Erros de truncamento

Para garantir a acurácia da solução numérica devem-se realizar análises de erros de truncamento devido às discretizações espacial e temporal. Logo, tanto o refino de malha, representado pelo tamanho dos seus volumes, como o refino de tempo, dado pelo avanço temporal da solução, devem ser avaliados.

A solução numérica deveria ser independente do refinamento adicional da malha. Porém, quanto mais refinada for a malha, maior será o custo computacional da simulação, podendo até inviabilizar a simulação. Assim, por uma questão de economia computacional, todos os testes de refino de malha foram realizados somente para os modelos

bidimensionais de descarga e sucção. Em todas essas simulações o modelo de turbulência RNG k-ε foi adotado em conjunto com o tratamento de parede aprimorado.

a) Testes de discretização espacial

Devido à forte interação entre o escoamento médio e a turbulência, os resultados numéricos para escoamentos turbulentos tendem a ser mais suscetíveis à dependência da malha do que aqueles para escoamentos laminares. Atenção especial deve ser dada à região afetada pela difusão molecular, pois as variações espaciais das propriedades de transporte ali são no mínimo duas vezes maiores do que em qualquer outra região do escoamento. Assim, adotando-se uma mesma estratégia numérica, é necessária uma malha muito mais refinada para resolver o escoamento junto às paredes. Consequentemente, embora a região viscosa ocupe somente cerca de 1% do escoamento, a solução desta região requer um tempo de processamento computacional de 3 a 300 vezes maior do que seria necessário se o refino da malha fosse mantido comparável àquele adotado na região totalmente turbulenta do escoamento (Craft et al., 2006). Naturalmente, o tempo de processamento computacional depende do problema sendo simulado, do modelo de turbulência e do tipo de algoritmo de solução utilizado.

Fortuna (2000) argumenta que a solução numérica adequada de um escoamento depende em muito do refino da malha em regiões nas quais os gradientes das variáveis são elevados. Assim, uma vez que os gradientes de temperatura são muito maiores junto às paredes, é muito importante que o escoamento nessa região seja resolvido com a maior exatidão possível.

Considerando o exposto, avaliaram-se os erros de truncamento na solução numérica, devido à discretização espacial, através do refino sistemático da malha computacional. Foram analisados três refinos de malha para os modelos bidimensionais de descarga e de sucção. A Tabela 4 apresenta os valores correspondentes de y+, altura mínima e máxima dos elementos junto às paredes do domínio de solução, razão de crescimento da malha (variação entre duas camadas de volumes adjacentes) e o número mínimo e máximo de volumes para cada nível de refinamento. Como se trata de uma geometria móvel, o número de volumes varia de acordo com o ângulo de manivela, tendo-se assim um número mínimo, quando o pistão se encontra no ponto morto superior, e um número máximo, quando o pistão se encontra no ponto morto inferior.

Tabela 4 – Características dimensionais da malha computacional. M01 M02 M03 y+ _{1,15 0,9 0,85} ∆ymínimo (mm) 0,0075 0,0075 0,0075 ∆ymáximo (mm) 0,2 0,2 0,2 Razão de crescimento 1,3 1,1 1,06 Número de células mínimo e máximo 6050 - 16800 13050 - 33100 25500 - 60000

Para assegurar a estabilidade numérica do procedimento iterativo e também devido a restrições associadas com a adaptação da malha em função dos movimentos do pistão e da válvula, o avanço de tempo foi restringido a pequenos incrementos de ângulo de manivela, entre 0,01° e 0,2°. Quando as válvulas se encontram fechadas, adota-se um o incremento temporal máximo correspondente a 0,2°, pois os níveis de velocidade são muito baixos e o procedimento iterativo converge facilmente. O passo de tempo é reduzido para o valor mínimo (0,01°) imediatamente antes da abertura das válvulas, através do monitoramento da força resultante sobre elas. Depois de fechadas, o passo no tempo é novamente alterado para o seu valor máximo, sendo que este processo de transição é feito de forma gradativa para evitar problemas de instabilidade numérica.

Os incrementos de ângulo de manivela mínimo (0,01°) e máximo (0,2°) correspondem a incrementos de tempo iguais a 5,5610-7s e 1,1110-5s, respectivamente. Estes passos de tempo foram definidos com base no requerimento da malha mais refinada, de modo que a condição imposta pelo modelo de malhas móveis fosse satisfeita. De acordo com esta condição, o movimento relativo entre uma fronteira móvel e a camada de células adjacentes a ela não pode ser maior que a altura destas células durante qualquer avanço no tempo.

A Figura 20 ilustra as malhas computacionais adotadas para as simulações do processo de sucção e de descarga, com o pistão nos pontos mortos superior e inferior, respectivamente. São malhas estruturadas com elementos quadrangulares e uma razão de aspecto entre os volumes na faixa de 1 a 26.

(a)

(b)

Figura 20 – (a) Malha para o modelo da sucção. (b) Malha para o modelo da descarga.

Na presente análise, compararam-se resultados para o fluxo de calor médio nas superfícies que delimitam a câmara de compressão (cilindro, pistão e placa de válvulas), durante o período de um ciclo completo do compressor, correspondente a um giro do eixo t = 360º ou um período de tempo T = 0,02s. A Figura 21 mostra resultados para o fluxo de calor total instantâneo nas paredes da câmara de compressão em função do ângulo de manivela t, obtidos com o modelo RNG k-ε e os diferentes níveis de refino de malha. O fluxo de calor total é a soma dos fluxos de calor na placa de válvulas, no pistão e na lateral do cilindro, ponderadas por suas respectivas áreas. Os valores negativos representam o calor sendo transferido do gás para a parede do cilindro, e vice-versa.

A fim de auxiliar na explicação dos principais fenômenos associados à transferência de calor, os períodos correspondentes a cada

processo de um ciclo completo estão indicados na Figura 21: compressão (A), descarga (B), expansão (C) e sucção (D). Os processos de descarga e sucção estão situados nos intervalos t de 150° a 190° e de 216° a 360°, respectivamente, sendo delimitados pelas linhas verticais tracejadas.

Figura 21 – Fluxo de calor total no cilindro para as três malhas, nos processos de compressão (A), descarga (B), expansão (C) e sucção (D).

Da Figura 21 fica evidente que os resultados das diferentes malhas são muito próximos. Isto é um reflexo do fato de o estudo de refino de malha ter utilizado informações de discretização usada em simulações semelhantes (Pereira et al., 2009).

Apesar da similaridade entre os resultados mostrados na Figura 21, é conveniente quantificar as diferenças entre as previsões de cada malha computacional. Com este objetivo, calculou-se a taxa de troca de calor total no cilindro durante um ciclo completo do compressor (ωt = 360° ou T = 0,02s). Nesta análise, o fluxo de calor instantâneo é multiplicado pela área instantânea de troca de calor , resultando na quantidade . Integrando-se ao longo do período T, obtém-se a quantidade de calor [J]:

(5.1)

Finalmente, multiplicando-se a quantidade de calor ( ) pela freqüência de operação do compressor ( ), obtém-se a taxa de troca de calor ( ).

A Tabela 5 apresenta os resultados da taxa de troca de calor total no cilindro. A primeira linha mostra os valores de para cada malha computacional. O sinal positivo indica que a troca líquida de calor é das paredes do cilindro para o gás. A segunda linha da tabela representa as diferenças entre as previsões de troca de calor com as malhas M01 e M02 em relação à previsão da malha mais refinada (M03). A menor diferença é registrada na malha M02. Fica claro que as previsões para a quantidade de calor são bastante próximas quando se adotam as malhas mais refinadas (M02 e M03).

Tabela 5 – Taxa de troca de calor total e diferença em relação à malha M03.

M01 M02 M03

[W] 3,72 4,15 4,21

Δ [%] -11,6 -1,4 --

A malha M02 apresenta um custo computacional bem inferior, pois contém aproximadamente a metade do número de células da M03. Assim, a M02 foi empregada para a obtenção dos resultados de transferência de calor, campos de temperatura e velocidade, níveis de intensidade turbulenta e valores de y+, necessários para a presente análise.

b) Testes de discretização temporal

Além de verificar a discretização espacial, realizou-se também uma análise da discretização temporal através de simulações bidimensionais dos processos de descarga e de sucção com três pares de incremento de tempo, Δt, apresentados na Tabela 6. Os passos de tempo Δt mínimo e máximo correspondem àqueles adotados nos períodos em que as válvulas estão abertas e fechadas, respectivamente.

Os resultados para fluxo de calor obtidos dos testes com os pares de incremento temporal são apresentados na Figura 22. Como se pode perceber, os resultados são praticamente insensíveis à discretização temporal. Deve ser mencionado que o modelo apresentou dificuldades de convergência nas simulações com os maiores passos de tempo (dt01 e dt02). Para avanços de tempo ainda maiores que os testados aqui, o deslocamento da válvula e do pistão entre dois instantes de tempo pode ultrapassar o limite imposto pelo modelo de malhas móveis utilizado, impedindo a simulação completa do ciclo de compressão. Em função

desses aspectos, optou-se pela discretização temporal dt03 mais refinada como padrão para as demais simulações realizadas neste trabalho.

Todas as equações adotaram como critério de convergência um resíduo absoluto menor do que 10-4 _{(definido por}

,

sendo e as soluções da variável de interesse em duas iterações

sucessivas), exceto para a equação da energia, cujo critério foi alcançar um resíduo menor que 10-6. O número máximo de iterações por passo de tempo foi de 30.

Tabela 6 – Pares de incremento temporal.

Discretizações Δt mínimo Δt máximo

dt01 5,56 10-6 s (t = 0,10°) 2,77 10-5 s (t = 0,50°)

dt02 2,77 10-6 s (t = 0,05°) 1,39 10-5 s (t = 0,25°)

dt03 5,56 10-7 s (t = 0,01°) 1,1110-5 s (t = 0,20°)

Figura 22 – Fluxo de calor total para diferentes discretizações de tempo.