Erros Comuns

Proposi¸c˜ao 27 Em um conjunto de n ≥ 2 retas n˜ao paralelas e n˜ao -

coincidentes, todas interceptam-se no mesmo ponto.

Prova:

Base: n = 2. Duas retas se cruzando, OK !

Hip´otese de Indu¸c˜ao: O resultado vale, para qualquer conjunto de k retas.

Passo Indutivo: Provar para k + 1.

Considere um conjunto de retas r₁,r₂,...,r_k+1. Segue da hip´otese de indu¸c˜ao que as retas r₁, r₂, ..., r_kse interceptam em um ponto. Pelo mesmo motivo, as retas r₂,r₃,...,r_k+1 tamb´em se interceptam em um ´unico ponto(visto que esse ´

ultimo conjunto tamb´em possui k elementos). Como h´a retas que pertencem ao primeiro conjunto e ao segundo, o ponto tem de ser o mesmo. Logo todas as retas se interceptam em um ´unico ponto

Onde est´a o furo?

Argumenta¸c˜ao: Para garantir que as k + 1 retas se interceptam um ´

unico ponto, seria necess´ario que a interse¸c˜ao dos conjuntos {r₁, ..., r_k} e {r2, ..., rk+1} tivessem pelo menos duas retas, pois essas determinariam o

ponto. Entretanto quando k + 1 = 3, a interse¸c˜ao entre r₁, r₂ e r₂, r₃ ´e ape- nas a reta r₂. Logo, n˜ao ´e poss´ıvel passar de k = 2 para k = 3, o que fura a demonstra¸c˜ao.

Proposi¸c˜ao 28 Em toda festa com n ≥ 3 pessoas em que cada pessoa co-

nhece mais da metade das demais pessoas ´e poss´ıvel dispor as pessoas em uma roda de modo que cada pessoa conhece seus dois vizinhos.

Para demonstrar a proposi¸c˜ao utilizamos o seguinte lema.

Lema 2 Seja C uma roda com n ≥ 3 pessoas. Se existe uma pessoa p_n+1

que n˜ao est´a em C e conhece mais do que n/2 pessoas em C ent˜ao ´e poss´ıvel colocar a pessoa na roda C de modo que ela conhe¸ca seus dois vizinhos.

Se n˜ao existe lugar para colocar p_n+1 ent˜ao entre dois conhecidos de p_n+1 sempre h´a pelo menos um desconhecido de p_n+1. Portanto, o n´umero de desconhecidos de p_n+1 ´e maior ou igual ao n´umero de conhecidos de p_n+1, o que implica que o total de pessoas na roda ´e maior que n, o que ´e uma contradi¸c˜ao.

Focamos agora no resultado principal Prova. Indu¸c˜ao no n´umero de pessoas.

Base. n = 3. O resultado ´e verdadeiro j´a que todo mundo se conhece. Passo Indutivo. Se toda festa com k pessoas, em que cada pessoa co- nhece mais que k/2 pessoas, tem a propriedade desejada ent˜ao toda festa com k + 1 pessoas, em que cada pessoa conhece mais de (k + 1)/2 pessoas, tem a propriedade desejada, ∀k ≥ 3.

Prova do Passo Seja uma festa F_k com k pessoas em que cada pessoa conhece mais que k/2 pessoas. Considere uma festa F_k+1 com k + 1 pessoas que obtemos convidando para F_k uma pessoa que conhece pelo menos (k + 1)/2 convidados de F_k.

Por hip´otese de indu¸c˜ao a festa F_k admite uma roda em que cada pessoa conhece seus vizinhos. Como a pessoa (k + 1) conhece mais que (k + 1)/2 pessoas da festa F_k, ent˜ao, pelo lema anterior, existe um lugar na roda C aonde podemos colocar a pessoa k + 1 de modo que ela conhe¸ca seus dois vizinhos. Portanto, obtemos uma nova roda com a propriedade desejada, concluindo o passo indutivo.

A prova acima est´a errada! Por que?

O problema ´e que estamos particularizando. Para obter a festa F_k+1 par- timos de uma festa F_k em que cada pessoa conhece pelo menos k/2 pessoas. Este processo n˜ao permite obter toda festa F_k+1 que tem a propriedade dese- jada. Por exemplo, a festa {AB, BC, CD, DE, AF, BF, CF, DF } n˜ao pode ser obtida desta forma.

Devemos notar que apesar da demonstra¸c˜ao acima estar errada, a pro- posi¸c˜ao sobre a festa ´e verdadeira j´a que existe uma demonstra¸c˜ao para ela.

Cap´ıtulo 2

Princ´ıpios de Contagem e

Enumera¸c˜ao Computacional

Objetivo

• Contar/listar o n´umero de elementos de conjuntos finitos

Aplica¸c˜oes

• Determinar o n´umero de opera¸c˜oes realizadas por um algoritmo para

determinar sua eficiˆencia

• Ferramenta utilizada para resolver problemas estat´ısticos • Desenvolver o racioc´ınio dos alunos de ED

Por que estudar problemas do tipo

P1) De quantas maneiras ´e poss´ıvel dispor os alunos de uma turma em fila, sem que alunos com nomes consecutivos na ordem alfab´etica fiquem juntos?

P2) Quantas permuta¸c˜oes distintas tem a palavra MISSISSIPI? Duas justificativas s˜ao bastante razo´aveis

2. 2 As t´ecnicas envolvidas na solu¸c˜ao destes problemas podem ser apli- cadas na resolu¸c˜ao de problemas pr´aticos

Em algumas situa¸c˜oes estamos interessado em calcular o n´umero de ele- mentos de um conjunto, enquanto que em outras desejamos listar todos os elementos de um conjunto.

Exemplo 22 Seja S o conjunto de todos os n´umeros de trˆes algarismos que satisfazem as seguintes propriedades

(i) todo algarismo pertence ao conjunto {2, 3, 6} (ii) nenhum algarismo pode repetir no mesmo n´umero P1) Quantos elementos possui S?

P2) Quem s˜ao os elementos de S?

Para responder a pergunta P1, devemos calcular o n´umero de elementos em S, enquanto que para responder P2 devemos listar (enumerar) todos os elementos.

Para resolver P1, basta observar que existem 3 possibilidades para o al- garismo mais a esquerda, 2 para o algarismo do centro e uma possibilidade para o mais a direita. Portanto, |S| = 3 × 2 × 1 = 6

Para resolver P2, devemos listar todos os elementos de S. Podemos coloca-los em ordem crescente por exemplo: 236,263,326,362,623,632.

Exemplo 23 Considere um caminh˜ao que necessita entregar mercadorias em 12 localidades {L₁, . . . , L₁₂} ao longo de um dia. Sabe-se que o consumo m´edio para ir da localidade L_i para localidade L_j ´e c_ij, e que o caminh˜ao deve partir de sua garagem e retornar para mesma. Considere que L₀ identifica a garagem.

P1) Quantos trajetos distintos o caminh˜ao pode percorrer? P2) Qual o trajeto que minimiza o consumo do caminh˜ao ?

Uma forma de resolver a segunda quest˜ao ´e listar todos os percursos poss´ıveis, calculando o consumo de cada um, e selecionar aquele(s) de menor consumo. Esta tarefa ´e bastante ´ardua de realizar j´a que o n´umero de per- cursos ´e extremamente grande. Entretanto, com o aux´ılio de um computador isto pode ser feito. Para isto, necessitamos de um m´etodo sistem´atico para listar todos os percursos poss´ıveis, ou seja, um algoritmo de enumera¸c˜ao.

Uma observa¸c˜ao interessante ´e que n˜ao ´e conhecido nenhum algoritmo eficiente (polinomial no tamanho da entrada) para resolu¸c˜ao deste problema.

Inclusive, existe um site na Internet (http://www.claymath.org/prizeproblems/pvsnp.htm) que oferece U$1.000.000 para algu´em que desenvolva tal algoritmo ou que

prove que tal n˜ao pode existir.

2.1

Princ´ıpio da Multiplica¸c˜ao

Uma das t´ecnicas mais elementares de contagem ´e conhecida como princ´ıpio da multiplica¸c˜ao.

Sejam os eventos E₁, E₂, . . . , E_k. Se o evento E_i, i = 1, . . . , k, pode ocorrer de n_i formas diferentes e a forma com que o evento E_i ocorre n˜ao influencia no n´umero de formas que o evento E_j pode ocorrer, ∀i = j, ent˜ao a sequˆencia de eventos E₁E₂E₃. . . E_k pode ocorrer de n₁× n₂× n₃× . . . × n_k formas diferentes.

Exemplo 24 Em uma placa de carro, as trˆes primeiras posi¸c˜oes s˜ao letras e as quatro restantes s˜ao d´ıgitos. Quantas placas distintas s˜ao poss´ıveis?

O evento E_i, i = 1, 2, 3, consiste em atribuir uma letra a i-´esima posi¸c˜ao, enquanto que os eventos E₄, E₅, E₆, E₇consistem em atribuir d´ıgitos as posi¸c˜oes 4,5,6 e 7 respectivamente. Logo temos, |E_i| = 26, para i = 1, 2, 3 e |E_i| = 10, para i = 4, . . . , 7. Segue do princ´ıpio da multiplica¸c˜ao que o n´umero de placas ´e 104× 263.

Exerc´ıcio 1 Quantas placas s˜ao poss´ıveis de modo que nenhuma letra e ne- nhum d´ıgito apare¸cam repetidos?

Exemplo 25 Seja S o conjunto dos n´umeros de telefone com as seguintes propriedades:

(i) o n´umero ´e formado de 8 d´ıgitos (ii) o primeiro d´ıgito pertence a{2,3,5,7}

(iii) deve haver pelo menos um n´umero repetido dentre os quatro ´ultimos d´ıgitos.

Quantos elementos possui S?

Exemplo 26 Considere o trecho de c´odigo abaixo Para i=1,...l

Para j=1,...m Para k=1,...n

PRINT(’OI’)

Determine em fun¸c˜ao de m, n e l o n´umero de vezes que o trecho de c´odigo imprime OI