As equações de Navier-Stokes descrevem o movimento do fluxo em três dimensões. No contexto da modelagem de rios e enchentes, simplificações a essas equações podem ser impostas. As Equações de Águas Rasas são um conjunto de equações derivadas com base em simplificações, como:
1. Fluxo incompressível 2. Densidade uniforme 3. Pressão hidrostática
4. Equações médias de Reynolds (Viscosidade turbulenta – Eddy viscosity) 5. Dimensão vertical é muito menor que a dimensão horizontal
Mais hipóteses simplificadoras podem ser aplicadas para as Equações de Águas Rasas, como, em alguns casos, o termo gravitacional e de fricção serem dominantes nas equações do momento, possibilitando desconsiderar os termos de aceleração e viscosidade. A equação do momento então toma a forma bidimensional do modelo de Onda de Difusão. Combinando esse termo com a equação da continuidade, tem-se o conhecido modelo de Onda de Difusão para as Equações de Águas Rasas.
Assumindo que a elevação da superfície do terreno é dada por 𝑧(𝑥, 𝑦), a altura da lâmina de água é dada por ℎ(𝑥, 𝑦, 𝑡) e que a elevação da superfície da água é dada por 𝐻(𝑥, 𝑦, 𝑡) = 𝑧(𝑥, 𝑦) + ℎ(𝑥, 𝑦, 𝑡).
Figura 7 - Notação para cotas
Fonte: elaborada pelo autor
Considerando que o fluxo é incompressível, a forma não-permanente da equação da continuidade é dada pela equação 16.
𝜕𝐻 𝜕𝑡 + 𝜕(ℎ𝑢) 𝜕𝑥 + 𝜕(ℎ𝑣) 𝜕𝑦 + 𝑞 = 0 16
Em que 𝑡 é o tempo; 𝑢 e 𝑣 são os componentes da velocidade nas direções x e y respectivamente; 𝑞 é o termo que representa a fonte/retirada de vazão.
Na notação vetorial, a equação da continuidade é dada pela equação 17. 𝜕𝐻
𝜕𝑡 + 𝛁 ∙ ℎ𝑽 + 𝑞 = 0 17
Em que 𝑽 = (𝑢, 𝑣) é o vetor velocidade e 𝛁 = (𝜕 𝜕𝑥,
𝜕
𝜕𝑦) é o operador gradiente diferencial das derivadas parciais.
Integrando sobre uma região horizontal com vetor normal 𝒏 no contorno e usando o Teorema da Divergência de Gauss2, a forma integral da equação da continuidade é dado pela equação 18. 𝜕 𝜕𝑡 ∭ 𝑑Ω Ω + ∬(𝑽 ∙ 𝒏)𝑑𝑆 𝑆 + 𝑄 = 0 18
A região Ω representa o espaço tridimensional ocupado pelo fluido. As superfícies de contorno do volume são dadas por 𝑆. É assumido que 𝑄 representa qualquer vazão que passa pela superfície de baixo (infiltração) ou de cima (chuva ou evaporação). Esse termo também pode ser utilizado para representar outros elementos que retiram ou jogam água do sistema, como bombas. Convencionando-se que entradas são positivas e retiradas negativas.
A solução para esse problema no HEC-RAS é a utilização de uma malha subjacente Casulli (2008). As células computacionais contêm algumas informações extras, como raio hidráulico, volume e área da seção transversal que podem ser computadas a partir da topografia detalhada. Os detalhes de alta resolução são perdidos, mas há informação suficiente para realizar a modelagem com uma malha mais grosseira do que aquela que normalmente é utilizada por outros métodos. Em muitos casos, esse método é apropriado porque a superfície livre da água é mais suave que a da topografia, então uma malha mais grosseira pode efetivamente ser utilizada (Figura 8).
Figura 8 - Malha computacional
Fonte: Manual do Usuário do HEC-RAS
2∭ 𝛁 ∙ ℎ𝑽
A integral tripla da equação 18 representa o volume Ω da região que é delimitada pela superfície da água. Assumindo que é função da elevação da superfície da água, o primeiro termo da equação é discretizado como a equação 19.
𝜕
𝜕𝑡 ∭ 𝑑Ω Ω
= Ω(𝐻𝑛+1) − Ω(𝐻Δ𝑡 𝑛) 19
Em que os sobrescritos são usados para indexar os passos de tempo e a diferença entre dois passos consecutivos é Δ𝑡.
Se as células são consideradas como tendo faces poligonais, a integral de contorno da equação 18 pode ser escrita como a soma sobre todas as faces da região volumétrica, conforme equação 20. ∬(𝑽 ∙ 𝒏)𝑑𝑆 𝑆 = ∑ 𝑽𝑘∙ 𝒏𝑘𝐴𝑘(𝐻) 𝑘 20
Em que 𝑽𝑘 e 𝒏𝑘 são, respectivamente, a velocidade média na direção normal a Face e o vetor normal a área da Face; e 𝐴𝑘(𝐻) é a área da Face “k” em função da elevação da superfície da água, conforme metodologia da malha subjacente (sub-grid bathymetry
technique). Na Figura 9, a imagem da esquerda representa o formato da Face e a da direita o gráfico da função correspondente de elevação x área.
Fonte: elaborada pelo autor
As equações 19 e 20 podem ser substituídas na equação 18, resultando na equação 21 para conservação da massa com o método de malha subjacente.
Ω(𝐻𝑛+1) − Ω(𝐻𝑛)
Δ𝑡 + ∑ 𝑽𝑘 𝑘∙ 𝒏𝑘𝐴𝑘(𝐻)+ 𝑄 = 0 21
Percebe-se que essa equação pressupõe algum conhecimento da batimetria da malha subjacente, principalmente, o volume da Célula Ω(𝐻) e a área da Face em função da elevação da água 𝐴𝑘(𝐻). Contudo, se essa informação não estiver disponível, a metodologia clássica “box scheme” pode facilmente ser recuperada fazendo Ω(𝐻) = 𝑃 ∙ ℎ e 𝐴𝑘(𝐻) = 𝑙𝑘∙ ℎ, em que 𝑃 é a área da Célula e 𝑙𝑘 é o comprimento do lado 𝑘 (ambos independentes de 𝐻) e ℎ = 𝐻 − 𝑧 é altura da água.
Quando as dimensões horizontais são muito maiores que as verticais, implica que as velocidades verticais serão pequenas. As equações do momento de Navier-Stokes podem ser usadas com pressão quase hidrostática. Considerando a água como incompressível, desconsiderando as forças do vento e pressões não hidrostáticas, a equação do momento ponderada verticalmente é adequada. As velocidades verticais e derivadas em relação ao eixo 𝑧 podem ser desconsideradas (na equação do momento e da massa). As equações de águas rasas são obtidas. 𝜕𝑢 𝜕𝑡 + 𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝑣 𝜕𝑢 𝜕𝑦 = −𝑔 𝜕𝐻 𝜕𝑥 + 𝜈𝑡( 𝜕2𝑢 𝜕𝑥2 + 𝜕2𝑢 𝜕𝑦2) − 𝑐𝑓𝑢 + 𝑓𝑣 22 𝜕𝑣 𝜕𝑡 + 𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑥 + 𝑢 𝜕𝑣 𝜕𝑦 = −𝑔 𝜕𝐻 𝜕𝑦 + 𝜈𝑡( 𝜕2𝑢 𝜕𝑥2+ 𝜕2𝑢 𝜕𝑦2) − 𝑐𝑓𝑣 + 𝑓𝑢 23
Em que 𝑢 e 𝑣 são as velocidades no Sistema Cartesiano, g é a aceleração gravitacional, 𝑣𝑡 é o coeficiente horizontal de viscosidade, 𝑐𝑓 é o coeficiente de fricção, 𝑓 é o coeficiente de Corolis.
O lado esquerdo das equações contém os termos de aceleração (local e advectiva). O lado direito contém as forças internas e externas agindo no fluido.
Essas equações também podem ser apresentadas na forma vetorial em uma única equação. A vantagem disso é torna-la mais compacta.
𝜕𝑽
𝜕𝑡 + 𝑽 ∙ 𝛁𝑽 = −𝑔𝛁𝐻 + 𝜈𝑡𝛁𝟐𝑽 − 𝑐𝑓𝑽 + 𝑓 ∙ 𝒌 × 𝑽 24 Cada termo da equação tem um significado físico. Da esquerda para direita, tem- se: aceleração local, aceleração advectiva, gradiente de pressão, difusão devido a turbulência (Eddy difusion), fricção da superfície e termo de Coriolis.
O método das diferenças finitas é utilizado para discretizar as derivadas em relação ao tempo, enquanto um esquema híbrido é utilizado para derivadas em relação ao espaço. O método generalizado de Crank-Nicolson é usado para ponderar os termos de contribuição em cada passo de tempo.
Ω(𝐻𝑛+1) + ∑ 𝛼
𝑗((1 − 𝜃)𝐻𝑗𝑛+ 𝜃𝐻𝑗𝑛+1) 𝑗
= 𝑑 25
Tem uma equação dessa forma para cada Célula do domínio. Esse sistema de equações pode ser escrito na forma matricial conforme equação 26.
𝛀(𝑯) + 𝚿𝑯 = 𝒃 26
Em que 𝛀 é o vetor de volumes das Células, 𝑯 é o vetor das elevações da água nas
Células no passo de tempo 𝑛 + 1, 𝚿 é a matriz de coeficientes do sistema e 𝒃 um vetor de parâmetros conhecidos. O Jacobiano (matriz de derivadas) de 𝛀 em relação a 𝑯 é dada pela diagonal da matriz de superfície de água 𝑷(𝑯) para cada Célula.