ESCOAMENTO EM CAVIDADE FECHADA COM TAMPA MÓVEL O escoamento incompressível de fluidos newtonianos dentro de uma

cânica dos fluidos computacional para testar metodologias numéricas. Ele descreve o fluxo dentro de uma caixa retangular, devido a translação tangen- cial de uma parede, conforme ilustrado na Figura 36. As aplicações podem ser encontradas em abundância, como por exemplo, em revestimento e dispo- sitivos de mistura. A simplicidade geométrica do problema faz com que seja ideal para a discretização numérica. Já, a condição de contorno matemática descontínua da velocidade leva a propriedades singulares perto dos cantos da tampa móvel e das duas paredes estacionárias vizinhas. Estas característi- cas fizeram com que a cavidade com tampa móvel se tornasse um caso teste para a validação de diferentes técnicas numéricas para resolver as equações de Navier-Stokes. O mais interessante neste contexto, é que este escoamento tem um comportamento rico do ponto de vista de instabilidades em sistemas fechados.

Figura 36 – Representação geométrica da cavidade fechada com tampa móvel

Pelo nosso conhecimento, pouquíssimos estudos foram feitos a res- peito da análise da simulação e da estabilidade de fluidos não-newtonianos em uma cavidade com tampa móvel, apesar da importância em muitas apli- cações. Isso decorre, em parte do fato de que a simulação de escoamentos de fluidos viscoelásticos é significativamente mais desafiadora do que a si- mulação de escoamentos newtonianos. Isto é devido, em parte, à natureza hiperbólica da equação constitutiva, bem como à dependência implícita do tensor tensão elástica com o tensor taxa de deformação. Grillet et al. (1999) simularam o escoamento viscoelástico em uma cavidade para entender como a elasticidade influencia a cinemática do escoamento. Estes autores também introduziram uma lei de escala para a relação entre a razão de aspecto e a ins-

tabilidade elástica. O escoamento na cavidade também tem sido usado para validar métodos numéricos para fluidos não-newtonianos. Nesse contexto, Pan e Hao (2007) apresentaram um método para estabilização de um código de elementos finitos usado para escoamentos à altos números de Weissen- berg. Outros exemplos de fluidos não newtonianos dentro de cavidade podem ser encontrados em (YAPICI; KARASOZEN; ULUDAG, 2009; PAN; HAO, 2007; PAN; HAO; GLOWINSKI, 2009).

Para a solução do escoamento de um fluido viscoelástico de Oldroyd- B em uma cavidade fechada com tampa móvel, representada na Figura 36, será considerado L = 1 e as seguintes condições de contorno:

• Tampa: u= U (x), v= 0, ∂u ∂x = 0, ∂v ∂x= 0, ∂v ∂y= 0. (6.18) Substituindo essas condições na equações constitutivas (6.7)-(6.7), as tensões na tampa devem satisfazer as seguintes equações

 1 − 2We∂U (x) ∂x  τxx+We ∂ ∂x(uτxx) = 2We  ∂u ∂y  τxy+ 2 (1 − β) ∂U (x) ∂x , τyy+We ∂ ∂x uτyy
= 0, τxy+We ∂ ∂x uτxy
= We  ∂u ∂y  τyy+ (1 − β) ∂u ∂y. (6.19) • Parede paralela ao eixo x:

As mesmas condições dadas pelas equações (6.13) e (6.14) • Paredes paralelas ao eixo y:

u= 0, v= 0, ∂u ∂x= 0, ∂u ∂y = 0, ∂v ∂y= 0, (6.20) sendo assim, as tensões devem satisfazer

τxx= 0, τyy= 2We(1 − β)  ∂v ∂x 2 , τxy= (1 − β) ∂v ∂x. (6.21)

Para validar o método e escolher uma malha adequada foi feita a com- paração dos resultados numéricos obtidos para We = 0, equivalente a um fluido newtoniano, com os resultados para Re = 0 e velocidade da tampa igual a 1 obtidos em (YAPICI; KARASOZEN; ULUDAG, 2009) e (SAHIN; OWENS, 2003), usando-se 5 diferentes malhas. As informações a respeito de cada malha utilizada na simulação estão descritas na Tabela 5.

Tabela 5 – Características das malhas utilizadas nos testes de independência de malha no problema cavidade quadrada

Malha Tipo Node nós Node Elementos Node Elementos Triangulares Retangulares MRQ1 Estruturada 1681 0 1600 MRQ2 Estruturada 2601 0 2500 MRQ3 Estruturada 3481 0 3364 MNEM Ñ Estruturada 6753 4056 4532 MNEQ Ñ Estruturada 11811 0 11610

Analisando-se os valores dos extremos das velocidades nas linhas ho- rizontal e vertical da cavidade, apresentados na Tabela 6, se verifica que, a medida que a malha é refinada, os resultados obtidos neste trabalho se apro- ximam mais dos resultados referenciados, porém sem muita variação. A Fi- gura 37, onde são apresentadas as velocidades nas linhas x = 0.5 e y = 0.5, corrobora a afirmação anterior, pois, pode-se observar que as componentes da velocidade variam muito pouco para as diferentes malhas empregadas. Isso mostra que o método é quase independente da malha para o caso newtoniano e as condições consideradas. Entretanto, uma análise semelhante deve ser feita para o caso de um fluido não-newtoniano, neste caso o fluido de Oldroyd-B. Tabela 6 – Valores das velocidades mínimas e máximas nas linhas horizontal e vertical

da cavidade

Referência Malha umin ymin vmin xmin vmax xmax MRQ1 -0.2074 0.5250 -0.1840 0.8000 0.1840 0.2000 MRQ2 -0.2076 0.5400 -0.1841 0.8000 0.1841 0.2000 Presente MRQ3 -0.2077 0.5345 -0.1844 0.7931 0.1844 0.2069 MNEM -0.2078 0.5310 -0.1844 0.7913 0.1844 0.2087 MNEQ -0.2077 0.5400 -0.1845 0.7900 0.1845 0.2100 Yapici et al. (2009) 305x305 -0.2077 0.5356 -0.1844 0.7890 0.1844 0.2109 Sahin e Owens (2003) 257x257 -0.2077 0.5376 -0.1863 0.7894 0.1863 0.2105

Um fluido viscoelástico não pode suportar deformações em um ponto de estagnação, portanto o movimento da tampa deve ser regularizado de forma que ∇u tenda a zero nos cantos (BOTELLA, 1997; BOTELLA; PEYRET,

1998; PAN; HAO; GLOWINSKI, 2009). Especificamente, o perfil de veloci- dade da tampa é tomado como sendo

U(x) = U 16x2(1 − x)2, (6.22) onde U é a velocidade máxima da tampa, que ocorre em x = 1/2. Em todas as nossas simulações considera-se U = 1.

Figura 37 – Perfis das velocidade u e v ao longo das linhas x = 0.5 e y = 0.5: (a) Velocidade u, (b) Velocidade v

(a)

(b)

Tabela 5, com parâmetros β = 0.5 e We = 0.5. Tais parâmetros foram es- colhidos para ser possível a comparação com os resultados de Pan, Hao e Glowinski (2009).

Analisando os gráficos apresentados nas Figuras 38 e 39, percebe-se que a diferença entre as malhas é pequena, porém o custo computacional aumenta consideravelmente quando se passa da malha MNEM para a malha MNEQ.

Figura 38 – Perfis das velocidade u e v ao longo das linhas x = 0.5 e y = 0.5: (a) Velocidade u ao longo de x = 0.5, (b) Velocidade v ao longo de y = 0.5

(a)

Por conseguinte, escolheu-se a malha MNEM, pois é não estruturada com elementos mistos, o que demonstra a capacidade do método em lidar com tais tipos de malhas. A malha MNEM está mostrada na Figura 40.

Figura 39 – Perfis das diferenças das tensões ao longo das linhas x = 0.5 e y = 0.5: (a) Primeira diferença das tensões normais τxx− τyyao longo de x = 0.5, (b)

Primeira diferença das tensões normais τxx− τyyao longo de y = 0.5

(a)

(b)

Na Figura 41 o perfil de velocidade u na linha central vertical (x = 0.5) e o perfil de velocidade v na linha horizontal central (y = 0.5) extraídos do trabalho de Pan, Hao e Glowinski (2009) são comparados aos perfis obti- dos pela aplicação do EbFVM na malha MNEM. Pode-se verificar uma boa

Figura 40 – Malha 2-D não estruturada utilizada na simulação do escoamento em ca- vidade fechada com tampa móvel

concordância entre os perfis de velocidade. Neste trabalho usou-se uma ma- lha menos refinada, se comparada com a malha empregada por Pan, Hao e Glowinski (2009), que empregou o método dos elementos finitos em uma malha estruturada não uniforme com 12800 nós. Mesmo assim os resultados apresentaram uma boa qualidade.

Para avaliar a influência do número de Weissenberg na solução do escoamento, simulações foram feitas para β = 0.5 e diferentes valores de We. Nas Figuras 42-44 são apresentados os campos de velocidades, as linhas de corrente e os campos de tensões para We = 0.1, We = 0.5 e We = 0.9.

Observando os gráficos dos campos de velocidades percebe-se que a medida que We aumenta o vórtice central é deslocado na direção do canto esquerdo superior, o que está de acordo com o relatado por outros autores (PAN; HAO, 2007; YAPICI; KARASOZEN; ULUDAG, 2009).

A Figura 45 mostra o efeito de We sobre a componente horizontal (u) e vertical (v) da velocidade em x = 0.5 e y = 0.5, respectivamente. Com o aumento de We as magnitudes máximas das componentes da velocidade diminuem como esperado. A posição vertical dos uminé deslocada para cima, por outro lado, as posições horizontais de vmax e vminsão deslocadas para a esquerda em função do aumento de We.

Com respeito às tensões, nota-se altos gradientes somente na região perto da tampa. Para We = 0.5 percebe-se uma estreita camada limite ao longo da tampa para τxx, e todas as três componentes do tensor tensão apresentam altos gradientes próximo dos cantos superiores.

Figura 41 – Perfis das velocidade u e v ao longo das linhas x = 0.5 e y = 0.5: (a) Velocidade u ao longo de x = 0.5, (b) Velocidade v ao longo de y = 0.5

(a)

(b)

Na Figura 46 é mostrada a influência de We na primeira diferença de tensões τxx− τyy, para a região da tampa móvel e para a linha central vertical. Fica claro que a tensão na tampa é maior que a tensão em qualquer outro ponto da cavidade.

O método utilizado foi capaz de obter convergência até um valor crí- tico de We próximo a 1. Os resultados mostram que a discretização ora em- pregada, foi capaz de resolver os altos gradientes com uma boa concordân- cia com a literatura, apesar de utilizar uma malha menos refinada e com um maior grau de complexidade geométrica, pois possui elementos triangulares

e retangulares distribuídos de forma não estruturada.

Figura 42 – Campos de velocidades e tensões para We = 0.1: (a) Velocidade u, (b) Tensão τxx, (c) Velocidade v, (d) Tensão τyy, (e) Linhas de corrente, (f)

τxy

(a) (b)

(c) (d)

Figura 43 – Campos de velocidades e tensões para We = 0.5: (a) Velocidade u, (b) Tensão τxx, (c) Velocidade v, (d) Tensão τyy, (e) Linhas de corrente, (f)

τxy

(a) (b)

(c) (d)

Figura 44 – Campos de velocidades e tensões para We = 0.9: (a) Velocidade u, (b) Tensão τxx, (c) Velocidade v, (d) Tensão τyy, (e) Linhas de corrente, (f)

τxy

(a) (b)

(c) (d)

Figura 45 – Perfis das velocidade u e v nas linhas horizontal e vertical: (a) Velocidade uao longo de x = 0.5, (b) Velocidade v ao longo de y = 0.5

(a)

(b)