanto, a seção
de choque macroscópica de espalhamento do grupo térmico pode ser escrita como:
Σs2(r) = Σs21(r) + Σs22(r) ⇒ Σs2(r) = Σs22(r), (2.84)
e por consequência, a seção de choque macroscópica de remoção para o grupo térmico torna-se:
Σr2(r) = ΣT 2(r) − Σs22(r) = Σa2(r). (2.85)
Diante desses conceitos e simpli cações, a Equação de Difusão de Nêutrons com dois grupos de energia é de nida como:
1 v1 ∂Φ1(r,t) ∂t = ∇ · D1(r)∇Φ1(r, t) − Σr1(r)Φ1(r, t) + ν1Σf 1(r)Φ1(r, t) +ν2Σf 2(r)Φ2(r, t), 1 v2 ∂Φ2(r,t) ∂t = ∇ · D2(r)∇Φ2(r, t) − Σa2(r)Φ2(r, t) + Σs12(r)Φ1(r, t). (2.86)
Observando as Equações 2.86, pode-se perceber que o uxo rápido é o termo fonte para os nêutrons térmicos através da reação de espalhamento do grupo 1 para o 2, en- quanto que o uxo térmico é a fonte para o grupo rápido através da reação de ssão. Devido a esse fato, nêutrons térmicos e rápidos tem uma distribuição espacial diferente, além da energética, que já foi citada anteriormente. Isso se justi ca pela razão de que a região dos moderadores tem a probabilidade maior de desacelerar os nêutrons rápidos e a região do combustível de causar ssões com os nêutrons térmicos, gerando nêutrons rápidos.
2.4.1 Equações de Difusão de Nêutrons com dois grupos de energia na criti- calidade
Assim como procedeu-se para o caso monoenergético, primeiramente assume-se um reator de dimensões in nitas e uniforme. Então, todos pontos no espaço são equivalentes, ou seja, o uxo de nêutrons e as propriedades são constantes no espaço. Além disso, o termo de fuga pode ser desconsiderado. Logo, pode-se escrever as Equações 2.86 como:
Σr1Φ1 = ν1Σf 1Φ1+ ν2Σf 2Φ2,
Σa2Φ2 = Σs12Φ1,
(2.87)
as quais podem ser escritas mais claramente como um sistema linear homogêneo de duas equações da seguinte forma [Garland, 2014]:
(Σr1− ν1Σf 1)Φ1− (ν2Σf 2)Φ2 = 0,
(−Σs12)Φ1+ (Σa2)Φ2 = 0.
(2.88)
A Equação 2.88 tem solução não trivial somente se o seu determinante for igual a zero, ou seja:
(Σr1− ν1Σf 1)(Σa2) − (ν2Σf 2)(Σs12) = 0. (2.89)
Assim como nos casos multigrupos e monoenergético, se esse balanço não for exata- mente satisfeito, então não existe solução não trivial para o sistema. Portanto, novamente inclui-se o parâmetro k∞ para proporcionar sentido físico ao sistema:
Σr1− ν1Σf 1 k∞ Φ1− ν 2Σf 2 k∞ Φ2 = 0, (−Σs12)Φ1+ (Σa2)Φ2 = 0, (2.90)
e sua devida condição de criticalidade é: Σr1− ν1Σf 1 k∞ (Σa2) − ν2Σf 2 k∞ (Σs12) = 0. (2.91)
A partir da condição de criticalidade dada pela Equação 2.91, obtém-se o valor do fator de multiplicação in nito:
k∞ =
ν1Σf 1Σa2+ ν2Σf 2Σs12
Σr1Σa2
. (2.92)
as Equações 2.86 tornam-se:
−D1∇2Φ1(r) + Σr1Φ1(r) = ν1Σf 1Φ1(r) + ν2Σf 2Φ2(r),
−D2∇2Φ2(r) + Σa2Φ2(r) = Σs12Φ1(r).
(2.93)
Pode-se buscar uma solução para o uxo de nêutrons da seguinte forma [Garland, 2014]: Φ1(r) Φ2(r) = A1φ(r) A2φ(r) , (2.94)
ou seja, reescrevem-se os uxos de maneira que se obtenha a amplitude dependente dos grupos vezes o uxo independente dos grupos. Substituindo essa Equação 2.94 dentro da segunda Equação do sistema 2.93, obtém-se:
− D2A2∇2φ(r) + A2Σa2φ(r) = A1Σs12φ(r), (2.95)
ou reescrevendo de outra forma: ∇2φ(r)
φ(r) = −
A1Σs12− A2Σa2
D2A2
. (2.96)
Assim como no caso monoenergético, analogamente à Equação 2.66, do lado di- reito da equação tem-se uma quantidade independente do espaço. Diante disso, pode-se escrever:
∇2Φ
g(r) = −B2GΦg(r), para g = 1, 2. (2.97)
Retornando para a análise das Equações 2.93, pode-se reescrevê-las na forma de um sistema linear homogêneo, substituindo a de nição de B2
G, obtendo-se:
(D1BG2 + Σr1− ν1Σf 1)Φ1(r) − (ν2Σf 2)Φ2(r) = 0,
(−Σs12)Φ1(r) + (D2BG2 + Σa2)Φ2(r) = 0,
(2.98)
em que a única solução não trivial existirá se o determinante da Equação 2.98 for igual a zero, ou seja:
(D1BG2 + Σr1− ν1Σf 1)(D2BG2 + Σa2) − (Σs12)(ν2Σf 2) = 0. (2.99)
Incluindo o fator de multiplicação efetivo a m de obter soluções não triviais, obtêm-se: D1BG2 + Σr1− ν1Σf 1 kef f Φ1(r) − ν 2Σf 2 kef f Φ2(r) = 0, (−Σs12)Φ1(r) + (D2BG2 + Σa2)Φ2(r) = 0, (2.100)
onde seu determinante, que proporciona a condição de criticalidade, é dado por: D1BG2 + Σr1− ν1Σf 1 kef f (D2BG2 + Σa2) − (Σs12) ν2Σf 2 kef f = 0. (2.101) Logo: kef f = (ν1Σf 1)(D2BG2 + Σa2) + (Σs12)(ν2Σf 2) (D1BG2 + Σr1)(D2BG2 + Σa2) . (2.102)