objetivos
Os melhores operadores genéticos para o algoritmo SPEA 2 serão escolhidos neste Apên-dice. A metodologia utilizada será a mesma adotada anteriormente, em que são fixados os tipos de cruzamento e observando-se o melhor operador de mutação em cada um. Serão fixados os tipos de mutação para se definir qual o melhor tipo de cruzamento. Para cada experimento, o algoritmo foi executado trinta vezes e o valor de S-Metric foi calculado para cada conjunto Pareto obtido.
D.1 ANOVA para cruzamento
D.1.1 ANOVA para cruzamento de um ponto
A curva de convergência média do SPEA 2 com cruzamento de um ponto, para operador de mutação, é apresentada na Figura D.1. Analisando a convergência, parece que o operador de mutação Swap apresenta um desempenho pior em relação aos demais.
Figura D.1: Convergência do SPEA 2 para cruzamento de um ponto com redução de 7 objetivos
Noboxplot dos dados, apresentado na Figura D.2, não há sobreposição entre o ope-rador Swap e os demais operadores, logo, pode-se afirmar que há diferença estatística significativa. Porém, como há sobreposição das caixas entre os outros operadores, é ne-cessária a execução de uma ANOVA para detectar a existência de diferença estatística.
Figura D.2: Boxplot para cruzamento de um ponto do SPEA 2 com redução de 7 objetivos Para realização do teste, a hipótese de independência foi garantida através da coleta aleatória de dados. A normalidade dos resíduos é percebida no Gráfico de Normalidade (Figura D.3). Nos gráficos de Ajuste e Ajuste Versus Ordem, pode-se perceber a validação da premissa de homocedasticidade.
Figura D.3: Análise das premissas para cruzamento de um ponto do SPEA 2 com redução de 7 objetivos
Tabela D.1: Tabela ANOVA para cruzamento de um ponto do SPEA 2 com redução de 7 objetivos
Fonte DF SS MS F0 p−value
Colunas 3 0,00529 0,00176 30,68 1,11907×10−14 Erro 116 0,008867 0,00006
Total 119 0,01196
Com base nos resultados obtidos na Tabela D.1, pode-se concluir que:
1. Como F0 = 30,68 e o critério de rejeição deH0 é seF0 > fα,(a−1),(an−a). Neste caso, fα,(a−1),(an−a) =f0,05;3;116 ≈3,072, ou seja F0 > f0,05;3;116, implicando na rejeição de H0;
2. p − value = 1,11907×10−14, ou seja, o menor nível em que rejeitaríamos H0 é 1,11907×10−14, assim, paraα= 0,05, o teste rejeita H0.
Desta forma, para o cruzamento de um ponto e um nível de significância deα= 0,05, há diferença estatisticamente significantiva entre algum dos operadores de mutação.
Uma vez descoberto que há diferença estatística para os operadores, falta descobrir para qual dos tipos de mutação o SPEA 2 consegue melhores resultados. Vale ressaltar que o operador de mutação Swap já apresentava diferença estatística significativa pelo fato de náo existir interseção com os demais no gráfico de boxplot. Para analisar qual o melhor operador de mutação, foi aplicado o teste de comparação múltipla HSD de Tukey.
Figura D.4: Teste de comparação múltipla para cruzamento de um ponto do SPEA 2 com redução de 7 objetivos
Na Figura D.4 o eixo x representa os valores de S-Metric e o eixo y, os tipos de mutação (1 = Swap, 2 = 2-Opt, 3 = Shuffle e 4 = 2-Shuffle). Percebe-se que os maiores valores encontrados são para os operadores 2-Opt, Shuffle e 2-Shuffle, e como não há diferença estatística significativa entre eles, o operador 2-Opt foi escolhido como melhor mutação para o cruzamento de um ponto por apresentar a maior média.
D.1.2 ANOVA para cruzamento de dois pontos
A Figura D.5 apresenta a curva de convergência média para cada tipo de mutação do SPEA 2 com o cruzamento de dois pontos. Analisando a curva, parece que o operador de mutação Swap apresenta um desempenho inferior em relação aos demais. Como as curvas dos demais operadores estão muito próximas e o valor final obtido muito próximo, aparenta não existir diferença estatística entre os demais tipos de mutação.
A existência de sobreposição entre as caixas pode ser vista no gráfico de boxplot da Figura D.6. Porém, percebe-se que para a mutação Swap, não há interseção com as demais, logo, há evidências estatisticamente significativas de que o operador é diferente.
Assim, torna-se necessário a utilização de uma ANOVA para descobrir se há diferença estatística entre os operadores 2-Opt, Shuffle e 2-Shuffle.
Figura D.5: Convergência do SPEA 2 para cruzamento de dois pontos com redução de 7 objetivos
Figura D.6: Boxplot para cruzamento de dois pontos do SPEA 2 com redução de 7 objetivos
Para realização do teste, a hipótese de independência foi garantida através da coleta aleatória de dados. A normalidade dos resíduos é percebida no Gráfico de Normalidade (Figura D.7). Nos gráficos de Ajuste e Ajuste Versus Ordem, pode-se perceber a validação da premissa de homocedasticidade.
Figura D.7: Análise das premissas para cruzamento de dois pontos do SPEA 2 com redução de 7 objetivos
Tabela D.2: Tabela ANOVA para cruzamento de dois pontos do SPEA 2 com redução de 7 objetivos
Fonte DF SS MS F0 p−value
Colunas 3 0,00547 0,00182 31,23 7,1409×10−15 Erro 116 0,00677 0,00006
Total 119 0,01224
Utilizando os resultados da Tabela D.2, pode-se obter as seguintes conclusões:
1. Temos o valor de F0 = 31,23 e o critério de rejeição de H0 é se F0 > fα,(a−1),(an−a). Neste caso, fα,(a−1),(an−a) = f0,05;1;58 ≈ 4,08, ou seja F0 > f0,05;1;58, implicando na rejeição de H0;
2. p−value = 7,1409×10−15 é o menor nível em que rejeitaríamos H0 , assim, para α= 0,05, o teste rejeita H0.
Desta forma, para o cruzamento de um ponto e um nível de significância deα= 0,05, há diferença estatisticamente significante entre algum dos operadores de muta
. Uma vez descoberto que há diferença estatística entre os operadores, falta descobrir para qual dos tipos de mutação o SPEA 2 consegue melhores resultados.
Figura D.8: Teste de comparação múltipla para cruzamento de dois pontos do SPEA 2 com redução de 7 objetivos
Na Figura D.8 o eixo x representa os valores de S-Metric e o eixo y, os tipos de mutação (1 = Swap, 2 = 2-Opt, 3 = Shuffle e 4 = 2-Shuffle). Pode-se perceber que os maiores valores encontrados são para os operadores 2-Opt, Shuffle e 2-Shuffle, e como não há diferença estatística significativa entre eles, o operador 2-Opt foi escolhido como melhor mutação para o cruzamento de um ponto por apresentar a maior média. Vale ressaltar que este resultado foi o mesmo encontrado para o operador de cruzamento de um ponto.
D.2 ANOVA para operador de mutação
A convergência média para cada tipo de cruzamento, fixando-se o operador de mutação, é apresentada na Figura D.9. Com base nas curvas, parece que não há diferença estatística entre os tipos de cruzamento.
Com base nas Figuras C.10a, C.10b, C.10c e C.10d, percebe-se a interseção entre as caixas. Logo, é necessário aplicar uma ANOVA para encontrar a existência da diferença estatística em cada tipo de cruzamento para cada operador de mutação.
(a) Swap (b) 2-Opt
(c) Shue (d) 2-Shue
Figura D.9: Comparações da convergência entre os operadores de cruzamento em cada tipo de mutação para o SPEA 2 com redução de 7 objetivos
A seguir, uma ANOVA para cada operador de mutação será feita com o objetivo de detectar a existência de diferença estatística entre os tipos de cruzamento.
D.2.1 ANOVA para mutação Swap
Tabela D.3: Tabela ANOVA para mutação Swap do SPEA 2 com redução de 7 objetivos
Fonte DF SS MS F0 p−value
Colunas 1 0,00036 0,00036 7,03 0,0103 Erro 58 0,003 0,00005
Total 59 0,00336
Com base nos resultados obtidos na Tabela D.3, pode-se obter as seguintes conclu-sões:
(a) Swap (b) 2-Opt
(c) Shue (d) 2-Shue
Figura D.10: Boxplot para os operadores de cruzamento em cada tipo de mutação para o SPEA 2 com redução de 7 objetivos
1. F0= 7,03 e o critério de rejeição deH0é seF0 > fα,(a−1),(an−a). Como,fα,(a−1),(an−a) = f0,05;1;58≈4,08, ou seja F0 > f0,05;1;58, implica na rejeição de H0;
2. p−value= 0,0103é o menor nível em que rejeitaríamosH0 , assim, para α= 0,05, o teste rejeita H0.
Para um nível de significância de α= 0,05, existe diferença estatística significativa entre os tipos de cruzamento para o operador de mutação Swap.
Aplicando o teste HSD de Tukey para saber qual o melhor operador, obtemos a Figura D.11:
Figura D.11: Teste de comparação múltipla para mutação Swap para o SPEA 2 com redução de 7 objetivos
Na Figura D.11, o eixo x representa o valor da função objetivo e em y o tipo de cruzamento, onde 1 = cruzamento de um ponto e 2 = cruzamento de dois pontos. Neste caso, o operador de cruzamento de dois pontos apresenta melhores resultados.
D.2.2 ANOVA para mutação 2-Opt
Tabela D.4: Tabela ANOVA para mutação 2-Opt do SPEA 2 com redução de 7 objetivos
Fonte DF SS MS F0 p−value
Colunas 1 0,00003 2,5872×10−5 0,6 0,4428 Erro 58 0,00251 4,3320×10−5
Total 59 0,00254
Com base nos resultados obtidos na Tabela D.4, pode-se obter as seguintes conclu-sões:
1. F0= 0,6 e o critério de rejeição deH0é seF0 > fα,(a−1),(an−a). Como,fα,(a−1),(an−a) = f0,05;1;58≈4,08, ou seja F0 < f0,05;1;58, implica na falha em rejeitar H0;
2. p−value= 0,4428 é o menor nível em que rejeitaríamos H0, assim, para α= 0,05, o teste falha em rejeitar H0.
Para um nível de significância de α = 0,05, não existe diferença estatística signifi-cativa entre os tipos de cruzamento para o operador de mutação 2-Opt.
D.2.3 ANOVA para mutação Shue
Com base nos resultados obtidos na Tabela D.5, pode-se obter as seguintes conclusões:
1. F0= 2,07 e o critério de rejeição deH0é seF0 > fα,(a−1),(an−a). Como,fα,(a−1),(an−a) = f0,05;1;58≈4,08, ou seja F0 < f0,05;1;58, implica na rejeição de H0;
Tabela D.5: Tabela ANOVA para mutação Shue do SPEA 2 com redução de 7 objetivos
Fonte DF SS MS F0 p−value
Colunas 1 0,0001 0,0001 2,07 0,156 Erro 58 0,00283 0,00005
Total 59 0,00293
2. p−value= 0,156 é o menor nível em que rejeitaríamosH0 , assim, para α= 0,05, o teste rejeita H0.
Para um nível de significãncia de α = 0,05, não existe diferença estatística signifi-cativa entre os tipos de cruzamento para o operador de mutação Shuffle.
D.2.4 ANOVA para mutação 2-Shue
Tabela D.6: Tabela ANOVA para mutação 2-Shue do SPEA 2 com redução de 7 obje-tivos
Fonte DF SS MS F0 p−value
Colunas 1 0,00001 1,0004×10−5 0,14 0,7116 Erro 58 0,0042 7,2456×10−5
Total 59 0,00421
Com base nos resultados obtidos na Tabela D.6, pode-se obter as seguintes conclu-sões:
1. F0= 0,14 e o critério de rejeição deH0é seF0 > fα,(a−1),(an−a). Como,fα,(a−1),(an−a) = f0,05;1;58≈4,08, ou seja F0 < f0,05;1;58, implica na falha em rejeitar H0;
2. p−value= 0,7116é o menor nível em que rejeitaríamosH0 , assim, para α= 0,05, o teste falha em rejeitar H0.
Para um nível de significância de α = 0,05, nâo existe diferença estatística signifi-cativa entre os tipos de cruzamento para o operador de mutação 2-Shuffle.
Utilizando os resultados dos experimentos, percebe-se que o operador de mutação 2-Opt apresentou os melhores resultados em cada tipo de cruzamento, mesmo não existindo diferença estatística com os operadores Shuffle e2-Shuffle. Para se definir qual a melhor configuração para o SPEA 2, foi utilizado os resultados da Tabela D.4 e da Figura D.6 em que o operador de mutação 2-Opt apresenta maior média com o operador de cruzamento de um ponto.
Desta forma, a configuração escolhida do SPEA 2 foi com o cruzamento de um ponto e mutação 2-Opt. Na Figura D.12 é apresentado o conjunto Pareto combinado para a configuração escolhida do algoritmo.
Figura D.12: Conjunto Pareto Combinado após 1000 iterações para o SPEA 2 com a redução de 7 funções objetivo, utilizando a conguração 2-Opt-1pt