Em 1929, o engenheiro telefónico dinamarquês Erlang considerou mais uma vez o problema da extinção dos nomes de família. O seu compa-triota Steffensen elaborou uma solução completa para o problema. Ele mostrou em particular que a expectativa do número de descendentes em cada geração cresce exponencialmente, fazendo assim a ponte entre os modelos estocásticos e determinísticos da população.
Agner Krarup Erlang nasceu em 1878 em Lønborg, Dinamarca. O seu pai era um mestre de escola. Entre 1896 e 1901, o jovem Erlang estudou Ma-temática, Física e Química na Universidade de Copenhaga. Depois ensinou vários anos em escolas secundárias, mantendo o interesse pela matemática, especialmente a teoria da probabilidade. Conheceu Jensen, engenheiro chefe da Companhia Telefónica de Copenhaga e matemático amador, que o con-venceu em 1908 a juntar-se ao novo laboratório de investigação da empresa. Erlang começou a publicar artigos sobre as aplicações da teoria da probabi-lidade à gestão de chamadas telefónicas. Em 1917 descobriu uma fórmula para os tempos de espera, que foi rapidamente utilizada pelas companhias telefónicas de todo o mundo. Os seus artigos, inicialmente publicados em dinamarquês, foram depois traduzidos em várias outras línguas.
Figura 18.1: Erlang (1878–1929)
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Em 1929, Erlang interessou-se pelo mesmo problema de extinção que Bi-enaymé, Galton e Watson tinham estudado antes dele para nomes de família e que Fisher e Haldane tinham estudado para genes mutantes. Tal como os seus antecessores, ele não tinha conhecimento de todos os trabalhos que tinham
sido publicados. Chamando de novo pka probabilidade de um indivíduo ter k
descendentes, notou que a probabilidade xnde extinção dentro de n gerações satisfaz xn= p0+ p1xn−1+ p2(xn−1)2+ · · · = f (xn−1) com x0= 0. Repa-rou também que a probabilidade global de extinção x∞, que é o limite de xn
quando n → +∞, é uma solução da equação x∞= f (x∞). Ele percebeu que
x= 1 era sempre uma solução e que existia outra solução entre 0 e 1 quando
o número médio de descendentes R0= f0(1) é maior que 1. No entanto,
parece que ele não conseguiu descobrir qual destas duas soluções era a solu-ção certa. Tal como Galton, apresentou o problema em 1929 a uma revista dinamarquesa de matemática, a Matematisk Tidsskrift:
«Pergunta 15. Quando a probabilidade de um indivíduo ter k filhos é pk, onde p0+ p1+ p2+ · · · = 1, encontra a probabilidade de a sua família se extinguir.»
Infelizmente, Erlang morreu nesse mesmo ano de 1929 com a idade de 51 anos. De facto, ele morreu sem filhos1.
Um professor de matemática actuarial na Universidade de Copenhaga, Johan Frederik Steffensen, abordou a questão de Erlang. Ele publicou em 1930 a sua solução na mesma revista dinamarquesa: a probabilidade de
ex-tinção x∞ é sempre a menor raiz da equação x = f (x) no intervalo fechado
[0, 1], como Bienaymé e Haldane já tinham notado. A demonstração de Stef-fensen é a que pode ser encontrada nos livros escolares modernos.
De facto, vimos que a probabilidade de extinção x∞é uma solução de
x= f (x) no intervalo fechado [0, 1]. Que x∗seja a menor solução deste tipo. Por definição, x∗6 x∞. Steffensen notou primeiro que x∗= f (x∗) > p0= x1. Assumir por indução que x∗> xn. Depois x∗= f (x∗) > f (xn) = xn+1uma vez que a função f (x) é crescente. Por isso x∗> xnpara todos os n. Tomando o limite, x∗> x∞. Assim, x∞= x∗.
Steffensen deu também uma explicação mais formal sobre a razão porque
x= 1 é a única raiz de x = f (x) quando o número médio de descendentes
R0= f0(1) é menor ou igual a 1 (figura 18.2a) e porque existe apenas uma
1Em sua memória, o Comité Consultivo Telefónico Internacional decidiu, em 1946, chamar «erlang» à unidade de medida da intensidade do tráfego telefónico. «Erlang» é também o nome dado a uma linguagem de programação pela empresa Ericsson.
Capítulo 18. Erlang sobre o problema da extinção (1929–1933) 107
outra raiz diferente de x = 1 no caso em queR0> 1 (figura 18.2b). Note-se queR0= f0(1) é o declive do gráfico da função f (x) quando x = 1.
Ele notou que para qualquer raiz de x = f (x),
1 − x = 1 − f (x) = 1 − p0− +∞
∑
k=1 pkxk= +∞∑
k=1 pk(1 − xk) .Assumindo x 6= 1 e dividindo por 1 − x, obtemos 1 = p1+ p2(1 + x) + p3(1 + x + x2) + · · · . Quando x aumenta de 0 para 1, o lado direito da equação aumenta de 1 − p0paraR0= f0(1). SeR0< 1, então a equação não tem solução. SeR0> 1 e se excluirmos o caso trivial em que p1= 1, então o lado direito da equação é uma função estritamente crescente de x. De outro modo, não haveria k> 2 tal que pk6= 0 eR0 seria igual
a p1< 1. Em conclusão, a equação tem uma e apenas uma solução no
intervalo [0, 1] quandoR0> 1. 0 1 1 0 1 1 x*
Figura 18.2: Gráfico das funções y = x e y = f (x) no exemplo do capítulo 17, f (x) = eR0(x−1), comR0= 0,75 < 1 (a) ouR0= 1,5 > 1 (b).
Steffensen, que foi também presidente da Sociedade Actuarial Dinamar-quesa e da Sociedade DinamarDinamar-quesa de Matemática, foi convidado para a Universidade de Londres em 1930. O seu colega britânico W. P. Elderton contou-lhe sobre o trabalho de Galton e Watson. Em 1933, Steffensen publi-cou um novo artigo nos anais do Instituto Henri Poincaré, onde tinha dado uma conferência em 1931. Tendo resumido os resultados do seu artigo em
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dinamarquês, comparou-os com os de Watson. Mostrou também que a expec-tativa matemática do número de descendentes na geração n é igual a (R0)n.
De facto, que pk,nseja a probabilidade de haver k descendentes na ge-ração n, partindo de um indivíduo na gege-ração 0. No seu artigo de 1930, Steffensen tinha notado, tal como os seus antecessores, que a função geradora fn(x) = ∑+∞k=0pk,nxkrelativa à geração n satisfaz f1(x) = f (x) e fn(x) = f ( fn−1(x)). Designe-se por Mna expectativa do número de descendentes na geração n. Então Mn= ∑+∞k=1k pk,n= fn0(1). Deri-vando a fórmula, obtemos fn0(x) = f0( fn−1(x)) × fn−10 (x). Por isso Mn= fn0(1) = f0( fn−1(1)) × fn−10 (1) = f0(1) × Mn−1=R0× Mn−1. Uma vez que M1= f0(1) =R0, segue-se que Mn= (R0)npara todos os n.
Assim, o número esperado de descendentes aumenta ou diminui
geome-tricamente dependendo seR0é maior ou menor que 1. O número esperado
de descendentes comporta-se como nos modelos determinísticos de cresci-mento populacional considerados por Euler, Malthus, etc. No entanto, mesmo quandoR0> 1, há uma probabilidade não nula x∞de a família se extinguir. Esta possibilidade não ocorre em modelos determinísticos.
O processo estocástico estudado por Steffensen e os seus predecessores é ainda o elemento básico de muitos modelos mais realistas de dinâmica po-pulacional. Mencionaremos este problema uma última vez no capítulo 20. Quanto a Steffensen, ele permaneceu professor na Universidade de Cope-nhaga até 1943 e morreu em 1961.
Leitura adicional
1. Brockmeyer, E., Halstrøm, H.L., Jensen, A.: The life and works of A.K. Erlang. Trans. Dan. Acad. Techn. Sci.2 (1948)
2. Erlang, A.K.: Opgave Nr. 15. Mat. Tidsskr. B, 36 (1929) → Guttorp
3. Guttorp, P.: Three papers on the history of branching processes. Int. Stat. Rev. 63, 233–245 (1995) www.stat.washington.edu
4. Heyde, C.C.: Agner Krarup Erlang. In: Heyde, C.C., Seneta, E. (eds.) Statisti-cians of the Centuries, 328–330. Springer, New York (2001)
5. Ogborn, M.E.: Johan Frederik Steffensen, 1873–1961. J. R. Stat. Soc. Ser. A 125, 672–673 (1962)
6. Steffensen, J.F.: Om Sandssynligheden for at Afkommet uddør. Mat. Tidsskr. B, 19–23 (1930) → Guttorp (1995)
7. Steffensen, J.F.: Deux problèmes du calcul des probabilités. Ann. Inst. Henri Poincaré3, 319–344 (1933) archive.numdam.org