Equac¸ ˜oes de movimento - Acúmulo coerente de excitação na transparência eletromagneticamente

ns e interagem efetivamente com o átomo por um tempo te= 700 fs. Como a largura de cada pulso é algumas ordens de grandeza menor do que o per´ıodo de repetição (o que equivale a escrever tE << T), os pulsos são temporalmente bem espaçados, não ocorrendo sobreposição entre pulsos consecutivos. Além disso, como T < T1 o átomo não possui, no intervalo entre pulsos, tempo suficiente para decair por completo e o efeito de ac úmulo coerente ocorre.

Como apresentado e discutido no cap´ıtulo 3, independente do campo de prova, na situação em que a frequência de Rabi do campo de acoplamento é maior que a taxa de decaimento do n´ıvel excitado (Ω > γ), o campo induzirá um desdobramento do tipo Stark no n´ıvel at ômico excitado e o espectro de absorção passará a apresentar duas, e não mais uma, Lorentzianas de absorção (dubletos de Autler-Townes) como pode ser visto, por exemplo, na figura 3.6a (linha azul). Quando a relação entre a frequência de Rabi do campo de acoplamento e a taxa de decaimento do n´ıvel excitado é tal que Ω < γ, a separação entre os n´ıveis at ômicos vestidos torna-se pequena o suficiente para gerar dois caminhos indistingu´ıveis para a absorção do campo de prova1. Esses dois caminhos levam a uma interferência destrutiva e um cancela- mento da absorção do campo de prova é observado quando este está em ressonância com a transição |bi → |ai (δ = 0).

Neste trabalho observamos que a utilização do trem de pulsos ultracurtos permite estu- dar a dinâmica temporal da transferência da população at ômica do n´ıvel fundamental para os estados at ômicos vestidos induzidos pelo campo de acoplamento. Além disso, observamos uma largura de linha subnatural associada à ressonância de EIT. Ressonâncias do tipo EIT com largura de linha subnatural, que podem ser obtidas através de pulsos ultracurtos, poderão per- mitir melhorias nos estudos espectrosc ópicos para transiç ões at ômicas e moleculares. Alguns exemplos de aplicaç ões de trens de pulsos ultracurtos foram apresentadas no final da seção 3.5.

6.3 Equa¸c ˜oes de movimento

Seguindo os passos apresentados no cap´ıtulo 3, as equaç ões de Bloch para os elementos da matriz densidade do sistema interagente mostrado na figura 6.1a, já incluindo as taxas de

1_{Aqui é equivalente dizer que a separação entre os n´ıveis at ômicos vestidos (Ω) é menor que a incerteza no}

decaimento, s˜ao dadas por:

ρaa(t) = 0,5iα(t)[ρba(t) − ρab(t)] + 0,5iΩ[ρca(t) − ρac(t)] − γρaa(t); (6.6a) ˙ ρbb(t) = 0,5iα(t)[ρab(t) − ρba(t)] + 0,5γ ρaa(t); (6.6b) ˙ ρcc(t) = 0,5iΩ[ρac(t) − ρca(t)] + 0,5γ ρaa(t); (6.6c) ˙ ρab(t) = −Γabρab(t) + 0,5iα(t)[ρbb(t) − ρaa(t)] + 0,5iΩ ρcb(t); (6.6d) ˙

ρac(t) = −Γacρac(t) + 0,5iΩ[ρcc(t) − ρaa(τ )] + 0,5iα(t)ρbc(t)e (6.6e) ˙

ρcb(t) = −Γcbρcb(t) − 0,5iα(t)ρca(t) + 0,5iΩρab(t), (6.6f)

onde Γab = Γ∗_ba = i δ + γ/2, Γac = Γ∗_ca = γ/2 e Γcb = Γ∗_bc = i δ com δ sendo a dessinto- nia da frequência central dos pulsos em relação à transição at ômica |bi → |ai. Ω = 2dEc0/~ é a frequência de Rabi do campo de acoplamento, ressonante com a transição |ci → |ai, e α(t) = (2dEp0/~)fT(t) é a frequência de Rabi dependente do tempo do trem de pulsos. As equaç ões (6.6) diferem daquelas apresentadas nos cap´ıtulos anteriores pelo fato de, aqui, existir um campo de acoplamento cw, acoplando o n´ıvel fundamental |ci com o excitado |ai.

O trem de pulsos ultracurtos ´e constitu´ıdo por pulsos idˆenticos e possui um envelope αT rem(t)que varia lentamente dado por:

α_{T rem}(t) = ∞ X n=0

α(t − nT )ein∆ϕ, (6.7)

na qual T = 10 ns é o per´ıodo de repetição dos pulsos e ∆ϕ =0 é a diferença de fase entre dois pulsos consecutivos [98]. O perfil de cada um dos pulsos ultracurtos é gaussiano, possu´ı largura σ = 100 fs e é dado por:

α(t) = θ σe

−π(t/σ)2

, (6.8)

onde θ ´e a ´area de cada um dos pulsos.

A taxa de decaimento espontâneo do n´ıvel excitado |ai para os n´ıveis fundamentais |bi e |ci é γ = 2π×5,7 MHz. Tal valor equivale a um tempo de vida do n´ıvel excitado pr óximo a 28 ns. Desta forma, o per´ıodo de repetição dos pulsos ultracurtos é menor que o tempo de relaxamento do sistema at ômico de tal modo que os átomos não possuem tempo suficiente para que, no intervalo entre pulsos, sua população e coerência relaxem por completo. Em

98 6.3. EQUAC¸ ˜OES DE MOVIMENTO

outras palavras, garantindo esta condição para o per´ıodo de repetição dos pulsos - mais o fato de não existir diferença de fase entre pulsos consecutivos [61] - ocorrerá ac úmulo de população e coerência no meio at ômico a cada novo pulso que o atinge.

Para resolvermos o sistema de equaç ões acopladas (6.6) distinguimos novamente dois in- tervalos de tempo, isto é, aquele onde o pulso efetivamente interage com o meio (0 ≤ t ≤ te= 700 fs) e outro onde o pulso deixa de interagir com o meio e este fica sujeito somente aos efeitos causados pelo campo de acoplamento e pelos decaimentos espontâneos (te < t ≤ T). Durante o primeiro intervalo, como não é poss´ıvel obter uma solução anal´ıtica para as equaç ões (6.6), resolvemos o sistema numericamente através do método de Runge Kutta de 4a_{ordem. Já no} segundo intervalo acima citado, como o pulso deixa de interagir com o meio, o sistema (6.6) pode ser simplificado, se tornando:

∂ ∂tσaa(t) = 0,5iΩ[σca(t) − σac(t)] − γσaa(t); (6.9a) ∂ ∂tσbb(t) = 0,5γ σaa(t); (6.9b) ∂ ∂tσcc(t) = 0,5iΩ[σac(t) − σca(t)] + 0,5γ σaa(t); (6.9c) ∂ ∂tσab(t) = −Γabσab(t) + 0,5iΩ σcb(t); (6.9d) ∂

∂tσac(t) = −Γacσac(t) + 0,5iΩ[σcc(t) − σaa(t)]e (6.9e) ∂

∂tσcb(t) = −Γcbσcb(t) + 0,5iΩσab(t). (6.9f)

Este último conjunto de equaç ões constitui um sistema de equaç ões diferencias de primeira ordem, acopladas, e com coeficientes constantes o qual pode ser resolvido analiticamente. A solução anal´ıtica é trivial e é obtida quando reescrevemos o sistema de equaç ões (6.9) na seguinte forma:

∂

∂tR(t) = −A

0_{· R(t),}

(6.10)

equaç ões diferenciais (6.9) e é dada por: A0 =                         γ 0 0 0 iΩ/2 0 0 −iΩ/2 0 +γ/2 0 0 0 0 0 0 0 0 +γ/2 0 0 0 −iΩ/2 0 0 iΩ/2 0 0 0 0 Γab 0 0 0 0 −iΩ/2

iΩ/2 0 −iΩ/2 0 Γac 0 0 0 0

0 0 0 0 0 Γba iΩ/2 0 0 0 0 0 0 iΩ/2 Γbc 0 0 0 −iΩ/2 0 iΩ/2 0 0 0 0 Γca 0 0 0 0 −iΩ/2 0 0 0 0 Γcb                         . (6.11)

Desta forma, a solução do sistema no intervalo de tempo em que o pulso deixa de agir sobre a transição |bi → |ai, fica:

R(t) = e−A0t· R(t0m), (6.12)

onde R(t0m)é a condição inicial encontrada pelo m-ésimo pulso que interage com o átomo e o vetor solução é dado por:

R(t) =ρaa(t) ρbb(t) ρcc(t) ρab(t) ρac(t) ρba(t) ρbc(t) ρca(t) ρcb(t) T

. (6.13)

Resumindo, para obtermos as informaç ões acerca do sistema imediatamente antes do pr ó- ximo pulso, resolvemos numericamente para o primeiro intervalo de tempo considerado e uti- lizamos o resultado obtido em t = te como condição inicial [R(t0m)] para a solução anal´ıtica [equação (6.12)] que leva à nova condição inicial a ser experimentada pelo pulso seguinte. Esse procedimento é repetido iterativamente tantas vezes quanto for o n úmero de pulsos que dese- jamos fazer interagir com o meio at ômico.

No documento Acúmulo coerente de excitação na transparência eletromagneticamente induzida por um trem de pulsos ultracurtos (páginas 122-125)