Consideremos o problema de Cauchy abstrato ˙u + Au = f (u), t > 0, u(0) = u0 ∈ Xα, (PVI)
onde A ´e um operador setorial em um espa¸co de Banach X com Re σ(A) > 0, f : Xα → X
´e localmente Lipschitz cont´ınua e α∈ [0, 1).
Defini¸c˜ao 1.4.1 Seja X um espa¸co de Banach, α ∈ [0, 1) e u0 ∈ Xα. Se, para algum real
τ > 0, a fun¸c˜ao u∈ C([0, τ), Xα) satisfaz que u(0) = u
0, u∈ C1([0, τ ), X), u(t)∈ D(A) e
(PVI) para cada t∈ (0, τ), ent˜ao u ´e chamado uma solu¸c˜ao local em Xα do (PVI).
Teorema 1.4.1 Sejam X um espa¸co de Banach, A : D(A)⊂ X → X um operador setorial em X com Re σ(A) > 0 e f : Xα → X localmente Lipschitz cont´ınua para algum α ∈ [0, 1).
Para todo u0 ∈ Xα, existe uma ´unica solu¸c˜ao em Xα, u = u(t, u0), do (PVI) definida sobre
um intervalo maximal de existˆencia [0, τu0) o qual significa que ou τu0 = +∞, ou
Se τ0 <∞, ent˜ao lim sup t→τu0−
ku(t, u0)kXα = +∞. (1.27)
Demonstra¸c˜ao. Ver [25], p´agina 62.
Lema 1.4.1 (F´ormula Integral de Cauchy) Sejam X um espa¸co de Banach, A : D(A) ⊂ X → X um operador setorial em X com Re σ(A) > 0, f : Xα → X localmente
Lipschitz cont´ınua para algum α ∈ [0, 1) e u ∈ C([0, τ), Xα). Ent˜ao u ´e uma solu¸c˜ao local
em Xα do (PVI) se, e somente se u satisfaz em X a equa¸c˜ao integral
u(t) = e−Atu0+
Z t 0
e−A(t−s)f (u(s))ds, para t∈ [0, τ). (1.28)
Prova. Ver [25], p´agina 57.
Corol´ario 1.4.1 (Localmente bem posto) Sejam X um espa¸co de Banach, A : D(A)⊂ X → X um operador setorial em X com Re σ(A) > 0, f : Xα → X localmente Lipschitz
cont´ınua para algum α∈ [0, 1) e u ∈ C([0, τ), Xα). Se u satisfaz em X a equa¸c˜ao integral
(1.28), ent˜ao
u∈ C (0, τ), X1, (1.29)
Prova. Ver [25], p´agina 66. Proposi¸c˜ao 1.4.1 Sejam X um espa¸co de Banach, A : D(A) ⊂ X → X um operador setorial em X com Re σ(A) > 0 e f : Xα → X localmente Lipschitz cont´ınua para algum
α ∈ [0, 1). Para qualquer conjunto limitado B ⊂ Xα, existe τ
B > 0 tal que as solu¸c˜oes
u(t, u0) do (PVI) com u0 ∈ B existem e s˜ao limitadas em Xα uniformemente para t∈ [0, τB]
e u0 ∈ B.
Prova. Ver [25], p´agina 66.
Proposi¸c˜ao 1.4.2 Sejam X um espa¸co de Banach, A : D(A) ⊂ X → X um operador setorial em X com Re σ(A) > 0 e f : Xα → X localmente Lipschitz cont´ınua para algum
α ∈ [0, 1). Se {un}n∈N ⊂ Xα e un → u0 em Xα, ent˜ao T0 := inf{τun : n ∈ N
∗} ´e positivo,
τu0 ≥ T0 (τun sendo a dura¸c˜ao do tempo de u(t, un)) e para todo T ∈ (0, T0),
sup
t∈[0,T ]ku(t, u
n)− u(t, u0)kXα n→∞−→ 0. (1.31)
Prova. Ver [25], p´agina 67.
Defini¸c˜ao 1.4.2 Uma fun¸c˜ao u = u(t) ´e chamada de solu¸c˜ao global em Xα do (PVI)
se cumpre com os requerimentos da Defini¸c˜ao 1.4.1 com τ = +∞.
Teorema 1.4.2 Sejam X um espa¸co de Banach, A : D(A)⊂ X → X um operador setorial em X com Re σ(A) > 0 e f : Xα → X localmente Lipschitz cont´ınua para algum α ∈ [0, 1).
Se f satisfaz a restri¸c˜ao de crescimento sublinear:
kf(u)kX ≤ ν(1 + kukXα), (1.32)
onde ν ´e uma constante positiva, ent˜ao existe uma ´unica solu¸c˜ao global em Xα do (PVI).
Prova. Ver [25], p´agina 70.
Se a qualquer dado inicial u0 ∈ Xα corresponde-lhe uma solu¸c˜ao global u(t, u0) do
(PVI), ent˜ao um C0−Semigrupo {T (t) : t ≥ 0} correspondente ao (PVI) pode ser definido
em Xα atrav´es da rela¸c˜ao
T (t)u0 = u(t, u0), t ≥ 0. (1.33)
Observa¸c˜ao 1.4.1 Lembremos a Defini¸c˜ao 1.2.1 e as propriedades da fam´ılia de operadores {T (t) : t ≥ 0} definida em (1.33). Da defini¸c˜ao da solu¸c˜ao em Xα para o
(PVI), segue-se imediatamente que
Como (PVI) ´e autˆonomo, a propriedade
T (t)T (s)u0 = T (t + s)u0, t, s ≥ 0, (1.34)
´e conseq¨uˆencia da unicidade das solu¸c˜oes. Finalmente a continuidade da aplica¸c˜ao [0, +∞) × Xα ∋ (t, u0)→ T (t)u0 = u(t, u0)∈ Xα
segue da Proposi¸c˜ao 1.4.2 e o fato que u(·, u0) ∈ C([0, +∞), Xα) (note que a Proposi¸c˜ao
1.4.2, lˆe-se que T (t)u0 ´e uniformemente continua como uma fun¸c˜ao de u0 com respeito a t
variando em subconjuntos compactos de [0, +∞)).
Teorema 1.4.3 Seja X um espa¸co de Banach sobre C e A : D(A)⊂ X → X um operador linear fechado. Ent˜ao ρ(A) ´e um subconjunto aberto de C e conseq¨uentemente σ(A) ´e um subconjunto fechado de C.
Al´em disso, se µ∈ ρ(A) e λ ∈ C tal que |µ − λ|k(µ − A)−1k
L(X) < 1, ent˜ao λ∈ ρ(A) e (λ− A)−1 = ∞ X n=0 (µ− λ)n(µ− A)−n−1. (1.35)
Demonstra¸c˜ao. Se µ ∈ ρ(A), ent˜ao (µ − A)−1 ∈ L (X). Se λ ∈ C, escrevemos
(λ− A) = (µ − A)[I − (µ − λ)(µ − A)−1]
e se |µ − λ|k(µ − A)−1k
L(X) < 1, segue que λ∈ ρ(A) e (1.35) est´a demonstrada.
Teorema 1.4.4 Seja X um espa¸co de Banach sobre C e A : D(A)⊂ X → X um operador linear. Se λ, µ∈ ρ(A), ent˜ao
(λ− A)−1− (µ − A)−1 = (µ− λ)(µ − A)−1(λ− A)−1 (1.36) e
(λ− A)−1(µ− A)−1 = (µ− A)−1(λ− A)−1. (1.37) Demonstra¸c˜ao. Note que
(µ− A)−1 = (µ− A)−1(λ− A)(λ − A)−1 = (µ− A)−1[(µ− A) + (λ − µ)I](λ − A)−1 = (λ− A)−1+ (λ− µ)(µ − A)−1(λ− A)−1
Corol´ario 1.4.2 Seja X um espa¸co de Banach complexo e A : D(A) ⊂ X → X um operador linear fechado. Ent˜ao, a fun¸c˜ao ρ(A)∋ λ 7→ (λ − A)−1 ∈ L (X) ´e anal´ıtica e
dn
dλn(λ− A)
−1 = (−1)nn!(λ− A)−n−1.
Prova. Fixe λ0 ∈ ρ(A) e observe que, de (1.36) e do fato que (1.35) converge uniformemente
para
|λ − λ0| ≤
1
2k(λ0− A)−1kL(X)
, ρ(A)∋ λ 7→ (λ − A)−1 ∈ L (X) ´e cont´ınua em λ
0. Novamente utilizando (1.36) temos que
ρ(A) ∋ λ 7→ (λ − A)−1 ∈ L (X) ´e deriv´avel em λ
0 e dλd(λ− A)−1 = −(λ − A)−2. O caso
geral segue da identidade
(λ−A)−n−(µ−A)−n = [(λ−A)−1−(µ−A)−1][(µ−A)−n+1+(µ−A)−n+2(λ−A)−1+· · ·+(λ−A)−n+1]
e de um simples argumento de indu¸c˜ao.
Teorema 1.4.5 (M´odulo M´aximo) Seja X um espa¸co de Banach complexo e Ω um subconjunto aberto e conexo de C. Seja f : Ω→ X uma fun¸c˜ao anal´ıtica em Ω e suponha quekf(λ)kX n˜ao ´e constante em Ω. Ent˜ao kf(λ)kX n˜ao pode atingir um m´aximo absoluto
em nenhum ponto de Ω.
Demonstra¸c˜ao. Suponha que existe λ0 ∈ Ω tal que kf(λ0)kX ≥ kf(λ)kX para todo
λ∈ Ω. Do Teorema de Hanh-Banach, existe x∗ ∈ X∗ com kx∗k
X∗ = 1 tal que x∗(f (λ0)) =
kf(λ0)kX. Segue que g = x∗◦f ´e uma fun¸c˜ao anal´ıtica em Ω com |g(λ)| ≤ |g(λ0)| para todo
λ∈ Ω. Do Teorema do M´aximo M´odulo no C, g ´e constante em Ω e x∗(f (λ)) =kf(λ 0)kX
para todo λ ∈ Ω. Por outro lado, kf(λ0)kX = x∗(f (λ)) ≤ kf(λ)kX para todo λ ∈ Ω e
chegamos a uma contradi¸c˜ao com o fato que kf(λ)kX n˜ao ´e constante.
Defini¸c˜ao 1.4.3 Um operador linear A : D(A) ⊂ X → X no espa¸co de Banach X com ρ(A)6= ∅ tem resolvente compacto se seu resolvente R(λ, A) = (λ0I− A)−1 ∈ K (X) para
algum λ0 ∈ ρ(A).
Proposi¸c˜ao 1.4.3 Seja A : D(A) ⊂ X → X um operador linear no espa¸co de Banach X com ρ(A) 6= ∅ e X1 := (D(A),k · kD(A)) onde k · kD(A) = k · kX +kA · kX. As seguintes
afirma¸c˜oes s˜ao equivalentes:
i) O operador A tem resolvente compacto. ii) A inje¸c˜ao canˆonica i : X1 ֒→ X ´e compacta.
Prova. Ver [28], p´agina 118. Observa¸c˜ao 1.4.2 Uma conseq¨uˆencia da identidade (1.36) ´e, se A tem resolvente compacto, ent˜ao R(λ, A) ´e compacto para todo λ∈ ρ(A). De fato, fazemos uso de
R(λ, A) = [I− (λ − λ0)R(λ0, A)]−1R(λ0, A) = ∞
X
n=0
(λ− λ0)nR(λ0, A)n+1,
onde λ, λ0 ∈ ρ(A) com |λ − λ0| < kR(λ0, A)k−1L(X) e o resultado segue.
Defini¸c˜ao 1.4.4 Um ponto λ0 ∈ σ(A) ´e dito ser um ponto isolado de σ(A), se existe
uma vizinhan¸ca U de λ0 tal que σ(A) ∩ U = {λ0}. Um ponto isolado de λ0 de σ(A) ´e
chamado um polo de A, ou simplesmente polo, se R(λ0, A) tem um polo em λ0. A ordem
de um polo λ0, ν(λ0), quer dizer a ordem de λ0 como um polo de R(λ0, A).
Teorema 1.4.6 Seja A : D(A) ⊂ X → X um operador linear fechado e com resolvente compacto no espa¸co de Banach X. Ent˜ao o espectro de A, σ(A), consiste inteiramente de autovalores isolados com multiplicidade finita.
Demonstra¸c˜ao. Ver [38], p´agina 187.
Teorema 1.4.7 Se λ ´e um polo de ordem ν(λ) = m≥ 1, ent˜ao i) N [(λ− A)m] = N [(λ− A)m+1];
ii) R[(λ− A)m] = R[(λ− A)m+1];
iii) R[(λ− A)m] ´e fechado;
iv) X = N [(λ− A)m]⊕ R[(λ − A)m];
v) a proje¸c˜ao espectral Q(λ, A) sobre N [(λ− A)m] correspondente `a decomposi¸c˜ao em
(iv) pode ser representada pela integral de contorno Q(λ, A)u = 1
2πi Z
Γλ
R(ξ, A)u dξ, (1.38)
onde Γλ ´e um circulo incluindo λ mas n˜ao outro ponto do conjunto discreto de
autovalores de σ(A) e u∈ X. Demonstra¸c˜ao. Ver [50], p´agina 330.
Teorema 1.4.8 Sejam A : D(A)⊂ X → X um operador fechado no espa¸co de Banach X e T : D(T )⊂ X → X um operador com D(A) ⊂ D(T ) tal que
kT ukX ≤ akukX + bkAukX, u∈ D(A), (1.39)
onde a e b s˜ao constantes n˜ao-negativas. Se existe um ponto ζ de ρ(A) tal que
ak(ζ − A)−1kL(X)+ bkA(ζ − A)−1kL(X) < 1, (1.40)
ent˜ao S = A + T ´e fechado e ζ ∈ ρ(S) com
k(ζ − S)−1kL(X) ≤ k(ζ − A)−1kL(X) 1− ak(ζ − A)−1kL(X)− bkA(ζ − A)−1kL(X)
−1
. (1.41) Em particular, se A tem resolvente compacto, ent˜ao S tem resolvente compacto.
Demonstra¸c˜ao. Ver [38], p´agina 214.
Teorema 1.4.9 (Alternativa de Fredholm) Seja A∈ K (X) no espa¸co de Banach X. Ent˜ao
a) N (I − A) ´e de dimens˜ao finita,
b) R(I− A) ´e fechado e R(I − A) = N(I − A∗)⊥,
c) N (I− A) = {0} ⇐⇒ R(I − A) = X, d) dim(N (I− A)) = dim(N(I − A∗)).
Demonstra¸c˜ao. Ver [16], p´agina 92.
Proposi¸c˜ao 1.4.4 Se A : X → Y ´e um operador linear limitado nos espa¸cos normados X e Y com imagem sendo um subespa¸co vetorial de dimens˜ao finita, ent˜ao A ´e um operador compacto.
Prova. Seja {un}n∈N uma seq¨uˆencia limitada em X, ent˜ao kAunkY ≤ kAkL(X,Y )kunkX;
isto ´e, {Aun}n∈N ´e limitada na imagem R(A) a qual ´e um espa¸co vetorial de dimens˜ao
finita. O Teorema de Bolzano-Weierstrass nos permite concluir que {Aunk}k∈N converge
para alguma subseq¨uˆencia de{un}n∈N.
Defini¸c˜ao 1.4.5 O semigrupo {T (t) : t ≥ 0} ´e dito ser compacto se T (t) : V → V ´e uma aplica¸c˜ao compacta no espa¸co m´etrico V para cada t > 0, isto ´e, T (t) leva conjuntos limitados em conjuntos precompactos.
Teorema 1.4.10 Sejam A : D(A) ⊂ X → X um operador setorial com Re σ(A) > 0 no espa¸co de Banach X e f : Xα → X ´e localmente Lipschitz cont´ınua para algum α ∈ [0, 1).
Se A tem resolvente compacto e a rela¸c˜ao T (t)u0 = u(t, u0) define um C0−Semigrupo
T (t) : Xα → Xα, t > 0, de solu¸c˜oes globais em Xα do (PVI). Ent˜ao, para cada t > 0, T (t)
´e uma aplica¸c˜ao compacta em Xα.
Prova. Ver [25], p´agina 80.