1.5 Conceitos B´asicos
1.5.5 Equa¸c˜oes Diferenciais Descont´ınuas
Considere a vers˜ao variante no tempo do sistema gen´erico afim no controle (1.1):
˙x = f (x, t) + g(x, t)u , (1.15)
sujeita a uma lei de controle descont´ınua u que assegure deslizamento ideal na su- perf´ıcie de deslizamento σ(x(t), t) = 0, com f e g sendo campos suaves. Durante o modo deslizante, as trajet´orias de (1.15) s˜ao definidas no sentido de Filippov (Filippov 1964, Filippov 1988), isto ´e, elas s˜ao definidas como solu¸c˜oes satisfazendo a inclus˜ao diferencial correspondente a (1.15), em quase todo lugar.
O sinal de controle u n˜ao ´e necessariamente uma fun¸c˜ao do tempo no sentido usual quando o modo de deslizamento ´e atingido. Para evitar o excesso de nota¸c˜ao, ueq(t)
denota fun¸c˜oes localmente integr´aveis que s˜ao equivalentes a u, no sentido de controle equivalente (Utkin 1978), para qualquer solu¸c˜ao de Filippov x(t) do sistema em malha fechada. Deve ser enfatizado que a solu¸c˜ao x(t) ´e absolutamente cont´ınua por defini¸c˜ao. Ent˜ao, para qualquer solu¸c˜ao, u poder´a ser substitu´ıdo por ueq(t) no lado direito da
equa¸c˜ao diferencial que rege a dinˆamica do sistema (Utkin 1992). Controle Equivalente Estendido
O controle equivalente em sistemas dinˆamicos com modos deslizantes ´e usualmente definido durante a fase de deslizamento (Utkin 1978, Cap´ıtulo II). O controle equiva- lente estendido foi definido por (Hsu & Costa 1996, Defini¸c˜ao 1.2) como uma genera- liza¸c˜ao que se aplica ao movimento completo do sistema, i.e., dentro e fora da superf´ıcie de deslizamento σ(x(t), t) = 0.
Seja x(t) uma solu¸c˜ao de (1.15) para t ∈ [0, T ). Ent˜ao, o controle equivalente estendido ´e uma fun¸c˜ao localmente integr´avel definida em quase todo o intervalo [0, T ), obtida a partir da derivada total dtdσ(x(t), t) e de (1.15), e ´e dado por
ueq(t) = [Sg(x(t), t)]−1 " d dtσ(x(t), t) − Sf (x(t), t) − ∂ ∂tσ(x(t), t) # , (1.16)
onde S := ∂x∂ σ(x(t), t) e det[Sg(x(t), t)] 6= 0, ∀x ∈ IRn, ∀t ∈ [0, T ), por hip´otese. Essa
express˜ao est´a bem definida uma vez que a solu¸c˜ao x(t) ´e absolutamente cont´ınua por defini¸c˜ao e, portanto, possui derivadas para quase todo o tempo.
No sentido usual, o controle equivalente ´e definido na superf´ıcie de deslizamento σ(x(t), t) = 0. Ent˜ao, para obtˆe-lo basta fazer σ ≡ 0 em (1.16). Pode-se verificar que, para o caso particular em que f (x, t) = Ax, g(x, t) = B e σ(x, t) = Sx (onde A, B e S s˜ao matrizes constantes) o controle equivalente estendido ´e igual a ueq = u, fora da
superf´ıcie σ ≡ 0, e ´e dado pela realimenta¸c˜ao de estados ueq = −(SB)−1SAx, durante
Cap´ıtulo 2
Classe de Sistemas e Formula¸c˜ao do
Problema
Neste trabalho considera-se a seguinte classe de plantas n˜ao-lineares:
˙x = Ax + φ(x, t) + B[u + φc(x, t)] , y = Cx , (2.1)
onde x = [ x1 x2 . . . xn ]T ∈ IRn ´e o estado da planta, u ∈ IRq ´e a entrada, y ∈ IRq
´e a sa´ıda medida, n ≥ q ≥ 1, φ : IRn×IR+→ IRn e φ
c : IRn×IR+→ IRq. Os termos φc e
φ ser˜ao encarados como perturba¸c˜oes n˜ao-lineares incertas, sendo φc uma perturba¸c˜ao
casada com respeito a entrada u, enquanto φ ´e descasada. As matrizes constantes A, B e C podem ser incertas. Note que apenas plantas multivari´aveis quadradas (mesmo n´umero de entradas e sa´ıdas) est˜ao sendo abordadas.
Especificada uma trajet´oria desejada ym(t), o problema de rastreamento de tra-
jet´oria consiste em projetar uma lei de controle u (via realimenta¸c˜ao de sa´ıda) que assegure a convergˆencia assint´otica do erro de sa´ıda (ou erro de rastreamento)
e(t) := y(t) − ym(t) (2.2)
para zero, ou para uma pequena vizinhan¸ca do zero, mantendo todos os sinais do sistema em malha fechada uniformemente limitados, independentemente das incertezas. A trajet´oria ym(t) ser´a especificada na Se¸c˜ao 2.4, como sa´ıda de um modelo linear
Se o problema for resolvido projetando-se u independentemente das condi¸c˜oes ini- ciais (planta/controlador), diz-se que u garante rastreamento global. Por outro lado, resolvendo-se o problema a partir de um conjunto compacto arbitr´ario de condi¸c˜oes iniciais, diz-se que u assegura rastreamento semi-global.
Sup˜oe-se que todos os parˆametros incertos de (2.1) possuam limitantes inferiores e superiores conhecidos, permitindo o projeto de leis de controle por modo deslizante via realimenta¸c˜ao de sa´ıda (OFSM). Sendo assim, a matriz de transferˆencia do subsistema linear de (2.1),
G(s) := C(sI − A)−1B , que ´e incerta, pertence a um subconjunto P de IRq×q(s).
As hip´oteses apresentadas a seguir devem ser satisfeitas para quaisquer valores das incertezas da planta, em particular ∀G(s) ∈ P. Elas caracterizam uma classe de plantas n˜ao-lineares, de fase m´ınima, multivari´aveis, com grau relativo bem definido e arbitr´ario e major´aveis linearmente pelo estado n˜ao medido.
2.1
Hip´oteses B´asicas
A seguinte hip´otese b´asica ´e considerada:
(H0) O subsistema linear ´e control´avel e observ´avel, ou seja, (A, B, C) ´e uma rea- liza¸c˜ao de ordem m´ınima (n) para G(s), com G(s) estritamente pr´opria e de posto (normal) completo.
Al´em disso, sup˜oe-se que:
(H1) Os zeros de transmiss˜ao de G(s) tˆem parte real estritamente negativa.
(H2) G(s) possui grau relativo vetorial uniforme ρ ≥ 1 e matriz interactor diagonal. A hip´otese (H0) e a hip´otese de fase m´ınima (H1) s˜ao usuais no controle por modelo de referˆencia (MRC) e s˜ao necess´arias uma vez que a formula¸c˜ao do MRC (Ioannou & Sun 1996) ser´a adotada para abordar o problema de rastreamento de trajet´oria. A hip´otese (H2) n˜ao precisa ser t˜ao restritiva. Na realidade, basta que G(s) possua grau relativo vetorial1 {ρ
1, ρ2, . . . , ρq}. Restringir o grau relativo vetorial a ser uniforme
(ρ1 = . . . = ρq = ρ) e a matriz interactor a ser diagonal ´e apenas conveniente para
simplificar a an´alise, o projeto e a nota¸c˜ao, e em nada compromete o resultado principal desta Tese.
Sem perda de generalidade, considera-se que todos os termos lineares em x de (2.1) est˜ao concentrados no termo Ax e que, portanto, φ(x, t) e φc(x, t) contˆem apenas termos
n˜ao-lineares em x. Considera-se tamb´em que as perturba¸c˜oes φ(x, t) e φc(x, t) s˜ao local-
mente Lipschitz em x (∀x), sendo φc cont´ınua por partes em t e φ suficientemente suave
em seus argumentos, ou seja, as componentes de φ s˜ao fun¸c˜oes reais de x1, . . . , xn, t
com derivadas parciais de qualquer ordem, definidas e cont´ınuas (Isidori 1995, pp. 6). A defini¸c˜ao de Filippov para equa¸c˜oes diferenciais com lado direito descont´ınuo (Filippov 1964) ´e adotada. Apenas o s´ımbolo u, sem o argumento t, representa uma lei de controle chaveada que n˜ao ´e uma fun¸c˜ao usual do tempo durante o regime em modo deslizante. Entretanto, u sempre pode ser substitu´ıdo pelo controle equivalente estendido ueq(t), definido na Se¸c˜ao 1.5, no lado direito da equa¸c˜ao diferencial que rege
a dinˆamica do sistema.