Especifica¸ c˜ ao estoc´ astica dos modelos

3.2 ESPECIFICAC ¸ ˜ AO DOS MODELOS DE ESTIMAC ¸ ˜ AO

3.2.3 Especifica¸ c˜ ao estoc´ astica dos modelos

Uma das considera¸c˜ oes iniciais deste t´ opico est´ a centrada na ideia de que se deve continuar com valores n˜ ao negativos para as vari´ aveis utilizadas, uma vez que teoricamente nenhuma vari´ avel constru´ıda at´ e agora obteve valores menores que zero. Das trˆ es especifica¸ c˜ oes de erros que ser˜ ao mostradas, cada uma tem uma forma diferente de ser trabalhada para evitar os valores negativos. Semelhante como apresentado por Just e Pope (1978), s˜ ao os trˆ es modelos mais comuns:

y = f (X) e

^ε

com E(ε) = 0 y = f (X) ε com E(ε) = 1 y = f (X) + ε com E(ε) = 0.

(3.16)

Basicamente temos duas f´ ormulas com erros multiplicativos e uma com erros aditivos.

As duas formas multiplicativas acabam por serem mais manej´ aveis quando se trata de evitar valores negativos para as vari´ aveis que se utiliza neste trabalho. Isto se deve ao fato de que a esperan¸ ca do termo que multiplicar´ a por f (X) ser 1 (no caso de e

^ε

teremos que a esperan¸ ca ´ e dada por e

⁰

= 1), uma vez que os desvios em torno da m´ edia representariam varia¸c˜ oes percentuais na quantidade produzida. No caso do termo de erro aditivo a representa¸ c˜ ao gira em torno do quantum produzido. No formato aditivo o desvio padr˜ ao deve ser pequeno o suficiente para que nenhum valor seja negativo.

Duas contrapartidas para os modelos multiplicativos e aditivos s˜ ao os modelos gerais de erro (KUMBHAKAR; TSIONAS, 2011), sendo especificados por:

y = f (x

− ε

, x

− ε

, ... x

− ε

) com E(ε

) = 0 ∀i ∈ [1, j]

y = f (x

₁

ε

₁

, x

₂

ε

₂

, ... x

ε

) com E(ε

) = 1 ∀i ∈ [1, j]. (3.17) Utilizando-se das duas formas de erros gerais, podemos adaptar isto para o caso em que tamb´ em a quantidade de insumos consumida sofre dist´ urbios. Com erros adicionados nas demandas por insumo, Lusk et al. (2002) mostra que a pr´ opria no¸c˜ ao de dualidade ter´ a resultados inconsistentes, uma vez que estes erros da percep¸c˜ ao (seja do produtor, como do econometrista) da demanda por insumos pode ser interpretada como erros de medida. Utilizando-se da Cobb-Douglas, os autores Bittencourt e Sampaio (2011) mostram que, uma vez que existam erros estoc´ asticos na demanda por insumos a estimativa dos parˆ ametros pela forma dual det´ em um vi´ es menor que a forma primal.

Destarte, tentaremos abranger a an´ alise da Cobb-Douglas para a fun¸c˜ ao CES, mostrando como as estimativas dos parˆ ametros ´ e prejudicada entre as formas primal e dual, considerando a existˆ encia de erros da aplica¸ c˜ ao dos insumos, assim como de erros no n´ıvel de produ¸ c˜ ao.

Primeiramente os modelos primal e dual utilizando a lineariza¸c˜ ao por uma expans˜ ao de

Taylor ser˜ ao regredidos por OLS. Nestes modelos, apenas as quantidades consumidas de insumos

e de produto final sofrer˜ ao dist´ urbios, uma vez que pode ser proveniente tanto de ineficiˆ encia

alocativa dos insumos, como de erros de medida por parte do econometrista ou erro de base

amostral. Assim teremos as vari´ aveis com dist´ urbios para os modelos rodados por OLS dadas

Tanto ε

, ε

₁

como ε

₂

ser˜ ao normalmente distribu´ıdas e independentes, todas com m´ edia 0 e desvio padr˜ ao de 0.04. O valor do desvio padr˜ ao foi escolhido de tal forma que, mesmo que se utilize 5 desvios-padr˜ ao ter´ıamos, por exemplo, no caso de y que:

y

_ols

(−0.2) = ye

^−0.2

⇒ y

_ols

= y0.8187

y

_ols

(0.2) = ye

^0.2

⇒ y

_ols

= y1.2214. (3.19) Desta forma ´ e bastante pouco prov´ avel que as vari´ aveis (y, x

₁

, x

₂

) acabem sendo uti-lizadas em valores menores que 81.87% do ponto ´ otimo ou 122.14% acima. Utilizando-se do logaritmo natural teremos:

ln y

_ols

(ε

) = ln y + ε

ln x

_1ols

(ε

₁

) = ln x

₁

+ ε

₁

ln x

2ols

(ε

) = ln x

+ ε

.

(3.20)

A constru¸ c˜ ao dos modelos primal e dual ser˜ ao constru´ıdas com estes erros nos modelos (3.2) e (3.12), reescritos como:

ln y(p, ω, t, ν, ε

) = β

+ β

t + β

ln x

(p, ω, t, ν, ε

) + β

ln x

(p, ω, t, ν , ε

)+

+ β

₄

(ln x

₁

(p, ω, t, ν, ε

₁

) − ln x

₂

(p, ω, t, ν , ε

₂

))

+ ε

_kp

. (3.21)

ln y(p, ω, t, ν , ε

) = β

+ β

t + β

ln p + β

ln ω

+ β

ln ω

+ β

(ln ω

− ln ω

)

+ ε

_kd

. (3.22) Utilizando-se das formas aditivas e multiplicativas, tanto do erro apenas considerado na vari´ avel dependente como dos modelos de erros gerais, a constru¸ c˜ ao dos dados para as regress˜ oes NLLS utilizando o estimador Levenberg-Marquardt ser˜ ao:

Π

lmm

(p, ω, t, ν, ε

) = Πε

, Π

lma

(p, ω, t, ν, ϑ

) = Π + ϑ

y

_lmm

(p, ω, t, ν, ε

) = yε

, y

_lma

(p, ω, t, ν, ϑ

) = y + ϑ

x

_1lmm

(p, ω, t, ν , ε

₁

) = x

₁

ε

₁

, x

_1lma

(p, ω, t, ν , ϑ

₁

) = x

₁

+ ϑ

₁

x

_2lmm

(p, ω, t, ν , ε

₂

) = x

₂

ε

₂

, x

_2lma

(p, ω, t, ν , ϑ

₂

) = x

₂

+ ϑ

₂

.

(3.23)

Os dist´ urbios multiplicativos que ser˜ ao utilizados no Levenberg-Marquardt ser˜ ao

dis-tribu´ıdos normalmente, tais quais os erros dos modelos primal e dual de Kmenta. Os dist´ urbios

ϑ s˜ ao distribu´ıdos normalmente tal que ϑ

∼ N (0,

^min₈^{Z}

). Esta regra foi constru´ıda para fazer

com que nenhum valor das vari´ aveis utilizadas se torne negativo, uma vez que ao considerar-se

o menor valor como referˆ encia para o desvio padr˜ ao e dividindo o mesmo por 8, descartamos

qualquer possibilidade do dist´ urbio tornar algum valor menor que zero; isto decorre dos limites

m´ aximos que o algoritmo pseudo-aleat´ orio de gera¸ c˜ ao de dados ´ e capaz de gerar para dado

desvio-padr˜ ao.

Os modelos especificados no cap´ıtulo anterior, representados pelas formas descritas em 3.20 e 3.23 foram reproduzidos no R por 10000 vezes para cada conjunto de parˆ ametros. Desta forma foram obtidas as m´ edias dos parˆ ametros recuperados como consta nas tabelas do apˆ endice, assim como a variˆ ancia destes dados. A consistˆ encia destas estimativas pode ser analisada at´ e um certo limite, uma vez que a maior amostra de dados que utilizamos por regress˜ ao era composta por 500 amostras. Com exce¸c˜ ao dos parˆ ametros γ e θ, que foram estimados com grande qualidade, os demais dependem em grande medida da natureza inicial dos valores das vari´ aveis e, logicamente, tamb´ em dos erros.

Vale ressaltar para fins de identifica¸c˜ ao nos gr´ aficos que os modelos de Kmenta primal e dual ser˜ ao respectivamente denominados por KP e KD. Os modelos por Levenmber-Marquardt primal e dual ser˜ ao representados pelas respectivamente por LMP e LMD; quando nos referirmos aos modelos por Levenber-Marquardt duais sempre que utilizarmos a fun¸ c˜ ao de produ¸c˜ ao acrescentaremos Y e ao utilizarmos a fun¸ c˜ ao lucro acrescentaremos L, ficando assim LMDY e LMDL. Por fim, dependendo do termo de erro utilizado nos modelos Levenberg-Marquardt, sejam na forma aditiva ou multiplicativa acrescentaremos respectivamente A ou M no final da sigla. Desta forma, ter´ıamos por exemplo que a sigla LMDLM significaria um modelo rodado por Levenberg-Marquardt dual, utilizando-se da fun¸ c˜ ao Lucro com erros multiplicativos.

Quando os valores de α s˜ ao 0.1 ou 0.5 temos que os valores dos insumos consumidos, produto e lucro ficam abaixo da unidade, com exce¸ c˜ ao da combina¸ c˜ ao α = 0.5 , ρ = −0.5. Desta forma os erros aplicados de forma aditiva nos modelos NLLS acabam se aproximando tamb´ em bastante de zero, uma vez que os dist´ urbios foram produzidos como uma fra¸ c˜ ao dos menores valores destas s´ eries de dados como medida de desvio-padr˜ ao. O resultado destes dist´ urbios t˜ ao pr´ oximos de zero nestas formas apresentaram uma convergˆ encia quase imediata para os trˆ es modelos NLLS com erros aditivos, mesmo em pequenas amostras. Uma conclus˜ ao preliminar deste fato ´ e de que amostras com perturba¸c˜ oes m´ınimas em rela¸c˜ ao ao ponto ´ otimo poderiam ser regredidas pelo m´ etodo de Levenberg-Marquardt sem maiores complica¸ c˜ oes. Portanto, deve-se ter em conta que tais bases de dados se pautariam em valores muito pr´ oximos de zero, com dist´ urbios ainda menores em rela¸c˜ ao aos valores ´ otimos das vari´ aveis. Outrossim, as an´ alises mais pertinentes dos modelos com erros aditivos ser˜ ao aquelas em que o conjunto de dados contenha α = 0.9.

Os conjunto de dados que tem α = 0.9 obtiveram os maiores valores para as vari´ aveis (x

₁

, x

₂

, y, Π), desta forma tamb´ em os dist´ urbios aplicados de acordo com as equa¸ c˜ oes em (3.20) e (3.23) seriam maiores em magnitude. Desta forma fica percept´ıvel nas regress˜ oes por NLLS, utilizando o algoritmo Levenberg-Marquardt, que os resultados de pequenas amostras, com N = 50, tiveram bastante discrepˆ ancia, inclusive nos modelos com erros aditivos, com grandes vieses nos parˆ ametros (A, α, ρ).

Por exemplo, mesmo que alguns destes valores tendam a convergir em alguma medida

para o valor original na m´ edia, os gr´ aficos abaixo demonstram que as estimativas dos parˆ ametros

α, ρ s˜ ao problem´ aticas , muitas vezes com dois picos de concentra¸ c˜ ao dos valores obtidos, sendo estes picos, em alguns casos, opostos entre si em rela¸ c˜ ao ao valor original.

Figura 2 – Estimativas de A , α ρ nos modelos duais por Levenberg-Marquardt com N=50

Figura 3 – Estimativas de A , α ρ nos modelos duais por Levenberg-Marquardt com N=100

Tamb´ em, ainda com α = 0.9 e ρ = −0.5 os modelos primais regredidos por NLLS falham

em alcan¸car os parˆ ametros estimados, mesmo com N = 500. Observe-se que o modelo com erros

aditivos tem estimativas bastante ruins quando γ = 0.8 e o modelo com erros multiplicativos

com γ = 0.9. Ainda nesta seara os modelos regredidos por OLS n˜ ao desempenham resultados

melhores. O modelo primal, neste caso, chega a ter resultados como α > 1 e a estimativa de

A chegando a ter 6 d´ıgitos antes da v´ırgula. A variˆ ancia nos modelos OLS para as estimativas

de ρ sobretudo persistem a valores absurdos mesmo em grandes amostras. O modelo primal de

Kmenta para os valores α = 0.9 , ρ = 0.5 , γ = 0.8 piora de acordo com o aumento da amostra,

levando tamb´ em a valores incongruentes com a teoria apresentada no cap´ıtulo 2, oferecendo um

ρ = −18.7332.

Figura 4 – Estimativas de A , α ρ nos modelos duais por Levenberg-Marquardt com N=250

Figura 5 – Estimativas de A , α ρ nos modelos duais por Levenberg-Marquardt com N=500 Outro comportamento problem´ atico tanto no modelo primal na forma de Kmenta, como no problema dual, ´ e a rela¸ c˜ ao da estimativa de α. De acordo com que ρ se distancia da origem os valores estimados de α tendem a se afastar gradativamente do valor original. No caso em que α = 0.1 podemos ver este comportamento bem patente para o caso primal, como mostra a figura 6. J´ a para o problema dual podemos ver o mesmo comportamento em dire¸ c˜ ao oposta para α = 0.5 como na figura 7

Figura 6 – Estimativas de α primal por Kmenta com α original igual a 0.1

Figura 7 – Estimativas de α dual por Kmenta com α original igual a 0.5

Seguindo os trabalhos que mostram que o m´ etodo de Kmenta (1967) ´ e problem´ atico para as estimativas de ρ (CORBO, 1977; THURSBY; LOVELL, 1978; THURSBY, 1980) devido

`

a inconsistˆ encia do estimador, por ser uma s´ erie truncada ao redor de ρ tendendo a zero, obt´ em-se neste caso com erros estoc´ asticos na demanda por insumos tamb´ em uma inconsistˆ encia na estima¸c˜ ao do parˆ ametro α, conforme seria esperado tendo em vista o trabalho de Bittencourt e Sampaio (2011). Por´ em, como o mesmo tamb´ em ocorre com o α dual, uma an´ alise de qual fator explica este comportamento, majoritariamente, do parˆ ametro alfa, tanto na forma primal como na forma dual necessitaria de um estudo direcionado apenas ` a aproxima¸c˜ ao de Kmenta em rela¸c˜ ao a este parˆ ametro.

Uma hip´ otese que poderia ser levantada ´ e de que, uma vez que na forma primal se trabalha com as quantidades consumidas dos insumos, o movimento da estimativa do parˆ ametro alfa crescer, conforme rˆ o cresce, pode indicar que a fun¸ c˜ ao, ent˜ ao se aproximando cada vez mais de uma Leontief (quando ρ tende ao infinito) favore¸ ca o bem mais abundante, tentando estabelecer um valor de alfa para bens complementares condizentes com os dados. De forma an´ aloga, o movimento das curvas de densidade para o alfa dual caminha para a esquerda quando o valor original ´ e 0.5. Outra forma de compensa¸c˜ ao parece existir na forma dual, buscando explicar o parˆ ametro atrav´ es do pre¸ co mais alto.

Sobre as estimativas de ρ, na maior parte das estimativas para os modelos na aproxima¸ c˜ ao de Kmenta apresentam a diminui¸ c˜ ao do vi´ es ao passo que se aumenta a amostra. No caso da vers˜ ao dual do modelo de Kmenta o modelo estimado para os valores α = 0.9 , ρ = (0.5 , 1) obteve valores de vi´ es e variˆ ancia explosivos, chegando a um vi´ es mais de 400 vezes maior que a pr´ opria medida em um dos casos. O caso com o maior vi´ es para a estima¸c˜ ao primal ´ e no conjunto de dados α = 0.9 , ρ = 0.5 , γ = 0.9 chegando a ser mais de 200 vezes maior que o pr´ oprio parˆ ametro. O comportamento da estimativa de ρ do modelo primal ´ e mais vari´ avel no que se refere ao vi´ es, j´ a o modelo dual demonstra uma variˆ ancia maior entre os valores estimados.

No que se refere ` as estimativas sobre o tema da dualidade, o desempenho sensivelmente melhor do modelo de Kmenta dual em rela¸c˜ ao ao Kmenta primal n˜ ao ´ e suficiente para garantir o desempenho de uma ou outra forma, devido ` a inconsistˆ encia natural deste m´ etodo ` a priori.

Por parte dos estimadores NLLS h´ a sim uma melhor estima¸c˜ ao por parte de ambos

os modelos duais, em ambos os padr˜ oes de erro (aditivo e multiplicativo) em rela¸c˜ ao ` as suas

contrapartidas primais. Havendo erros aditivos pequenos a vantagem dos modelos duais ´ e singela, envolvendo uma maior convergˆ encia da estimativa dos parˆ ametros na m´ edia, sobretudo no que se refere a ρ.

No caso de α percebe-se os dois montes com N = 50 , γ = 0.8, onde um deles at´ e est´ a bastante pr´ oximo do parˆ ametro original, mas de acordo com que a amostra cresce, identifica-se apenas um monte que se torna mais distante do valor original do parˆ ametro α. J´ a por parte dos modelos duais a convergˆ encia aparenta ocorrer por causa de uma cauda bastante alta ` a esquerda. O formato bastante marcado da densidade dos rˆ os obtidos para o modelo primal decorre de existir alguns outliers, prejudicando o funcionamento devido do algoritmo, trazendo uma variˆ ancia bastante alta.

Com os mesmos parˆ ametros, alterando apenas γ para 0.9, observa-se que o modelo primal indica uma convergˆ encia maior para os parˆ ametros para grandes amostras, todavia mais uma vez o funcionamento do algoritmo foi prejudicado pela existˆ encia de outliers, o que n˜ ao ocorre com os modelos duais. J´ a nos modelos com termos multiplicativos os dados das tableas dos anexos para α = 0.9 demonstram que, mesmo que a distribui¸ c˜ ao n˜ ao seja perfeita dos modelos duais, a vantagem em termos de proximidade do parˆ ametro original destes modelos ´ e bastante melhor que do modelo primal.

Figura 8 – Estimativas primal e dual com erros aditivos

Figura 9 – Estimativas primal e dual com erros aditivos

Buscou-se neste trabalho primeiramente dar fundamento matem´ atico suficiente para que a obra tivesse as principais demandas supridas neste aspecto. A constru¸ c˜ ao de resultados importantes sobre conjuntos e concavidade de fun¸c˜ oes resolveram muitos dos problemas enfrenta-dos na solu¸ c˜ ao das condi¸c˜ oes preliminares para a solu¸ c˜ ao do problema de maximiza¸c˜ ao de lucro.

Desta forma demonstrar a concavidade da fun¸c˜ ao CES, sobretudo quando se incorpora o termo γ de escala desempenhou passo fundamental, sobre o qual foi erigido o lagrangeano da fun¸ c˜ ao lucro tendo-se como restri¸c˜ ao a fun¸c˜ ao de produ¸c˜ ao cˆ oncava. A no¸ c˜ ao de ser capaz descrever uma tecnologia qualquer de uma fun¸c˜ ao de produ¸c˜ ao por um outro formato mostrou-se pertinente teoricamente, mesmo que a n˜ ao-linearidade desta fun¸ c˜ ao leve ` as mesmas complexidades que da fun¸ c˜ ao original.

Na constru¸ c˜ ao da simula¸ c˜ ao foram expostos conhecimentos necess´ arios para a constru¸ c˜ ao dos dados iniciais partido de vari´ aveis uniformemente vari´ aveis, que foram aplicados para a constru¸ c˜ ao do vetor de pre¸ cos para as simula¸ c˜ oes. Atrav´ es deste primeiro vetor de pre¸ cos, gerou-se as outras vari´ aveis do modelo de maximiza¸c˜ ao de lucro. A constru¸ c˜ ao dos modelos econom´ etricos, cada um a sua maneira, necessitou de diferentes especifica¸ c˜ ao estoc´ astica, onde de forma semelhante a Bittencourt e Sampaio (2011) constru´ımos a demanda por insumos tamb´ em com dist´ urbios, uma vez que o econometrista n˜ ao tem pleno acesso a todos os fatores decis´ orios do emprego de insumos.

Ainda no que se refere aos modelos, utilizou-se a aproxima¸c˜ ao inicial de Kmenta (1967) para fazer um modelo dual exequ´ıvel em OLS. Devido ao tratamento dificultoso por parte da fun¸ c˜ ao lucro, optou-se por utilizar o n´ıvel de produ¸ c˜ ao, sob a prerrogativa de que a troca de vari´ aveis independentes j´ a seria suficiente para se manter uma segunda forma de trabalhar com os parˆ ametros da CES. Tamb´ em repetiu-se a utiliza¸ c˜ ao do m´ etodo de Levenberg-Marquardt (LEVENBERG, 1944; MARQUARDT, 1963) para os modelos NLLS para o modelo primal como em Thursby e Lovell (1978), Thursby (1980), Kumar e Gapinski (1974), buscando-se expandir tamb´ em o modelo dual.

Os resultados mostraram que os modelos baseados na aproxima¸ c˜ ao de Kmenta tiveram resultados bastante pobres dependendo da faixa dos parˆ ametros verdadeiros, tanto no modelo primal como no dual, salvaguardando uma maior eficiˆ encia e vieses menores para a estima¸ c˜ ao dual em uma quantidade maior de regress˜ oes. Os parˆ ametros γ , θ , A tiveram na maior parte das regress˜ oes resultados bastante satisfat´ orios, uma vez que tanto no que se refere ao vi´ es como da consistˆ encia as estimativas s˜ ao bastante pr´ oximas do valor original.

Nos casos de NLLS, duas especifica¸ c˜ oes de erros estoc´ asticos distintas foram analisadas:

uma aditiva e a outra multiplicativa. Devido ` a constru¸c˜ ao dos erros na forma aditiva, a maior parte

das regress˜ oes tiveram convergˆ encia mesmo em pequenas amostras, o que vai ao encontro com a

literatura que utilizou-se deste procedimento para regredir uma CES (THURSBY; LOVELL,

1978; THURSBY, 1980; KUMAR; GAPINSKI, 1974). Todavia esta convergˆ encia se torna mais

sutil e problem´ atica quando se trabalha com grandes n´ umeros como no caso em que α = 0.9.

Nesta faixa (quando α = 0.9) observa-se que embora exista uma convergˆ encia de baixo vi´ es por parte dos modelos duais, mostrando uma leve superioridade em rela¸ c˜ ao ao m´ etodo primal, a densidade de todos os parˆ ametros estimados mostram problemas. Em alguns casos dois picos bastante distintos do valor original mostram que os valores da vizinhan¸ca do parˆ ametro verdadeiro ´ e que s˜ ao obtidos frequentemente. Em outros casos grandes e altas caudas em apenas um dos lados da distribui¸ c˜ ao emp´ırica fazem com que a convergˆ encia tamb´ em ocorra, mesmo que o valor mais frequente seja bastante diferente do valor verdadeiro.

E importante ressaltar que este comportamento de dois montes na distribui¸ ´ c˜ ao emp´ırica dos parˆ ametros obtidos nas formas duais, para o caso dos modelos com erros multiplicativos, n˜ ao invalidam a grande superioridade do modelo dual, uma vez que existem grandes vieses e uma quantidade consider´ avel de resultados outliers nos casos primais.

De forma geral este trabalho corrobora com a literatura no que se refere ` a inconsistˆ encia maior dos modelos primais com a presen¸ ca de erros estoc´ asticos nas demandas por insumo (BITTENCOURT; SAMPAIO, 2011; LUSK et al., 2002; BROWN; WALKER, 1995; BERNDT, 1976), quando comparados aos modelos duais. Tamb´ em indo de encontro a literatura sobre o m´ etodo de Kmenta (1967), mostrou-se que a forma dual em rela¸ c˜ ao ` a primal obteve resultados ligeiramente melhores, mas n˜ ao o suficiente uma vez que a literatura mostra que a aproxima¸ c˜ ao de Kmenta ´ e enviesada ` a priori na constru¸ c˜ ao baseada em uma expans˜ ao de taylor truncada (KUMAR; GAPINSKI, 1974; CORBO, 1977; THURSBY; LOVELL, 1978; THURSBY, 1980).

Por ´ ultimo a utiliza¸ c˜ ao de formas duais mostraram sens´ıveis vantagens em rela¸ c˜ ao aos modelos

primais no NLLS Levenberg-Marquardt no caso dos erros aditivos, j´ a nos casos dos modelos

NLLS com erros multiplicativos a vantagem das formas duais mostrou-se bastante superior. Em

parte o trunfo deste trabalho dentro da literatura ´ e levantar que mesmo existindo convergˆ encia

por parte dos estimadores NLLS para a fun¸ c˜ ao CES, a distribui¸ c˜ ao emp´ırica deve ser levada

em conta, uma vez que parˆ ametros diferentes e opostos pela m´ edia s˜ ao os respons´ aveis por tal

convergˆ encia falsa.

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No documento UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN ´A RONALD WEGNER NETO (páginas 44-105)