O espaço de conguração

O espaço R é introduzido como o conjunto de todos os homomorsmos correspondendo à similar caracterização de A. O papel do grupóide dos caminhos [12], é aqui desempenhado pelo grupo discreto R. O grupo SU(2) é trocado por T , o círculo unitário no plano complexo C.

Como mencionado, a caracterização de R é precisamente a mesma que a de um grupo dual. Embora não insistirmos nisto, a estrutura de R é introduzida desde o começo. Além disto, alguns resultados básicos da análise harmônica [62,66] necessariamente surgirão, em particular na seção (6.2.2), onde uma versão do espaço de conguração na representação de polímeros é apresentada.

6.2.1 O espaço de conguração quântico visto como um grupo com-

pacto

Consideremos a linha real R equipada com uma estrutura de grupo comutativo dada pela adição dos números reais. A compaticação de Bohr R [12] pode ser descrita como sendo o conjunto Hom[R, T ] de todos os homomorsmos, não necessariamente contínuos a partir do grupo R no grupo multiplicativo T de unitários em C.

Um elemento genérico de R será denotado por χ. Assim, todo χ ∈ R é um mapeamento, χ : R → T , tal que,

χ(0) = 1 e χ(λ1+ λ2) = χ(λ1)χ(λ2), ∀λ1, λ2 ∈ R. (6.5)

Desde de que T é um grupo multiplicativo, ca evidente que

dene uma estrutura de grupo sobre R, que é naturalmente comutativa. O grupo R é um subgrupo do grupo de todos os mapeamentos (não necessariamente homomorsmos) de R em T. Desde que, este grupo possa ser identicado com o grupo produto ×_λ∈RT, e T é compacto, ele carrega a topologia produto de Tychono [12,39,41,42], em relação a qual, ×λ∈RT se torna um

grupo compacto de Hausdor. Essa estrutura é herdada pelo subgrupo R, fazendo com que ele seja um grupo topológico. Além disso, a partir do fato que R contém somente homomorsmos, podemos ver ele como um subconjunto fechado de ×λ∈RT. Portanto, R é compacto.

Assim, R é um grupo compacto comutativo em relação a operação (6.6) e a topologia de Tychono. Uma descrição mais explícita desta topologia seria a seguinte. Para cada λ ∈ R, consideramos a função Fλ : R → T denida por,

Fλ(χ) = χ(λ). (6.7)

As funções (6.7) são contínuas e na realidade, a topologia de Tychono em R é precisamente uma topologia fraca, de modo que, todas as funções (6.7), ∀λ ∈ R, são contínuas.

Como em LQG, no caso das conexões, existe um mapeamento natural a partir do espaço de conguração clássico no espaço de conguração quântico, aqui vamos chamá-lo de Θ, denido como (veremos na seção 6.4 que Θ é, na verdade, a compaticação de Gel'fand-Bohr):

Θ : R → R, y 7→ χy; χy(λ) := eiyλ ∀λ ∈ R. (6.8)

Desde que, este mapeamento é injetivo, o conjunto R pode ser visto como uma extensão de R. Assim, o espaço de conguração clássico se comporta como o subespaço dos homomorsmos contínuos do espaço de todos os homomorsmos em R. Em adição a isso, a imagem de Θ(R) é um subconjunto denso. É bom mencionarmos que a injeção Θ é contínua, mas ela não é um homeomorsmo em sua imagem. A topologia induzida sobre R como um subconjunto de R, a qual pode ser vista como uma topologia fraca, de modo que todas as funções x 7→ eiλx, ∀λ ∈ R,

são contínuas, é mais fraca que a topologia usual.

É importante notarmos que, desde que reconheçamos R, como sendo o espectro da C∗_{-álgebra C,}

ca garantido que qualquer função almost-periódica em R [12,62,65] pode ser extendida a partir do conjunto denso Θ(R) em funções contínuas em R (esta é a transformação de Gelfand, neste caso). Em particular, as funções Fλcorrespondem à funções exponenciais R 3 x 7→ eiλx. Porém,

vista no contexto de operadores, isto é, quando considerada como um operador de multiplicação, no qual, Fλ corresponde à função clássica eiλx, dando, na verdade, sua quantização.

6.2.2 Representação de polímeros no espaço de conguração

Sendo um grupo compacto, R é equipado com uma medida invariante (sob operações do grupo) normalizada µ0, a medida de Haar. A medida de Haar nos dá precisamente a representação de

polímeros do espaço de conguração, como podemos ver adiante.

Consideremos o espaço de Hilbert das funções de quadrado integrável L2_(R,µ

0), o qual chamare-

mos de H0. Desde que, as funções Fλ (6.7) são contínuas, elas são em particular integráveis.

Como já era esperado elas formam uma base ortonormal em H0. Pode-se ver facilmente a partir

da invariância da medidad µ0, que esta base é ortonormal. De fato, para todo χ ∈ R temos:

Z R Fλ(χ0χ)dµ0(χ) = Z R Fλ(χ)dµ0(χ), (6.9)

o que nos leva a,

(1 − χ0(λ)) Z

R

Fλdµ0 = 0. (6.10)

Desde que, isto seja verdade para ∀χ0

∈ R, concluímos que Z

R

Fλdµ0 = δλ,0, λ ∈ R, (6.11)

onde δλ,0 é o delta de Kronecker. A partir de F∗λ = F−λe FλFλ0 = F_λ+λ0 segue que {F_λ, λ ∈ R}

é uma base ortonormal completa. É fácil conrmar que esta base é completa, desde que, o espaço das combinações lineares nitas das funções Fλ é uma ∗-subalgebra da álgebra de todas

as funções contínuas C(R), que contém a função identidade, e pontos separados em R. O teorema de Stone-Weiertrass [12, 69, 70] nos assegura que este espaço linear é denso em C(R) em relação a norma do supremo. Alternativamente, este espaço linear corresponde a C, o qual é denso em C por construção. Seguindo argumentos padrões pode-se mostrar que ele é necessariamente denso em relação a norma L2 3_.

Deste modo, o espaço de Hilbert H0 é isomórco ao espaço dos polímeros HP, sendo a trans-

3_{Para um conjunto compacto X, C(X) é L}2 _{denso para uma dada medida de Borel. Por outro lado,}

formação unitária I : HP → H0 dada pelo mapeamento entre as bases:

I : |p >7→ Fp, ∀p ∈ R. (6.12)

O espaço de Hilbert H0 providencia-nos uma representação da C∗-álgebra C(R), a qual é

dedigna, desde que a medida invariante de Haar o é (isto é, todo conjunto não-vazio tem uma medida não-nula). Em particular, tomando o representante de Fλ ∈ C(R) por Π(λ), temos:

Π(λ)ψ(χ) = Fλ(χ)ψ(χ), ψ(χ) ∈ H0. (6.13)

Em adição a isto, desde que, a medida de Haar é invariante, ela é particularmente invariante sob a ação do subgrupo clássico Θ(R). Dene-se naturalmente o grupo unitário a um parâmetro Υ(y):

Υ(y)ψ(χ) = ψ(χyχ), y ∈ R, ψ(χ) ∈ H0. (6.14)

Pode-se ver fácilmente que a transformação unitária I mapeia os operdores ˆU (λ) em Π(λ) e eiy ˆp em Υ(y). A quantização da variável momento pode ser denida sobre o subspaço das

combinações lineares nitas das funções Fλ, por

Π(p)Fλ = λFλ. (6.15)

A representação H0 denida por (6.13) e (6.14) é então, uma versão unitariamente equivalente

da representação de polímeros.

É interessante observarmos que a irredutibilidade é alcançada na representação de conguração, apesar do fato de termos somente um operador de momento. Isto é possível, devido a densidade de órbitas da ação do grupo clássico Θ(R). Assim, não existe uma função não-trivial em R que permaneça invariante sob a ação do grupo clássico Θ(R) e portanto, o operador de conguração não comuta com Π(p).

Finalmente, as combinações lineares nitas da forma P cλFλ(χ) =P cλχ(λ), podem ser vistas

como elementos de H0 que dependem somente dos valores de χ sobre um conjunto nito de