Espa¸ co de adjun¸ c˜ ao

Sejam X um espa¸co topol´ogico, Y um conjunto e π : X −→ Y uma aplica¸c˜ao sobrejetiva.

Defini¸c˜ao 4.1. A topologia quociente em Y determinada por π ´e definida de-clarando um subconjunto U ⊆ Y sendo aberto se, e somente se, π⁻¹(U) ´e aberto em X.

Se, na defini¸c˜ao acima,Y for um espa¸co topol´ogico, ent˜aoπ´e chamadaaplica¸c˜ao quociente.

Seja ∼ uma rela¸c˜ao de equivalˆencia em X. Denotamos por X/ ∼o conjunto das classes de equivalˆencia deX.Sejaπ :X −→X/∼a proje¸c˜ao natural que leva cada ponto em sua classe de equivalˆencia. Dotado com a topologia quociente determinado por π, o espa¸co X/ ∼ ´e chamado de espa¸co quociente (ou espa¸co de identifica¸c˜ao) de X determinado por ∼ .

Defini¸c˜ao 4.2. Sejam X e Y dois espa¸cos topol´ogicos. A uni˜ao disjunta de X e Y ´e o conjunto

XtY = (X× {0})∪(Y × {1}).

Observamos que existem aplica¸c˜oes injetivas canˆonicas i₀ : X −→ XtY e i₁ : Y −→XtY,definidas como i₀(x) = (x,0) ei₁(y) = (y,1),respectivamente. Geralmente, identificamos implicitamenteX com sua imagem na uni˜ao disjunta, vendo assim X como um subconjunto deXtY. A mesma observa¸c˜ao vale para Y.

37

Cap´ıtulo 4. Segundo Teorema de Morse 38

Definimos atopologia da uni˜ao disjuntaemXtY,declarando um subconjunto A⊆XtY como sendo aberto se, e somente se, A∩X ´e aberto em X e A∩Y ´e aberto em Y.

Proposi¸c˜ao 4.3. (Propriedades da topologia da uni˜ao disjunta) Sejam X, Y espa¸cos topol´ogicos e XtY munido com a topologia da uni˜ao disjunta.

(a) Um subconjunto F ⊆X tY ´e fechado se, e somente se, F ∩X ´e fechado em X e F ∩Y ´e fechado emY.

(b) Cada aplica¸c˜ao inclus˜ao i₀ : X −→ X t Y e i₁ : Y −→ X t Y ´e um mergu-lho topol´ogico, isto ´e, ´e um homeomorfismo sobre a imagem munida da topologia induzida.

Demonstra¸c˜ao: Veja ([7], p.604).

Teorema 4.4. Sejam X, Y espa¸cos topol´ogicos e π:X −→Y uma aplica¸c˜ao quociente.

Se B ´e um espa¸co topol´ogico, uma aplica¸c˜ao F : Y −→ B ´e cont´ınua se, e somente se, F ◦π :X −→B ´e cont´ınua.

Demonstra¸c˜ao: Veja ([7]. p.605).

Sejam X e Y espa¸cos topol´ogicos, A ⊆ X um subespa¸co e ϕ : A −→ Y uma aplica¸c˜ao cont´ınua. Definimos a rela¸c˜ao de equivalˆencia “∼” em XtY, pondo











(x1,0)∼(x2,0) se x1 =x2 ou ϕ(x1) =ϕ(x2);

(x,0)∼(y,1) se ϕ(x) =y;

(y₁,1)∼(y₂,1) se y₁ =y₂. As classes de equivalˆencia s˜ao dadas por:

• [(x,0)] ={(x,0)} se x∈X−A;

• [(x,1)] ={(x,1)} se x∈Y −ϕ(A);

• [(x,0)] ={(x,0),(x⁰,0),(ϕ(x),1); ϕ(x⁰) = ϕ(x), x⁰ ∈A} sex∈A;

• [(y,1)] ={(y,1),(x,0); ϕ(x) = y, x∈A}se y∈ϕ(A).

Defini¸c˜ao 4.5. O espa¸co quociente de XtY /∼, munido da topologia quociente, ´e cha-mado espa¸co de adjun¸c˜ao. Denotamos este espa¸co quociente porY ∪_ϕX (ouY ∪_AX) e dizemos ser formado colando X a Y ao longo de A via aaplica¸c˜ao de colagem ϕ (ou ainda ao longo de A).

Observa¸c˜ao 4.6. Convencionamos que se Y =∅, ent˜ao Y ∪_AX =X.

Um caso particular de espa¸co de adjun¸c˜ao ´e o seguinte. Sejam M um espa¸co topol´ogico e X e Y dois subespa¸cos fechados de M tais que X ∩Y 6= ∅. Considere a aplica¸c˜ao de colagem ϕ =i : X ∩Y −→ Y, como sendo a aplica¸c˜ao inclus˜ao. A rela¸c˜ao de equivalˆencia correspondente no espa¸co XtY ´e tal que:

• [(x, ε)] = {(x,1),(x,0)} sex∈X∩Y;

• [(x, ε)] = {(x, ε)} se x /∈X∩Y, onde ε∈ {0,1}.

Note que, dados x, y ∈X∪Y e ε, ε⁰ ∈ {0,1}, temos que

(x, ε)∼(y, ε⁰)⇒x=y. (4.1)

Lema 4.7. Considere X ∪Y munido da topologia induzida. Ent˜ao os espa¸cos X ∪Y e Y ∪X∩Y X s˜ao homeomorfos.

Demonstra¸c˜ao: Seja g :X∪Y −→Y ∪X∩Y X a aplica¸c˜ao definida por g(x) = [(x, ε(x))],

onde

ε(x) =

( 0, se x∈X;

1, se x∈Y −X.

Vamos provar que:

i) g ´e bijetiva;

ii) g e h s˜ao cont´ınuas, ondeh=g⁻¹.

Prova i). Vamos exibir a inversa deg.Seja h:Y ∪_X∩Y X−→X∪Y a aplica¸c˜ao definida por

h([(x, ε)]) =x.

• h est´a bem definida;

Com efeito, isso segue imediatamente de (4.1).

• g◦h =Id_Y∪X∩YX

Seja (x, ε)∈Y ∪X∩Y X, com ε∈ {0,1}.Como

(g◦h)([(x, ε)]) =g(x) = [(x, ε(x))], devemos mostrar que

[(x, ε)] = [(x, ε(x))].

Cap´ıtulo 4. Segundo Teorema de Morse 40

Seja ε∈ {0,1},Por um lado, temos

[(x, ε)] =

( {(x,1),(x,0)}, se x∈X∩Y; {(x, ε)}, se x /∈X∩Y, isto ´e,

[(x, ε)] =











{(x,1),(x,0)}, se x∈X∩Y;

{(x,0)}, se x∈X−Y =X−X∩Y; {(x,1)}, se x∈Y −X =Y −X∩Y.

(4.2)

Por outro lado, temos

[(x, ε(x))] =

( [(x,0)], se x ∈X;

[(x,1)], se x ∈Y −X, isto ´e,

[(x, ε(x))] =











{(x,1),(x,0)}, se x∈X∩Y; {(x,0)}, se x∈X−X∩Y; {(x,1)}, se x∈Y −X.

(4.3)

Comparando (4.2) e (4.3), vˆe-se que [(x, ε)] = [(x, ε(x))], para todo [(x, ε)] ∈ Y ∪_X∩Y X. Portanto, (g◦h) = Id_Y∪_X∩YX.

• h◦g =Id_X∪Y. De fato,

(h◦g)(x) =h([(x, ε(x))]) =x.

Logo, h´e a inversa deg.

Prova ii). Primeiro vamos mostrar queh´e cont´ınua. Pelo Teorema 4.4, basta mostrarmos que

h◦π : XtY −→ X∪Y (x, ε) 7−→ x,

´e cont´ınua, ondeε∈ {0,1}. Seja F ⊆(X∪Y) fechado. Temos

(h◦π)⁻¹(F) = (h◦π)⁻¹[(F ∩(X−X∩Y))∪(F ∩(Y −X∩Y))∪(F ∩X∩Y))]

= (h◦π)⁻¹(F ∩(X−X∩Y))∪(h◦π)⁻¹(F ∩(Y −X∩Y))∪

(h◦π)⁻¹(F ∩X∩Y)

= (F ∩(X−X∩Y)× {0})∪(F ∩(Y −X∩Y)× {1})∪

((F ∩X∩Y)× {0})∪((F ∩X∩Y)× {1})

(h◦π)⁻¹(F) = [F ∩(X−X∩Y)∪(F ∩X∩Y)]× {0}∪

[F ∩(Y −X∩Y)∪(F ∩X∩Y)]× {1}

= (F ∩X)× {0} ∪(F ∩Y)× {1}.

Agora,

(h◦π)⁻¹(F)∩(X× {0}) = [((F ∩X)× {0})∪((F ∩Y)× {1})]∩(X× {0})

= [(F ∩X)× {0}]∩(X× {0})∪[(F ∩Y)× {1}]∩(X× {0})

= (F ∩X∩X)× {0} ∪ ∅

= (F ∩X)× {0}

e

(h◦π)⁻¹(F)∩(Y × {1}) = [((F ∩X)× {0})∪((F ∩Y)× {1})]∩(Y × {1})

= [(F ∩X)× {0}]∩(Y × {1})∪[(F ∩Y)× {1}]∩(Y × {1})

= ∅ ∪(F ∩Y ∩Y)× {1}

= (F ∩Y)× {1}.

Por hip´otese sabemos que X, Y s˜ao fechados em M e F ´e fechado emX∪Y. Esses fatos implicam queF ´e fechado emM.LogoF∩XeF∩Y s˜ao fechados emM,e portanto,F∩X

´e fechado emX e F ∩Y ´e fechado emY. Pela Proposi¸c˜ao 4.3 segue-se que (h◦π)⁻¹(F) ´e fechado emXtY, e portanto, h´e cont´ınua.

Agora, vejamos que g ´e cont´ınua. Seja A⊆Y ∪_X∩Y X um subconjunto fechado.

Considerandoπ :XtY −→Y ∪X∩Y X a proje¸c˜ao definida anteriormente, ´e f´acil ver que π⁻¹(A) = (F × {0})∪(G× {1}), onde F = π⁻¹(A)∩X e G = π⁻¹(A)∩Y, e usando o item (a) da Proposi¸c˜ao 4.3 tem-se que F e G s˜ao fechados em X e Y, respectivamente.

Vamos mostrar queg⁻¹(A) = H∩(X∪Y), com H fechado em M.

Afirma¸c˜ao: g⁻¹(A) = F ∪G.

Primeiro, vamos mostrar queg⁻¹(A)⊆F ∪G.Se x∈g⁻¹(A), ent˜ao, g(x) = [(x, ε(x))] =π(x, ε(x))∈A,

isto ´e, (x, ε(x)) ∈ π⁻¹(A) = (F × {0})∪(G× {1}). Isso implica que x ∈ F ∪G. Agora, vejamos a outra inclus˜ao. Considere x∈F ∪G.Analisaremos dois casos.

Caso 1:x∈F.

Temos que

Cap´ıtulo 4. Segundo Teorema de Morse 42

g(x) = π(x, ε(x))

= π(x,0) (pois x∈F ⊆X)

∈ π(F × {0})

⊆ π((F × {0})∪(G× {1}))

= π(π⁻¹(A))

= A.

Caso 2:x∈G.

Sex ∈G∩(Y −X), a prova ´e an´aloga ao caso anterior. Agora, vejamos o caso em que x∈G∩X. Note que

F ∩Y = (π⁻¹(A)∩X)∩Y. (4.4)

Temos que:

g(x) = π((x, ε(x)))

= π((x,0)) (pois x∈G∩X)

∈ π((G∩X)× {0})

= π((π⁻¹(A)∩Y)∩X)× {0})

= π((F ∩Y)× {0}) (veja (4.4))

⊆ π(F × {0})

⊆ π((F × {0})∪(G× {1}))

= π(π⁻¹(A))

= A.

Logo, em qualquer um dos casos, temos que x ∈ π⁻¹(A). Isso conclui a prova da nossa Afirma¸c˜ao.

Agora, o fato que F e G s˜ao fechados em X e Y, respectivamente, implica que existem fechados M1 eM2 em M tais que:

F =M₁∩X e G=M₂∩Y. (4.5)

Assim, temos

g⁻¹(A) = F ∪G (veja `a Afirma¸c˜ao)

= (M₁ ∩X)∪(M₂∩Y) (veja (4.5))

= [(M1∩X)∪(M2∩Y)]∩(X∪Y).

ComoM₁, M₂, X eY s˜ao fechados emM,segue que H = (M₁∩X)∪(M₂∩Y) ´e fechado em M,e assim, g⁻¹(A) ´e fechado em X∪Y.

4.2 Segundo Teorema de Morse

Sejam M^m uma variedade, f : M −→ R uma fun¸c˜ao suave e a, b n´umeros reais tais que a < b. Nesta se¸c˜ao estudamos o tipo de homotopia de M_b quando f possui um

´

unico ponto cr´ıtico n˜ao degenerado emM_[a,b].

No que se segue usaremos a seguinte terminologia e nota¸c˜ao para todo inteiro k≥0 :

• B^k={x∈R^k:kxk ≤1} - Bola fechada de centro 0 e raio 1 emR^k.

• B^k={x∈R^k:kxk<1}- Bola aberta de centro 0 e raio 1 em R^k.

• S^k−1 ={x∈R^k:kxk= 1} - Esfera de centro 0 e raio 1 em R^k.

Usamos a nota¸c˜aok.k para indicar a norma euclidiana. No caso em que k = 0 definamos R⁰ ={0} eS⁻¹ =∅.

Defini¸c˜ao 4.8.

(a) Uma c´elula fechada de dimens˜ao k (ou k-c´elula fechada) ´e um par (e^k, ω), onde e^k ´e um subconjunto de X e ω :B^k −→e^k ´e um homeomorfismo.

(b) Uma c´elula aberta de dimens˜ao k (ou k-c´elula) ´e um par (e^k, ω), onde e^k ´e um subconjunto de X e ω:B^k−→e^k ´e um homeomorfismo.

Nota¸c˜ao 4.9. Usaremos a nota¸c˜ao e^k para indicar uma k-c´elula e a nota¸c˜ao e^k para indicar uma k-c´elula fechada, mencionando o homeomorfismo ω somente quando for ne-cess´ario.

Define-se o bordo de (e^k, ω) como sendo o conjunto dado por:

∂e^k =:{q∈e^k; kω⁻¹(q)k= 1}, onde a nota¸c˜aok.k indica a norma euclidiana.

Teorema 4.10. (Segundo Teorema de Morse) Sejam f : M −→ R uma fun¸c˜ao suave e p um ponto cr´ıtico n˜ao degenerado com ´ındice λ, tal que f(p) = c. Suponha que exista ε₀ >0 tal que f⁻¹([c−ε₀, c+ε₀])seja compacto e n˜ao contenha nenhum ponto cr´ıtico de f al´em de p. Ent˜ao, para todo 0< ε ≤ε₀ suficientemente pequeno, o conjunto M_c+ε tem o mesmo tipo de homotopia que o conjunto M_c−ε∪_∂eλ e^λ.

Antes de provarmos o Teorema 4.10 daremos um exemplo. Sejam M =T² o toro (de dimens˜ao 2 em R³) considerado no Exemplo 2.6 e f :T² −→R uma fun¸c˜ao definida por f(x, y, z) = z. Provamos no Exemplo 2.6 que f possui quatro pontos cr´ıticos n˜ao

Cap´ıtulo 4. Segundo Teorema de Morse 44

degenerados: p₁, p₂, p₃ e p₄. Sejam f(p₁) = c₁, f(p₂) = c₂, f(p₃) = c₃ e f(p₄) = c₄ os valores cr´ıticos de f.

Figura 4.1: Pontos cr´ıticos de f. Figura 4.2: Valores cr´ıticos de f.

Da defini¸c˜ao de f segue que c₁ < c₂ < c₃ < c₄,e portanto, existem ε₁, ε₂, ε₃ e ε₄, ambos n´umeros reais positivos, tais que:

• c₁+ε₁ < c₂;

• c₂+ε₂ < c₃;

• c₃+ε₃ < c₄.

• c₁ < c₂−ε₂;

• c₂ < c₃−ε₃; e

Ent˜ao o Teorema 4.10 nos diz que os seguintes pares de conjuntos tem o mesmo tipo de homotopia (abaixo, o s´ımbolo “≈” significa que os conjuntos considerados tem o mesmo tipo de homotopia - veja mais detalhes no Apˆendice B).

Figura 4.3: Conjuntose⁰ e M_c1+ε1

Figura 4.4: ConjuntoM_c2−ε2 ∪_∂e¹ e¹ Figura 4.5: ConjuntoM_c2+ε2

Figura 4.6: ConjuntoM_c3−ε3 ∪_∂e¹ e¹ Figura 4.7: ConjuntoM_c3+ε3

Figura 4.8: Conjunto M_c4−ε4 ∪_∂e² e²

A demonstra¸c˜ao do Teorema 4.10 ser´a consequˆencia dos lemas a seguir. Fixamos

Cap´ıtulo 4. Segundo Teorema de Morse 46

os seguintes elementos e nota¸c˜oes.

• Uma carta de Morse (U, ϕ) em p, com coordenadas locais u₁, . . . , u_m. Assim, vale:

• ϕ(0) =p; e

• f(ϕ(x₁, . . . , x_m)) = c − x²₁ − · · · − x²_λ + x²_λ+1 + · · · + x²_m, para todo x= (x₁, . . . , x_m)∈U.

• Um n´umero real ε > 0 satisfazendo ε ≤ ε₀, com ε₀ sendo o ε₀ do enunciado do Teorema 4.10, tal que B[0,√

2ε] ⊆ U, onde B[0,√

2ε] = {x ∈ R^m; kxk ≤ 2ε}

denota a bola fechada centrada no ponto 0 e de raio √ 2ε.

• As fun¸c˜oes suave ξ, η :ϕ(U)−→[0,+∞[, definidas por ξ(q) = (u1(q))² +· · ·+ (uλ(q))² η(q) = (u_λ+1(q))²+· · ·+ (u_m(q))²,

onde λ´e o ´ındice dep emf (como no enunciado do Teorema 4.10). Definimos essas duas fun¸c˜oes apenas para simplificar a nota¸c˜ao.

• Uma fun¸c˜ao suaveµ:R−→Rque satisfaz:

• µ(0)> ε;

• µ(r) = 0 para todo r≥2ε;

• −1< µ⁰(r)≤0 para todo r ∈R,onde µ⁰(r) = ^du_dr; e

• µ(r)6= 0, para todor ∈[0,2ε[.

• A fun¸c˜ao F :M −→R definida por:

F(q) =

( f(q), se q /∈ϕ(U)

f(q)−µ(ξ(q) + 2η(q)), se q∈ϕ(U).

• O elipsoide E :={z ∈ϕ(U); ξ(z) + 2η(z)≤2ε}.

Abaixo, representamos os conjuntosM_c+ε, M_c−ε∪e^λeE na carta de Morse (U, ϕ).

As linhas coordenadas representam os planos uλ+1 =· · · =um = 0 e u1 =· · · =uλ = 0, respectivamente; o c´ırculo representa o bordo da bola de raio√

2ε; e as hip´erboles repre-sentam as hipersuperf´ıcies f⁻¹(c−ε) e f⁻¹(c+ε).

Figura 4.9: Conjunto M_c+ε. Figura 4.10: Conjunto Mc−ε∪_∂e^λe^λ.

Figura 4.11: Conjuntos M_c+ε e E. Figura 4.12: Legenda.

Lema 4.11. (Propriedades de F) Sejam f, p e ε > 0 como no enunciado do Teorema 4.10. A fun¸c˜ao F ´e suave e goza das seguintes propriedades:

(a) F(q)≤f(q) para todo q∈M.

(b) F(q) =f(q) para todo q∈ E^c, onde E^c denota o complementar de E em M.

(c) F⁻¹(]− ∞, c+ε]) =f⁻¹(]− ∞, c+ε]) =M_c+ε. (d) Crit(f) = Crit(F).

(e) Crit(F)∩F⁻¹([c−ε, c+ε]) =∅.

(f) Mc−ε⊂F⁻¹(]− ∞, c−ε])⊆M_c+ε.

Demonstra¸c˜ao: Prova (a). Segue imediatamente do fato que µsatisfaz µ(r) ≥ 0, para todor≥0, e da defini¸c˜ao deF.

Prova (b).Primeiro, vejamos queE ⊆ϕ B[0,√ 2ε]

(veja Figura 4.11). Sejaa∈ E.Como

Cap´ıtulo 4. Segundo Teorema de Morse 48

. Isso mostra a inclus˜ao desejada. Agora, pela defini¸c˜ao de F sabemos que F(q) = f(q) para todo q /∈ ϕ(U). Dessa forma, resta analisarmos o

s˜ao conjuntos abertos que cobrem M. Claramente ϕ(U) ´e um conjunto aberto. Agora, pra ver que M −ϕ B

e fechado em M, pois pela compacidade de B[0,√

2ε] e continuidade deϕsegue-se queϕ B[0,√ 2ε]

´

e compacto emϕ(U),e portanto,

´e compacto em M.Como M ´e um espa¸co Hausdorff, tem-se que ϕ B[0,√

segue imediatamento do item (a) deste lema. Agora, mostremos a outra inclus˜ao, isto ´e, F⁻¹(]− ∞, c+ε])⊂f⁻¹(]− ∞, c+ε]). Pelo item (b) deste lema sabemos que as fun¸c˜oes F ef coincidem no conjunto E^c , logoF⁻¹(]− ∞, c+ε])∩ E^c⊆f⁻¹(]− ∞, c+ε]). Resta mostrar que F⁻¹(]− ∞, c+ε])∩ E ⊆ f⁻¹(]− ∞, c+ε]). Se F⁻¹(]− ∞, c+ε])∩ E =∅, n˜ao tem nada para fazer. Se F⁻¹(]− ∞, c+ε])∩ E 6=∅, basta mostrar que

E ⊂f⁻¹(]− ∞, c+ε])

(veja Figura 4.11). Para ver isso, considereq ∈ E. Temos que f(q) = c−ξ(q) +η(q) ((U, ϕ) ´e uma carta de Morse)

≤ c+ ¹₂ξ(q) +η(q) (Segue do fato que ξ(q)≥0, ∀q∈ϕ(U))

≤ c+ε. (Segue do fato que q ∈ E) Logo, q∈f⁻¹(]− ∞, c+ε]).

Prova (d). Sejaq ∈M.Seq pertence ao conjunto aberto E^c,ent˜ao F ef coincidem (veja item (b) deste lema), e portanto, dF_q = df_q. Nesse caso, os pontos cr´ıticos de F e f s˜ao os mesmos. Agora, vejamos o caso em queq ∈ E.Da igualdadeF =F ◦ϕ◦ϕ⁻¹,segue-se

dFq=d(F ◦ϕ)_ϕ⁻¹_(q)◦dϕ⁻¹_q .

Assim, para encontrarmos os pontos cr´ıticos de F basta encontrarmos os pontos cr´ıticos deF ◦ϕ, pois ϕ⁻¹ ´e um difeomorfismo. Dado x= (x₁, . . . , x_m)∈U,temos que

(F ◦ϕ)(x) = c−(x²₁+· · ·+x²_λ) +x²_λ+1+· · ·+x²_m−µ x²₁+· · ·+x²_λ+ 2(x²_λ+1+· · ·+x²_m) . Denotando por s=x²₁+· · ·+x²_λ+ 2(x²_λ+1+· · ·+x²_m),as derivadas parciais de F ◦ϕno pontox s˜ao

∂(F ◦ϕ)

∂x_i (x) =−2x_i−µ⁰(s)2x_i, se 1≤i≤λ;

∂(F ◦ϕ)

∂x_i (x) = 2x_i−µ⁰(s)4x_i, se λ+ 1≤i≤m.

Logo x∈U ´e um ponto cr´ıtico de F ◦ϕse, e somente se, ( 2xi(−1−µ⁰(s)) = 0, se 1≤i≤λ;

2x_i(1−2µ⁰(s)) = 0, se λ+ 1 ≤i≤m.

Como−1< µ⁰(r)≤0, para todor ∈R,segue-se que

−1−µ⁰(s)<0 e 1−2µ⁰(s)≥1.

Logo, o ´unico ponto cr´ıtico de F ◦ϕem U ´e x= 0. Comoϕ(0) =p,tem-se que p´e ´unico ponto cr´ıtico deF em ϕ(U). Isso conclui a prova da afirma¸c˜ao.

Prova (e). Pelos itens (a) e (c) deste lema, tem-se queF⁻¹([c−ε, c+ε])⊂f⁻¹([c−ε, c+ε]) (veja as Figuras 4.13 e 4.14 abaixo). Pelo item (d) deste lema e a hip´otese de que p´e o

´

unico ponto cr´ıtico de f em f⁻¹([c−ε, c+ε]), segue-se que o ´unico candidato a ponto

Cap´ıtulo 4. Segundo Teorema de Morse 50

cr´ıtico de F em F⁻¹([c−ε, c+ε]) ´ep. Masp /∈F⁻¹([c−ε, c+ε]), pois F(p) = f(p)−µ(0) =c−µ(0) < c−ε.

A desigualdade estrita segue do fato queε < µ(0).

Prova (f). Primeiro vejamos a inclus˜ao Mc−ε ⊂F⁻¹(]− ∞, c−ε]) (veja a Figura 4.16).

Pelo item (a) deste lema segue-se que Mc−ε ⊆ F⁻¹(]− ∞, c−ε]). Agora, provamos no item (e) deste lema que F(p)< c−ε,e portanto, p∈F⁻¹(]− ∞, c−ε]).Por outro lado, p n˜ao pertence ao conjunto M_c−ε, pois c−ε < f(p) = c. Isso garante a inclus˜ao estrita.

A inclus˜aoF⁻¹(]− ∞, c−ε])⊂Mc+ε ´e ´obvia (veja item (c) deste lema).

Figura 4.13: Conjuntos Mc−ε e f⁻¹([c−ε, c+ε]). Figura 4.14: Legenda.

Corol´ario 4.12. F⁻¹(]− ∞, c −ε]) ´e um retrato por deforma¸c˜ao de Mc+ε = f⁻¹(]−

∞, c+ε]).

Figura 4.15: Conjunto M_c+ε=F⁻¹(]− ∞, c+ε]).

Figura 4.16: Conjunto F⁻¹(]− ∞, c−ε]).

Demonstra¸c˜ao: Pelo item (c) do Lema 4.11, sabemos que F⁻¹(]− ∞, c+ε]) = M_c+ε. Logo, para provar o desejado, basta mostrar que F⁻¹(]− ∞, c −ε]) ´e um retrato por

deforma¸c˜ao deF⁻¹(]− ∞, c+ε]).Para ver isso, basta observar queF satisfaz as hip´oteses do Teorema 3.3:

• F⁻¹([c+ε, c−ε]) ´e um conjunto compacto.

De fato, pelos itens (a) e (c) do Lema 4.11, temos que F⁻¹([c−ε, c+ε]) ´e um subconjunto fechado do compactof⁻¹([c−ε, c+ε]),logoF⁻¹([c−ε, c+ε]) ´e compacto.

• N˜ao existem pontos cr´ıticos de F em F⁻¹([c−ε, c+ε]).

Com efeito, segue do item (e) do Lema 4.11.

O resultado segue.

Observa¸c˜ao 4.13. A grande diferen¸ca entre f e F ´e a condi¸c˜ao (e) do Lema 4.11, que nos diz que F n˜ao possui pontos cr´ıticos em F⁻¹([c−ε, c+ε]), ao contr´ario de f, o que nos permite aplicar o Teorema 3.3 no Corol´ario acima.

DadoZ ⊆M,denotaremos porZ o fecho do conjuntoZ com respeito `a topologia deM.

Definamos

H := F⁻¹(]− ∞, c−ε])−M_c−ε e e^λ := {q ∈ϕ(U); ξ(q)≤ε e η(q) = 0}.

Note quee^λ ´e naturalmente umaλ-c´elula fechada. Alguns autores chamam o conjuntoH de “al¸ca”. Assim, a regi˜aoM_c−ε∪H ´e descrita como M_c−ε com uma “al¸ca” colada.

Figura 4.17: Conjuntos M_c−ε, H e e^λ. Figura 4.18: Legenda.

Lema 4.14. Sejam H e e^λ como definidos anteriormente. Ent˜ao valem as seguintes afirma¸c˜oes.

(a) H 6=∅ e H ⊆ E.

Cap´ıtulo 4. Segundo Teorema de Morse 52

(b) F⁻¹(]− ∞, c−ε]) = Mc−ε∪H.

(c) Mc−ε∩H 6=∅ e Mc−ε∩H =f⁻¹(c−ε)∩H.

(d) e^λ ⊆H.

(e) M_c−ε∩e^λ =∂e^λ.

Demonstra¸c˜ao: Prova (a). Segue da demonstra¸c˜ao do item (f) do Lema 4.11 que p ∈ F⁻¹(]− ∞, c−ε])−Mc−ε ⊆H. Logo, H 6=∅.

Agora, vejamos queH ⊆ E.Primeiro vamos mostrar queE ´e fechado emM.ClaramenteE

´e fechado emϕ(U),e sabemos pela prova do item (b) do Lema 4.11 queE ´e um subconjunto do compactoϕ B[0,√

2ε]

.Logo, E ´e compacto em ϕ(U), e portanto ´e compacto em M.

ComoM ´e Hausdorff tem-se que E ´e fechado em M.

Agora, vejamos que

F⁻¹(]− ∞, c−ε])−Mc−ε⊆ E

(veja Figura 4.17). Para ver isso, suponha por absurdo que exista q ∈ (F⁻¹(]− ∞, c− ε])−Mc−ε) tal que q /∈ E. Pelo item (b) do Lema 4.11, segue-se que f(q) = F(q). Mas isso ´e um absurdo, pois por hip´otese temos F(q) ≤ c−ε e f(q) > c−ε. Isso mostra a inclus˜ao desejada. Portanto, pelo dois fatos que acabamos de provar segue que

H =F⁻¹(]− ∞, c−ε])−M_c−ε⊆ E =E.

Prova (b). Pelo item (f) do Lema 4.11 tem-se que M_c−ε ⊂ F⁻¹(]− ∞, c−ε]). Assim, podemos escrever

F⁻¹(]− ∞, c−ε]) =Mc−ε∪ F⁻¹(]− ∞, c−ε])−Mc−ε

.

Logo,

F⁻¹(]− ∞, c−ε]) = Mc−ε∪ F⁻¹(]− ∞, c−ε])−Mc−ε

= Mc−ε∪ F⁻¹(]− ∞, c−ε])−Mc−ε

= Mc−ε∪H.

ComoF⁻¹(]− ∞, c−ε]) e Mc−ε s˜ao conjuntos fechados em M, segue-se que

F⁻¹(]− ∞, c−ε]) =Mc−ε∪H. (4.6)

Prova (c). Primeiro vejamos que M_c−ε ∩H 6= ∅. Afirmamos que ∂e^λ ⊆ M_c−ε ∩H. Seja

q∈∂e^λ.Pela defini¸c˜ao de∂e^λ,sabemos queξ(q) =εeη(q) = 0.Vejamos queq∈Mc−ε∩H.

• q ∈Mc−ε.

De fato, como por hip´otese vale ξ(q) = ε e η(q) = 0, temos que f(q) =c−ξ(q) +η(q) = c−ε.

Portanto, temos o desejado.

• q ∈H.

Seja (q_n)n∈N a sequˆencia em M, cujo termo geral ´e q_n = (1−1/n)q (visto que ´e um resultado local, podemos supor que M ´e um subconjunto de R^m, e portanto, escreveremos q_n = (1−1/n)q, em vez de q_n = ϕ((1−1/n)ϕ⁻¹(q))). Claramente q_n −→q,logo se mostrarmos queq_n ∈ F⁻¹(]− ∞, c−ε])−M_c−ε

,para todon≥1, teremos queq ∈H.E f´´ acil ver que q_n ∈e^λ,para todon ∈N.Primeiro, vejamos que q_n ∈F⁻¹(]− ∞, c−ε]). Temos que:

F(q_n) = f(q_n)−µ(ξ(q_n) + 2η(q_n))

= c−ξ(qn) +η(qn)−µ(ξ(qn) + 2η(qn))

= c−(1−1/n)²ξ(q)−µ((1−1/n)²ξ(q)) (η(qn) = 0)

= c−(1−1/n)²ε−µ((1−1/n)²ε) (q∈∂e^λ)

Ent˜ao,

F(q_n)≤c−ε ⇔ c−(1−1/n)²ε−µ((1−1/n)²ε)≤c−ε

⇔ (1−1/n)²ε+µ((1−1/n)²ε)≥ε

⇔ µ((1−1/n)²ε)≥ε−(1−1/n)²ε.

(4.7)

Pelo Teorema da Desigualdade do Valor M´edio, tem-se que

|µ(0)−µ((1−1/n)²ε)| ≤sup|µ⁰(r)|(1−1/n)²ε].

Como µ´e decrescente e−1< µ⁰(r)≤0 para todo r ∈R,vem que µ(0)−µ((1−1/n)²ε)≤(1−1/n)²ε.

Logo,

µ((1−1/n)²ε) ≥ µ(0)−(1−1/n)²ε

> ε−(1−1/n)²ε (µ(0) > ε). (4.8) Comparando (4.7) e (4.8), conclu´ımos que q_n ∈F⁻¹(]− ∞, c−ε]) para todo n∈N.

Cap´ıtulo 4. Segundo Teorema de Morse 54

Agora, resta mostrar que q_n ∈/ Mc−ε, ou seja, quef(q_n)> c−ε. Temos que:

f(q_n) = c−ξ(q_n) +η(q_n)

= c−(1−1/n)²ξ(q) (η(q_n) = 0)

= c−(1−1/n)²ε (q ∈∂e^λ).

Ent˜ao,

f(qn)> c−ε ⇔ c−(1−1/n)²ε > c−ε

⇔ −(1−1/n)²ε >−ε

⇔ (1−1/n)²ε < ε

⇔ (1−1/n)² <1.

Como (1−1/n)<1, para todon ≥1, segue-se que f(q_n)> c−ε.

Isso mostra que∂e^λ ⊆(Mc−ε∩H),e em particular, (Mc−ε∩H)6=∅,como quer´ıamos mostrar.

Agora vejamos que Mc−ε∩H = f⁻¹(c−ε)∩H. A inclus˜ao “⊇” ´e trivial. Para provar a outra inclus˜ao basta mostrar que Mc−ε∩H ⊆f⁻¹(c−ε). Para mostrar isso, considere q∈M_c−ε∩H.Suponha queq /∈f⁻¹(c−ε),logo deve-se ter ouf(q)< c−εouf(q)> c−ε.

Como por hip´otese q ∈ Mc−ε, tem-se que f(q) > c−ε n˜ao ocorre. Agora, f(q)< c−ε tamb´em n˜ao ocorre, pois

q∈H = F⁻¹(]− ∞, c−ε])∩ {z ∈M; f(z)> c−ε}

⊆ F⁻¹(]− ∞, c−ε])∩ {z ∈M; f(z)> c−ε}

⊆ F⁻¹(]− ∞, c−ε])∩ {z ∈M; f(z)≥c−ε}.

Portanto, deve-se ter q∈f⁻¹(c−ε).

Prova (d). Seja q∈e^λ. Consideremos trˆes casos.

Caso 1:q ∈∂e^λ.

Provamos no item (c) deste lema que ∂e^λ ⊆H.

Caso 2:q =p.

Provamos no item (a) deste lema que p∈H.

Caso 3:q ∈(e^λ−∂e^λ) e q6=p.

Nesse caso, temos que 0< ξ(q)< ε.Aplicando o Teorema do Valor M´edio e usando o fato que µ⁰(r)> −1 para todo r ∈ R, tem-se que −1< µ(ξ(q))−µ(0)

ξ(q) , isto ´e, −ξ(q)−µ(ξ(q))<

−µ(0).Logo,

F(q) = c−ξ(q)−µ(ξ(q))< c−µ(0) < c−ε,

onde usamos a hip´otese µ(0) > ε. Assim, q ∈F⁻¹(]− ∞, c−ε]). Por outro lado, f(q) =

c−ξ(q)> c−ε, e portanto,q /∈Mc−ε.Assim, q∈(F⁻¹(]− ∞, c−ε])−Mc−ε)⊆H.

Prova (e). De fato, seja q ∈ Mc−ε ∩e^λ. Como q ∈ e^λ, tem-se que ξ(q) ≤ ε e η(q) = 0.

Logo, segue-sef(q) = c−ξ(q)≥c−ε.Por outro lado, tem-sef(q)≤c−ε,poisq∈Mc−ε. Assim,

c−ε≤f(q)≤c−ε.

Portanto, deve-se ter f(q) = c− ε, isto ´e, ξ(q) = ε. Logo, Mc−ε ∩ e^λ ⊆ ∂e^λ. Para provar a outra inclus˜ao, considere q ∈ ∂e^λ. Assim, ξ(q) = ε e η(q) = 0, donde f(q) = c−ξ(q) +η(q) = c−ε. Isso implica que q ∈ Mc−ε. Como por hip´otese q ∈ ∂e^λ, tem-se queq ∈e^λ. Logo, ∂e^λ ⊆Mc−ε∩e^λ. Isso prova o desejado.

Lema 4.15. Mc−ε∪e^λ ´e um retrato por deforma¸c˜ao de Mc−ε∪H =F⁻¹(]− ∞, c−ε]).

Figura 4.19: Conjunto F⁻¹(]− ∞, c−ε]). Figura 4.20: Conjunto Mc−ε∪e^λ.

Antes de provarmos o Lema 4.15 introduziremos alguns subconjuntos deϕ(U),os quais facilitar˜ao a prova do Lema 4.15. Aproveitaremos a importˆancia desses subconjuntos para organizar e demonstrar suas propriedades no pr´oximo lema.

Denotamos por V o conjunto ϕ(U)∩ Mc−ε∪H

=ϕ(U)∩F⁻¹(]− ∞, c−ε]).

ComoH ⊂ϕ(U), tem-se que

V = ϕ(U)∩Mc−ε

∪H. (4.9)

DecompomosV em trˆes regi˜oes:

R1 = {q∈V; ξ(q)≤ε},

R₂ = {q∈V; ε≤ξ(q)≤η(q) +ε} e R₃ = {q∈V; η(q) +ε≤ξ(q)}.

Cap´ıtulo 4. Segundo Teorema de Morse 56

Figura 4.21: Regi˜oes de V. Figura 4.22: Legenda.

Lema 4.16. Sejam R₁, R₂ e R₃ como definimos acima. Valem as seguintes afirma¸c˜oes.

(a) R₁ ⊆H.

(b) R₂ = (H−int(R₁))∪(f⁻¹(c−ε)∩ϕ(U)),ondeint(R₁)denota o interior do conjunto R₁ em V.

(c) R₃ =ϕ(U)∩Mc−ε. (d) H =R1∪(R2∩H).

(e) R₁∩R₃ =R₁∩Mc−ε={z ∈V; ξ(q) =ε e η(q) = 0}=∂e^λ. (f ) R₂∩R₃ =R₂∩Mc−ε=f⁻¹(c−ε)∩ϕ(U).

(g) R1∩R2 ={a∈V;ξ(a) =ε}.

Demonstra¸c˜ao: Prova (a). Claramente e^λ ⊆ R1. Pelo item (d) do Lema 4.14, e^λ ⊆ H.

Agora, consideremosq ∈R₁ tal que ξ(q)≤ε e η(q)>0. Temos ent˜ao:

f(q) = c−ξ(q) +η(q)

≥ c−ε+η(q) (Segue da hip´otese ξ(q)≤ε)

> c−ε. (Segue do fato que η(q)>0)

Isso implica que q /∈ ϕ(U)∩Mc−ε. Mas como q ∈ V = (ϕ(U)∩Mc−ε)∪H, (veja (4.9)) deve-se terq ∈H.

Prova (b).Primeiro vamos mostrar que R₂ ⊆ H−int(R₁)

∪(f⁻¹(c−ε)∩ϕ(U)). Para provar isso vamos considerar dois casos. Sejaq ∈R₂.

Caso 1:ξ(q)< η(q) +ε.

Note que segue imediatamente da defini¸c˜ao de R₂ que q /∈ int(R₁). Logo, para provar

a inclus˜ao desejada, basta mostrar que q ∈ H, o que pode ser feito mostrando que q /∈ ϕ(U)∩Mc−ε (veja (4.9)). Mas, isso ´e ´obvio:

f(q) =c−ξ(q) +η(q)> c−η(q)−ε+η(q) = c−ε.

Caso 2:ξ(q) =η(q) +ε.

Temos que

f(q) =c−ξ(q) +η(q) =c−η(q)−ε+η(q) = c−ε,

isto ´e,q ∈f⁻¹(c−ε).Como q∈R₂ ⊆V ⊆ϕ(U), vem queq ∈f⁻¹(c−ε)∩ϕ(U).

Agora, vejamos a outra inclus˜ao. Sejaq ∈(H−int(R₁)).Do fato queq ∈H,segue-se que c−ε≤f(q) (veja demonstra¸c˜ao do item (c) do Lema 4.14). Assim,c−ε≤c−ξ(q) +η(q), donde ξ(q) ≤ η(q) + ε. Como por hip´otese q /∈ int(R₁), tem-se que ε ≤ ξ(q). Logo, ε ≤ ξ(q) ≤ η(q) +ε, e portanto, q ∈ R₂. Agora, se q ∈ f⁻¹(c−ε)∩ϕ(U) temos que c−ε=f(q) =c−ξ(q) +η(q), donde, ξ(q) = η(q) +ε. Logo, q∈R₂.

Prova (c).Primeiro, vamos mostrar queϕ(U)∩Mc−ε ⊆R₃. Sejaq ∈ϕ(U)∩Mc−ε. Temos f(q) =c−ξ(q) +η(q)≤c−ε,

donde,η(q) +ε≤ξ(q),e assim, q ∈R₃. Para mostrar a outra inclus˜ao, considere q ∈R₃. Temos

f(q) = c−ξ(q) +η(q)

≤ c−η(q)−ε+η(q)

= c−ε.

Portanto, q∈Mc−ε. Como R₃ ⊆V ⊆ϕ(U), tem-se queq ∈ϕ(U)∩Mc−ε.

Prova (d). Primeiro vejamos a inclus˜ao R₁ ∪(R₂ ∩H) ⊆ H. Sabemos do item (a) deste lema que R₁ ⊆H. Como (R₂ ∩H)⊆ H, temos o desejado. Agora, provemos a inclus˜ao H ⊆ R₁ ∪ (R₂ ∩ H). Seja q ∈ H. Pelo item (a) deste lema sabemos que R₁ ⊆ H, logo se q ∈ R₁ n˜ao temos nada para fazer. Suponhamos que q ∈ (H −R₁). Como q ∈ H = F⁻¹(]∞, c−ε])−M_c−ε, temos que c− ε ≤ f(q) = c−ξ(q) + η(q), donde ξ(q) ≤ η(q) +ε. Por outro lado, temos que q ∈ (H −R1,) e H ⊆ V, o que implica que ξ(q) > ε, e portanto, vale ε ≤ ξ(q). Logo, ε ≤ ξ(q) ≤ η(q) +ε, isto ´e, q ∈ R₂. Assim, q∈R₂∩H. Segue o desejado.

Prova (e). Primeiro mostraremos a igualdade R₁ ∩ R₃ = ∂e^λ. A inclus˜ao “⊇” decorre imediatamente das defini¸c˜oes de R₁ e R₃. Agora, vejamos a outra inclus˜ao. Seja q ∈ R₁∩R₃. Logo vale

η(q) +ε ≤ξ(q)≤ε,

Cap´ıtulo 4. Segundo Teorema de Morse 58

o que ´e poss´ıvel somente se η(q) = 0 e ξ(q) =ε, isto ´e, se q ∈∂e^λ. Isso prova a igualdade desejada.

Agora, provemos a igualdade R₁ ∩R₃ = R₁ ∩M_c−ε. A inclus˜ao R₁ ∩R₃ ⊆ R₁ ∩M_c−ε decorre do fato que R3 ⊆ Mc−ε (veja item (c) deste lema). Para provar a outra inclus˜ao consideremosq∈R₁∩Mc−ε. Do fato que q∈Mc−ε, temos

f(q) = c−ξ(q) +η(q)≤c−ε ⇔ −ξ(q) +η(q)≤ −ε

⇔ η(q) +ε ≤ξ(q).

Comoq ∈R₁ implica que q∈V. Portanto, q∈R₃.

Prova (f). Primeiro mostraremos a igualdade R₂ ∩R₃ = f⁻¹(c−ε)∩ϕ(U). Dado q ∈ R₂∩R₃, segue-se das defini¸c˜oes deR₂ eR₃ que

η(q) +ε≤ξ(q)≤η(q) +ε.

Logo, deve-se terξ(q) = η(q) +ε. Isso implica que

f(q) =c−ξ(q) +η(q) =c−η(q)−ε+η(q) = c−ε,

donde, q ∈ f⁻¹(c− ε). Como por hip´otese q ∈ R₂ ∩ R₃ ⊂ V ⊂ ϕ(U), segue-se que q ∈ f⁻¹(c−ε)∩ϕ(U). Agora, vejamos a outra inclus˜ao. Dado q ∈ f⁻¹(c−ε)∩ϕ(U), temos

f(q) = c−ε ⇔ c−ξ(q) +η(q) =c−ε

⇔ −ξ(q) +η(q) = −ε

⇔ η(q) +ε =ξ(q) Logo, q∈R₂∩R₃.

Agora, provemos a igualdade R₂ ∩R₃ = R₂ ∩Mc−ε. A inclus˜ao R₂ ∩R₃ ⊆ R₂ ∩Mc−ε

decorre do fato que R₃ ⊆ Mc−ε (veja item (c) deste lema). Para provar a outra inclus˜ao consideremosq∈R₂∩Mc−ε. Do fato que q∈Mc−ε, temos

f(q) = c−ξ(q) +η(q)≤c−ε ⇔ −ξ(q) +η(q)≤ −ε

⇔ η(q) +ε ≤ξ(q).

Comoq ∈R2 implica que q∈V. Portanto, q∈R3.

Prova (g). A inclus˜ao “⊇” decorre imediatamente das defini¸c˜oes de R1 eR2. Agora, veja-mos a outra inclus˜ao. Seja q∈R₁∩R₂. Logo vale,

ε≤ξ(q)≤ε,

donde implica queξ(q) = ε. Isso prova a igualdade desejada.

Demonstra¸c˜ao do Lema 4.15: Seja r : Mc−ε∪H ×[0,1] −→ Mc−ε ∪H a aplica¸c˜ao definida como segue

r(q, t) =











r₁(q, t) =ϕ(u₁(q), . . . , u_λ(q), tu_λ+1(q), . . . , tu_m(q)), se q ∈R₁; r₂(q, t) =ϕ(u₁(q), . . . , u_λ(q), s_tu_λ+1(q), . . . , s_tu_m(q)), se q ∈R₂;

r₃(q, t) =q, se q ∈Mc−ε,

onde s_t´e o n´umero real definido por

s_t=







t+ (1−t)

qξ(q)−ε

η(q) , se η(q)>0; e

0, se η(q) = 0,

para todoq∈R₂.

Afirma¸c˜ao 1: s_t ∈[0,1].

De fato, dado q ∈ R₂ temos duas possibilidades: η(q) = 0 ou η(q) > 0. Se η(q) = 0 j´a temos o desejado. Agora, seη(q)>0 tem-se 0≤ξ(q)−ε≤η(q), e portanto,

s

ξ(q)−ε η(q) ≤

s η(q) η(q) = 1.

Logo,

t+ (1−t) s

ξ(q)−ε

η(q) ≤t+ (1−t) = 1,

dondes_t≤1.Agora, como t ∈[0,1] segue-se que (1−t)≥0, e portanto, s_t≥0.

Afirma¸c˜ao 2: Mc−ε∪R₁∪R₂ =Mc−ε∪H.

De fato, primeiro vamos provar queMc−ε∪R₁∪R₂ ⊆Mc−ε∪H.Sejaq ∈Mc−ε∪R₁∪R₂. Seq ∈M_c−ε,claramenteq ∈M_c−ε∪H.Seq ∈R₁,sabemos do item (a) do Lema 4.16 que R1 ⊆H, logo q∈Mc−ε∪H. Por fim, seq ∈R2, sabemos do item (b) do Lema 4.16 que

R₂ = (H−int(R₁))∪(f⁻¹(c−ε)∩ϕ(U)).

Como (H− {a∈V;ξ(a)< ε})⊆H e (f⁻¹(c−ε)∩ϕ(U))⊆M_c−ε,segue que, em qualquer caso, q∈Mc−ε∪H.

Agora, vejamos a outra inclus˜ao. Seja q ∈ Mc−ε ∪ H. Se q ∈ Mc−ε ´e claro que q ∈ Mc−ε∪R₁∪R₂. Assim, resta considerarmos o caso em que q ∈ H. Mas esse caso segue do fatos que H =R₁∪(H−R₁) e (H−R₁)⊆(H−int(R₁))⊆R₂ (veja itens (a) e (b) do Lema 4.16). Isso conclui a prova da Afirma¸c˜ao 2.

Cap´ıtulo 4. Segundo Teorema de Morse 60

Vamos mostrar que:

(a) r est´a bem definida, isto ´e,

(i) r((M_c−ε∪H)×[0,1]) ⊆M_c−ε∪H;

(ii) r₁ ≡r₂ em R₁∩R₂×[0,1];

(iii) r₁ ≡r₃ em R₁∩Mc−ε×[0,1];

(iv) r₂ ≡r₃ em R₂∩M_c−ε×[0,1].

(b) r(q,1) =q, para todo q∈M_c−ε∪H;

(c) r(q,0)∈Mc−ε∪e^λ,para todo q∈Mc−ε∪H;

(d) r(q, t) = q, para todoq ∈Mc−ε∪e^λ; (e) r ´e uma aplica¸c˜ao cont´ınua.

Prova (a)−(i) Seja q ∈H =R₁∪(R₂∩H)) (veja item (d) do Lema 4.16). Definamos a fun¸c˜ao g : [0,1]−→Rpor

g(α) = c−ξ(q) +α²η(q)−µ(ξ(q) + 2α²η(q)).

A derivada de g ´e dada por g⁰(α) = 2αη(q) −µ⁰(ξ(q) + 2α²η(q))4αη(q) e g⁰(α) ≥ 0, pois η(a) ≥ 0, para todo a ∈ ϕ(U), e −1 < µ⁰(t) ≤ 0, para todo t ∈ R. Claramente, g ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua, e portanto, dados α₁, α₂ ∈ [0,1] tais que α₁ < α₂, temos que g(α1)≤g(α2). Agora, note que g(α) =F(ϕ(u1(q), . . . , uλ(q), αuλ+1(q), . . . , αum(q))).Em particular, temosg(1) = F(q), e comoq ∈H, segue-se que g(1) =F(q)≤c−ε, e assim, vale g(α) = F(ϕ(u₁(q), . . . , u_λ(q), αu_λ+1(q), . . . , αu_m(q))) ≤ c−ε, para todo α ∈ [0,1], donde

ϕ(u₁(q), . . . , u_λ(q), αu_λ+1(q), . . . , αu_m(q))∈F⁻¹(]− ∞, c−ε]),

para todoα ∈[0,1]. Mas, sabemos pelo item (b) do Lema 4.14 que F⁻¹(]− ∞, c−ε]) = Mc−ε∪H. Isso conclui a prova de que r((Mc−ε∪H)×[0,1]) ⊆Mc−ε∪H.

Prova (a)−(ii) Seja q ∈R₁∩R₂.Temos dois casos a considerar.

Caso 1:η(q) = 0.

Neste caso s_t = 0, e portanto, r₂(q, t) = ϕ(u₁(q), . . . , u_λ(q),0, . . . ,0). Por outro lado, η(q) = 0 implicauλ+1(q) = · · ·=um(q) = 0,e assim,r1(q, t) = ϕ(u1(q), . . . , uλ(q),0, . . . ,0).

Logo, r₁(q, t) = r₂(q, t).

Caso 2:η(q)>0.

Pelo item (g) do Lema 4.16 tem-se que R₁∩R₂ ={a∈V; ξ(a) =ε}.Assim, temos

s_t=t+ (1−t) s

ξ(q)−ε

η(q) =t+ (1−t) s 0

η(q) =t.

Isso implica que r₂(q, t) =ϕ(u₁(q), . . . , u_λ(q), tu_λ+1(q), . . . , tu_m(q)) =r₁(q, t).

Prova (a)−(iii) Pelo item (e) do Lema 4.16 tem-se que R₁ ∩Mc−ε = ∂e^λ, e portanto, u_j(q) = 0 para todo q∈R₁∩Mc−ε ej ∈ {λ+ 1, . . . , m}.Assim, temos

r₁(q, t) = ϕ(u₁(q), . . . , u_λ(q), t0, . . . , t0)

= ϕ(u₁(q), . . . , u_λ(q),0, . . . ,0)

= ϕ(u₁(q), . . . , u_λ(q), u_λ+1(q), . . . , u_m(q))

= ϕ◦ϕ⁻¹(q)

= q.

Como r₃(q, t) = q, por defini¸c˜ao, segue que r₁(q, t) = r₃(q, t), para todo (q, t) ∈ R₁ ∩ M_c−ε×[0,1].

Prova (a)−(iv) Seja q ∈ R₂ ∩M_c−ε =f⁻¹(c−ε)∩ϕ(U) (veja item (f) do Lema 4.16).

Temos dois casos a considerar.

Caso 1:η(q) = 0.

De maneira an´aloga a prova que fizemos em Prova (a)−(iii), vˆe-se quer₂(q, t) = r₃(q, t).

Caso 2:η(q)>0.

Pelo item (f) do Lema 4.16, f(q) =c−ε,ou seja, ξ(q) = η(q)−ε, donde

st=t+ (1−t) s

ξ(q)−ε

η(q) =t+ (1−t) s

η(q) +ε−ε η(q) = 1.

Logo,

r₂(q, t) =ϕ(u₁(q), . . . , u_λ(q), u_λ+1(q), . . . , u_m(q)) =ϕ◦ϕ⁻¹(q) =q=r₃(q, t).

Isso conclui a prova do item (a).

Agora, vamos provar que valem os itens (b), (c) e (d). Note que se q ∈ Mc−ε ´e imediato da defini¸c˜ao de r que q satisfaz os trˆes itens. Assim, resta provar que os trˆes itens s˜ao satisfeitos quando q ∈H =R₁∪(R₂∩H) (veja item (d) do Lema 4.16), e para isso consideramos dois casos.

Cap´ıtulo 4. Segundo Teorema de Morse 62

Caso 1:q ∈R₁.

• r(q,1) =q;

De fato, isso segue imediatamente das igualdades

r(q,1) =r₁(q,1) =ϕ(u₁(q), . . . , u_λ(q), u_λ+1(q), . . . , u_m(q)) =ϕ◦ϕ⁻¹(q) =q.

• r(q,0)∈Mc−ε∪e^λ; Temos que:

r(q,0) =r₁(q,0) = ϕ(u₁(q), . . . , u_λ(q),0u_λ+1(q), . . . ,0u_m(q))

= ϕ(u₁(q), . . . , u_λ(q),0, . . . ,0).

Comoq∈R₁,tem-se queξ(q)≤ε.Disso, mais o fato das ´ultimasm−λcoordenadas de r(q,0) serem nulas, segue-se que r(q,0)∈e^λ.Logo, r(q,0)∈Mc−ε∪e^λ.

• r(q, t) = q; para todo q ∈R₁∩(Mc−ε∪e^λ).

Nesse caso, deve-se ter q∈e^λ, pois

R1∩(Mc−ε∪e^λ) = (R1∩Mc−ε)∪(R1∩e^λ)

= (R₁∩Mc−ε)∪e^λ (Segue do fato de e^λ ⊆R₁)

= ∂e^λ∪e^λ (Veja item (e) do Lema 4.16)

= e^λ.

Assim, vale u_λ+1(q) =· · ·=u_m(q) = 0. Ent˜ao temos

r(q, t) = r₁(q, t) = ϕ(u₁(q), . . . , u_λ(q), t0, . . . , t0)

= ϕ(u₁(q), . . . , u_λ(q),0, . . . ,0)

= ϕ(u₁(q), . . . , u_λ(q), u_λ+1(q), . . . , u_m(q))

= ϕ◦ϕ⁻¹(q)

= q, para todo t∈[0,1].

Caso 2:q ∈R₂.

Primeiro vamos analisar o caso em queη(q) = 0.De maneira an´aloga a prova que fizemos em Prova (a)−(iii), vˆe-se que r(q, t) =r₂(q, t) =q. Agora, suponhamos η(q)>0.

• r(q,1) =q;

De fato, temos que

s₁ = 1 + 0 s

ξ(q)−ε η(q) = 1.

Logo,

r(q,1) =r2(q,1) =ϕ(u1(q), . . . , uλ(q), uλ+1(q), . . . , um(q)) =ϕ◦ϕ⁻¹(q) =q.

• r(q,0)∈M_c−ε∪e^λ; Nesse caso s0 =

qξ(q)−ε

η(q) . Logo,

f(r(q,0)) =f(r₂(q,0)) = f(u₁(q), . . . , u_λ(q), s₀u_λ+1(q), . . . , s₀u_m(q))

= c−ξ(q) +s²₀η(q)

= c−ξ(q) +h _ξ(q)−ε

η(q)

¹₂i2

η(q)

= c−ξ(q) +ξ(q)−ε

= c−ε.

Isso mostra que r(q,0)∈Mc−ε,e portanto, r(q,0)∈Mc−ε∪e^λ.

• r(q, t) = q, para todoq ∈R₂∩(Mc−ε∪e^λ) e η(q)>0.

Como estamos no caso em que η(q) > 0, segue que R₂ ∩e^λ = ∅. Assim, resta analisarmos o caso em que q∈R₂∩Mc−ε.O desejado segue do item (a)−(iv).

Isso prova os itens (b), (c) e (d).

Prova (e). Vejamos que as hip´oteses do Lema A.6 s˜ao satisfeitas.

• Levando em conta a rela¸c˜aoH =R₁∪(R₂∩H) (veja item (d) do Lema 4.16), vˆe-se que (Mc−ε∪H)×[0,1] ´e a uni˜ao de trˆes conjuntos fechados:

(Mc−ε∪H)×[0,1] = Mc−ε×[0,1]

∪ R₁×[0,1]

∪ (R₂∩H)×[0,1]

.

• As restri¸c˜oes r₁ =r|_R1×[0,1], r|_(R2∩H)×[0,1] er₃ =r|_Mc−ε×[0,1] s˜ao cont´ınuas.

Claramente, r₁ e r₃ s˜ao cont´ınuas. Para ver que r|_(R2∩H)×[0,1] ´e cont´ınua, basta mostrar que r₂ possui uma extens˜ao cont´ınua no bordo de e^λ, e que essa extens˜ao coincide com a aplica¸c˜ao identidade nesse conjunto (veja a defini¸c˜ao de r). Assim, devemos mostrar quer₂(q, t)−→q,quandoη(q)−→0 eξ(q)−→ε.Agora,η(q)−→

0 implica que u_j(q) −→ 0, para todo j ∈ {λ+ 1, . . . , m}. Como s_t ∈ [0,1] tem-se s_tu_j(q)−→0, quando η(q)−→0. Portanto,

r₂(q, t)−→ϕ(u₁(q), . . . , u_λ(q),0, . . . ,0), isto ´e,

r₂(q, t)−→ϕ(u₁(q), . . . , u_λ(q), u_λ+1(q), . . . , u_m(q)),

Cap´ıtulo 4. Segundo Teorema de Morse 64

com u_j(q)−→0, para todoj ∈ {λ+ 1, . . . , m}. Logo, r2(q, t)−→ϕ◦ϕ⁻¹(q) =q.

Ainda dever´ıamos verificar que as trˆes restri¸c˜oes coincidem nas interse¸c˜oes comuns. Mas, isso j´a foi feito quando mostramos que a aplica¸c˜ao r est´a bem definida. Isso conclui a prova do Lema 4.15.

Demonstra¸c˜ao do Teorema 4.10: Segue do Corol´ario 4.12 e do Lema 4.15 que Mc−ε∪H ≈M_c+ε e

Mc−ε∪e^λ ≈Mc−ε∪H.

Pela Observa¸c˜ao B.3 item 3), tem-se queMc−ε∪e^λ ≈M_c+ε.ComoMc−εee^λs˜ao subespa¸cos fechados deM segue do Lema 4.7 queMc−ε∪e^λeMc−ε∪_∂eλe^λs˜ao homeomorfos, e portanto, M_c−ε∪_∂eλe^λ ≈M_c+ε. Isso conclui a prova do Teorema 4.10.

Observa¸c˜ao 4.17. Mais geralmente, suponha que existam k pontos cr´ıticos n˜ao degene-rados, p₁, . . . , p_k com ´ındices λ₁, . . . , λ_k em f⁻¹(c). Ent˜ao uma prova similar mostra que M_c+ε tem o mesmo tipo de homotopia de Mc−ε∪_∂e^λ1 e^λ1 ∪ · · · ∪_∂eλk e^λk.

Observa¸c˜ao 4.18. Para aplicar o Teorema 4.10, deve-se ter o cuidado de garantir que exista ε >0 tal que o conjunto f⁻¹([c−ε, c+ε]) seja compacto. A seguir exibiremos um exemplo no qual n˜ao podemos aplicar o Teorema 4.10, pois n˜ao existe ε > 0, tal que a hip´otese da compacidade seja cumprida. Considere

f :R−→R, t7−→sin(t).

Claramente,f fun¸c˜ao ´e suave. Afirmamos quep=π/2´e um ponto cr´ıtico n˜ao degenerado de f de ´ındice 1. De fato, como sin⁰(t) = cos(t) implica que

sin⁰(π/2) = cos(π/2) = 0.

Logo p ´e um ponto cr´ıtico de f. Agora, vejamos que p ´e n˜ao degenerado. Temos que sin⁰⁰(t) =−sin(t). Da´ı, tem-se

sin⁰⁰(π/2) =−sin(π/2) =−16= 0.

Portanto, p ´e um ponto cr´ıtico n˜ao degenerado. E por fim, mostremos que o ´ındice de p

´e igual a1. Mas isso segue do fato de que Hess_π/2(f)´e uma forma definida negativa, pois Hessπ/2(f)(t, t) = −t² <0, para todo t∈R− {0}.

Isso conclui a prova da nossa afirma¸c˜ao. Agora, vejamos que n˜ao existe ε > 0 tal que f⁻¹([1−ε,1 +ε]) seja compacto. Como −1 ≤ sin(t) ≤ 1, tem-se f⁻¹([1 −ε,1 +ε]) = f⁻¹([1−ε,1]. Escolhemos ε >0 tal que valha

f(t₀) = 1−ε, para algum 0< t₀ < π/2.

Sabemos quesin(t) = sin(π−t),para todot≥0.Em particular, f(π−t₀) = f(s₀) = 1−ε.

Sabemos ainda que vale

f(t₀) = f(t₀+k2π) = 1−ε e f(s₀) =f(s₀+k2π) = 1−ε para todok ∈N. Assim, escrevendo t_k =t₀+k2π e s_k=s₀+k2π, temos que

f⁻¹([1−ε,1]) = G

k∈N

[t_k, s_k].

Como f⁻¹([1−ε,1]) ´e ilimitado, implica que n˜ao ´e compacto. Na Figura 4.23 a repre-senta¸c˜ao do gr´afico de f est´a de vermelho e o conjunto f⁻¹([1−ε,1]) corresponde aos segmentos de reta de cor azul.

Figura 4.23: Gr´afico def.

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