SUMÁRIO
2 FLEXÃO COMPOSTA OBLÍQUA
2.6 ESBELTEZ LIMITE E COEFICIENTE b
O conceito de esbeltez limite decorre de análises teóricas de pilares considerando o ma-terial como elástico-linear. Segundo SOUZA (2003) as normas em geral estabelecem um va-lor limite λ1 em função da redução da capacidade resistente no Estado Limite Último quando comparada com a capacidade resistente obtida de acordo com a teoria de primeira ordem. O valor dessa redução é definido arbitrariamente, não devendo ser superior a 5% no ACI/95, ou a 10% no CEB/90.
Segundo a norma ABNT NBR 6118:2014, o valor de λ1 depende de diversos fatores, sendo os principais:
a) A excentricidade relativa de primeira ordem e1
h na extremidade do pilar onde ocor-re o momento de primeira ordem de maior valor absoluto;
b) A vinculação dos extremos do elemento isolado;
c) A forma do diagrama de momentos de primeira ordem.
SOUZA et al. (1992) deduziram uma expressão para avaliação da esbeltez limite em pilares de concreto armado, válida para seções retangulares quando a excentricidade relativa de primeira ordem e1
h é menor que 0,6 e admitindo perda máxima de 10% na capacidade resis-tente do pilar:
1
1
100 0, 6
4 1 3 e
h
Onde ω é a taxa mecânica de armadura e e1
h é a excentricidade relativa de primeira ordem.
É interessante observar que a reescrevendo a Eq. (2-5) ou (2-6) é possível determinar a excentricidade relativa em cada direção para seções retangulares com:
1y x d,
y d
e h
1x y d,
x d
e h
SOUZA et al. (1998 apud SOUZA, 2003) desenvolveram um estudo de casos de pila-res de seção retangular com excentricidades iguais e de mesmo sentido e armaduras iguais distribuídas ao longo de dois lados opostos, analisando e simulando 115 pilares, para diferen-tes índices de esbeltez, amplitudes de excentricidades, taxas de armadura e relação entre as excentricidades extremas.
Baseado nos resultados obtidos nesses dois trabalhos, foram propostas relações para avaliação do valor de λ1 para diversos casos práticos:
1 1
1 42 50 eA eA 0,34
h para h
1
1 25 0, 34 eA 0, 75
para h
1 1
1 13 16 eA eA 0, 75
h para h
1 80
(2-17)
Onde e1A
h é a maior excentricidade de primeira ordem existente nos extremos do pilar e os índices A e B são referidos ao maior e ao menor momento fletor de primeira ordem que ocorrem nas extremidades do pilar, respectivamente, com sinais iguais quando tracionam a mesma face do pilar e com sinais diferentes em caso oposto.
O limite indicado na Eq. (2-17) foi escolhido de forma arbitrária e procurou limitar o índice de esbeltez máximo absoluto para a dispensa dos efeitos de segunda ordem. Para a de-terminação do coeficiente , SOUZA et al. (1998 apud SOUZA, 2003) utilizaram metodolo-gia semelhante à utilizada para a determinação de λ1, ou seja, considerando perda de 10% da capacidade resistente do pilar e obtiveram as seguintes relações:
1 1
1
1,35 0,35 B A 0, 05
A
e e
e para h
(2-18)
1 1
1
1, 60 0,36 B A 0,10
A
e e
e para h
(2-19)
Para efeito prático, deve ser fixada a equação de de acordo com a excentricidade mí-nima adotada no projeto de pilares. Caso fosse respeitado o momento mínimo de 0,10 h Nd, a excentricidade e1
h seria no mínimo igual a 0,10, podendo ser utilizada a Eq. (2-19) (SOUZA T. J., 2003).
Segundo a versão 2003 da norma ABNT NBR 6118, os esforços locais de segunda or-dem em elementos isolados podiam ser desprezados quando o índice de esbeltez 𝜆 fosse me-nor que o valor limite 𝜆1 calculado pela Eq. (2-20). Essa mesma expressão consta na atual norma ABNT NBR 6118:2014.
1
1 1
12, 5
2 35 90
b
e para
h
(2-20)
Sendo e1 a excentricidade de primeira ordem, não incluindo a excentricidade acidental. O va-lor b deve ser adotado conforme a Tabela 2-1 deste texto e apresentada a seguir (ABNT NBR 6118:2014).
Tabela 2-1 – Determinação de valores de b segundo a norma ABNT NBR 6118:2014
Vínculos e ações em pilares Coeficiente b
Bi rotulados sem ações transversais* 0, 6 0, 4
0, 4 1
B b
A b
M
M
Em balanço*
0,8 0, 2
0,85 1
C b
A b
M
M
a) Bi rotulados com ações transversais significativas ao longo da altura ou b) Bi rotulados ou em balanço com momentos menores que o momento mínimo
b 1
Observações*:
a) 𝑀𝐴 e 𝑀𝐵 são os momentos de primeira ordem nos extremos do pilar. Deve ser adotado para 𝑀𝐴 o maior valor absoluto ao longo do pilar bi rotulado, e para 𝑀𝐵 o sinal positivo, se tracionar a mesma face que 𝑀𝐴, e negativo, em caso contrário.
b) 𝑀𝐴 é o momento de primeira ordem no engaste e 𝑀𝐶 é o momento de primeira ordem no meio do pilar em balanço.
O fator b tem origem na norma americana ACI 318/95, com a notação Cm. Este parâ-metro representa o percentual da altura do pilar onde ocorre o momento máximo de segunda ordem local.
Um pilar esbelto sujeito a carga axial e momentos de extremidade sofre deslocamento lateral e apresenta um diagrama de momento fletores conforme o sentido de aplicação de momentos nas extremidades. Quando a flexão atuante nas extremidades traciona o mesmo lado da seção transversal, a curvatura do elemento é única ou simples, tal como indicado na imagem da Figura 2-11 a). Por outro lado, quando a flexão nas extremidades promove tração
em lados opostos da seção transversal, a curvatura é reversa ou dupla e está exemplificada na imagem da Figura 2-11 b).
Figura 2-11 – Pilares com curvaturas simples e dupla.
a) MB/MA > 0 b) MB/MA < 0 Fonte: adaptado de AGUIAR (2000).
Como resultado, os momentos fletores adicionais de segunda ordem variam ao longo do comprimento do pilar com valores nulos nas extremidades para os casos de pilares bi rotu-lados. Se os momentos aplicados nas extremidades forem iguais (em magnitude e em senti-do), a determinação da seção crítica que corresponde ao momento máximo é imediata e cor-responde à seção do meio do vão.
No entanto, quando os momentos aplicados são de sentidos opostos nas duas extremi-dades, a curvatura da peça é diferente e a determinação da seção crítica não é imediata, como ilustrado na Figura 2-12. A solução para a equação diferencial que inclui comportamento de material inelástico como o concreto armado é considerada complexa (TIKKA & MIRZA, 2004).
Nesse sentido, a norma americana ACI 318/95 permite o uso de um fator de diagrama de momento equivalente uniforme Cm como forma de considerar o efeito do momento fletor de segunda ordem ao longo do pilar decorrente da aplicação de momentos desiguais nas ex-tremidades. O coeficiente Cm foi introduzido pela norma americana com o intuito de evitar cálculos extensos. Austin (1961 apud TIKKA e MIRZA, 2004) propôs a seguinte expressão para pilares bi rotulados:
0, 6 0, 4 B 0, 4
m
A
C M
M (2-21)
Figura 2-12 – Pilares submetidos a efeitos locais de segunda ordem.
Fonte: TIKKA e MIRZA (2004).
Porém, a equação proposta por Austin (1961 apud TIKKA e MIRZA, 2004) era basea-da em pilares de comportamento elástico. TIKKA e MIRZA (2004) verificaram que a Eq.
(2-21) também é válida para pilares de concreto armado.
SOUZA et al (1992) propõem que o limite inferior de 0,4 para o valor de b poderia ser desconsiderado. Cabe salientar que o CEB/90 também desconsidera o limite inferior de 0,4. A norma americana AISC/1999 para estruturas de aço já abandonaram este limite inferior nas suas versões mais recentes. A norma ABNT NBR 6118:2014 adota a Eq. (2-21) mantendo o limite inferior de 0,4.