No caso de uma certa part´ıcula ser descrita de forma probabil´ıstica por uma densidade |ψ(x)|2, ou seja, a probabilidade de encontr´a-la numa regi˜aoA´e dada por
Z
A|ψ(x)|2dx,
observamos que as regi˜oes onde |ψ(x)|2 ´e grande s˜ao aquelas que temos mais chance de encontr´a-la. Mesmo assim, ´e claro que se for muito muito pequeno o volume de uma regi˜aoB em que os valores
|ψ(x)|2s˜ao grandes, a integralR
B|ψ(x)|2dxpoder´a ter valor pequeno, ou seja ser´a pequena probabilidade de encontrar a part´ıcula emB.
Na an´alise que de qualquer fenˆomeno de natureza aleat´oria ´e na-tural tentar descobrir o comportamento m´edio associado. Por exem-plo, suponha que a posi¸c˜ao espacial de uma part´ıcula sob a a¸c˜ao da equa¸c˜ao de Schr¨odinger seja descrita por (x1, x2, x3) no tempo t via ψt∈ L2(R3)(dx).
Podemos estar interessados em saber o comportamento m´edio da 70
sua coordenadax2 no tempot. A express˜ao Z
x2kψt(x1, x2, x3)k2dx1dx2dx3, descreve de forma anal´ıtica esta informa¸c˜ao.
Este valor ser´a denominado posteriormente de valor esperado no tempo t da vari´avel cl´assica x2 para a densidade kψt(x1, x2, x3)k2. Observe que
Z
x2kψt(x1, x2, x3)k2dx1dx2dx3 =<X2ψ, ψ > .
Se, por exemplo, o valor dekψt(x1, x2, x3)k2´e muito grande perto do ponto (4.3,7.1,2)∈R3 em compara¸c˜ao com os outros pontos de R3, ou seja a densidade est´a muito concentrada em (4.3,7.1,2), ent˜ao a integral acima vai ficar perto do valor 7.1.
Defini¸c˜ao 4.1. Um operador autoadjunto A agindo no espa¸co de Hilbert H ser´a chamando de observ´avel. Vamos denotar de valor m´edio (ou valor esperado) da part´ıcula descrita por ψ ∈ H sob o observ´avelAa express˜ao
E(A)ψ=< A >ψ=< ψ, A ψ > .
No caso geral, o observ´avelApode ter o espectro constitu´ıdo por parte cont´ınua e pontual (autovalores).
Como A ´e autoadjunto, este valor < ψ, A ψ > ser´a sempre um n´umero real como j´a vimos na primeira se¸c˜ao.
Note que o o valor esperado de um Ageral est´a sempre atrelado a uma distribui¸c˜ao espacial oriunda do estadoψfixado.
Por exemplo, se H =L2(R3)(dx), e, A = X2, ent˜ao, para uma dada fixadaψt
<X2>ψt=< ψt,X2(ψt)>=
Z
x2kψt(x1, x2, x3)k2dx1dx2dx3. Uma pergunta natural ´e: quais s˜ao as propriedades da fun¸c˜ao de v´ariavelt, dada por<X2>ψt, que se pode obter a partir do fato que ψtsatisfaz a equa¸c˜ao de Schrodinger?
Na Mecˆanica Cl´assica os observ´aveis s˜ao fun¸c˜oes f(x, p). Por e-xemplo, podemos estar interessados na evolu¸c˜ao da coordenada x2
do sistema mecˆanico governado por um certo Hamiltoniano cl´assico H(x, p). Neste caso, f(x, p) = x2. Podemos estar eventualmente interessados na evolu¸c˜ao da coordenada p3 deste sistema cl´assico;
assim, seria natural considerar f(x, p) = p3. Se considerarmos o observ´avel cl´assicof(x, p) =p21+p22+p23, ent˜ao estar´ıamos observando o m´odulo ao quadrado do vetor momento. E assim, por diante. Mais exatamente, se
(x(t), p(t)) = (x1(t), x2(t), x3(t), p1(t), p2(t), p3(t))
satisfaz a equa¸c˜ao de Hamilton com condi¸c˜ao inicial (x0, p0) ∈ R6, ent˜ao, por exemplo, se f(x, p) = x2, teremos que x2(t), descreve ao longo do tempo a evolu¸c˜ao dinˆamica da segunda coordenada da part´ıcula. Ainda, se f(x, p) = p21+p22+p23, ent˜ao p21(t) +p22(t) + p23(t), descreve ao longo do tempo a evolu¸c˜ao dinˆamica do m´odulo ao quadrado do momento da part´ıcula.
Na Mecˆanica Quˆantica vamos trabalhar com a densidade da prob-abilidade da posi¸c˜ao espacial x(ou do momento) da part´ıcula. N˜ao ser´a possivel dizer de forma determin´ıstica que no tempota part´ıcula estar´a num determinado ponto. Se a part´ıcula no tempot tem dis-tribui¸c˜ao caracterizada porψtent˜ao seu valor m´edio de momentoP3 ser´a descrito por
<P3>ψt=< ψt,P3(ψt)>=
Z
ψt(x1, x2, x3) [−i~ ∂
∂x3ψt(x1, x2, x3)]dx1dx2dx3.
O valor acima ser´a um n´umero real. Destacamos aqui o fato que foi (de certa forma) inevit´avel, como vimos, o uso dos n´umeros com-plexos na formula¸c˜ao da equa¸c˜ao de Schr¨odinger. Mas quando vamos calcular o valor esperado de um observ´avel obtemos sempre n´umeros reais que ´e o que se esperaria. Ou seja, ao calcular m´edias voltamos ao ”nosso bom mundo real”. Num certo sentido, mais pr´oximo, ao
”nosso conhecido mundo cl´assico”.
A introdu¸c˜ao dos n´umeros complexos na teoria se deve princi-palmente a necessidade de se produzir uma apropriada e elegante
descri¸c˜ao do fenˆomeno da interferencia (como foi descrito na se¸c˜ao 2). Na verdade, existem formula¸c˜oes que dispensam a estrutura com-plexa e os mesmos resultados s˜ao obtidos mas por outros princ´ıpios (ver se¸c˜ao 12 no presente texto e ainda 2.18 de [189]).
O oscilador harmˆonico corresponde ao Hamiltoniano H(x, p) =
p2
2m+m w22x2.
O correspondente operadorHser´a φ(x)→ − ~2
Vamos mostrar em breve que o ground state (associado ao auto-valorλ0= 12 ~w) do oscilador harmˆonico ser´a da formaφ0=A e−x
2 α , ondeα= m w2~. Escolhemos a constante Ade tal forma que|φ0|= 1
O valor esperado do Hamiltoniano Hem φ0´e a energia total do estadoφ0.
Assim,φ0sob a a¸c˜ao de tal Hamiltoniano tem energia total
< P2
Se nosso objetivo fosse observar o momento ao quadrado deφ0= A e−x
2
α , ent˜ao os poss´ıveis resultados (ver Postulado 2 a seguir) pode-riam atingir qualquer n´umero n˜ao negativo (o espectro deP2´e a reta real n˜ao negativa). O valor m´edio das observa¸c˜oes seria
<P2>φ0=~2 α.
Como vimos antes, o espectro do operador Xj, j ∈ {1,2, ., n} cont´em toda a reta real. Xj n˜ao possui autovalores.
Assim o operador autoadjuntoXjn˜ao possui um conjunto ortonor-mal completo enumer´avel de autofun¸c˜oes.
Em qualquer caso, mesmo que o espectro n˜ao seja apenas pon-tual, o espectro do operador H vai desempenhar um papel muito importante na Mecˆanica Quˆantica.
No caso unidimensional, se o observ´avel for X, ent˜ao estaremos analisando a posi¸c˜ao espacial do estado.
A ´algebra dos observ´aveis deve ser encarada como uma vers˜ao n˜ao comutativa da ´algebra das fun¸c˜oes. A fun¸c˜ao realx → x23 vai corresponder aX32, as fun¸c˜oes reais aos operadores autoadjuntos, o Hamiltoniano cl´assicoH a H, etc...
Uma quest˜ao fundamental na teoria ´e o que se pode obter de uma medi¸c˜ao f´ısica de um sistema quˆantico. O pr´oximo postulado trata disto.
POSTULADO 2. Os observ´aveis em Mecˆanica Quˆantica s˜ao descritos por operadores autoadjuntosA. Uma medi¸c˜ao do observ´avel Asobre um estado ψ vai dar como resultado um autovalor, ou mais geralmente, um elemento do espectro deA.
Suponha que medi¸c˜ao seja descrita por A = P
nλnPϕn, onde os ϕn formam um conjunto ortonormal enumer´avel completo, e, os autovalores correspondentes s˜ao denotados λn ∈ R. Neste caso o espectro ´e constiu´ıdo pelo conjunto dos autovalores. Assuma que o estadoψseja descrito porψ=P
βkϕk,βk∈C. Preparando o apar-elho que far´a a observa¸c˜ao da mesma forma e em se fazendo v´arias medi¸c˜oes a frequencia do aparecimento um determinado autovalorλk
´e descrita pela probabilidade |βk|2.
A palavra medi¸c˜ao acima tem um sentido de algo que ´e medido por uma aparato f´ısico. Nao ´e uma terminologia matem´atica.
Por exemplo se A for o Hamiltoniano H, ent˜ao este observ´avel, ao ser medido sobre uma part´ıcula que est´a no estadoψ, vai resultar em algum autovalor deH, o que vai corresponder a um certo n´ıvel de energia. Existem diversos aparelhos que em laborat´orios de pesquisa conseguem medir a energia de um certo estado. Se repetirmos a medi¸c˜ao, sob as mesmas condi¸c˜oes, poder´a ocorrer um outro resultado
(que ser´a talvez um outro autovalor deH). No exemplo do oscilador harmˆonico apenas os valoresλn= (n+12)~w,n= 0,1,2, ..., podem resultar de uma medi¸c˜ao de energia. Neste caso apenas um conjunto enumer´avel de autovaloresλn poderiam resultar da medi¸c˜ao. Fixado o estadoψ e o observ´avelA ent˜ao a correncia de cada λn tem uma certa probabilidade (ver observa¸c˜ao 1 abaixo).
Se repetirmos v´arias vezes estas medi¸c˜oes o valor m´edio delas ser´a E(H)ψ =< ψ,H(ψ) >(vamos elaborar sobre isto em seguida na observa¸c˜ao 1).
Como dissemos antes vamos mostrar na se¸c˜ao 2 que os conjunto dos valores do espectro do operador autoadjunto H est´a contido na imagem do Hamiltoniano cl´assicoH(q, p) associado. Assim, o postu-lado acima n˜ao ´e assim t˜ao surprendente.
Note que o observ´avel posi¸c˜aoX (caso unidimensional por exem-plo) n˜ao possui autovalores. Uma vers˜ao mais ampla do postulado acima afirma que apenas valores do espectro podem ser obtidos como fruto de uma medi¸c˜ao (ver se¸c˜ao 2.1 e 2.2 de [189], vamos elabo-rar um pouco mais sobre este ponto). Neste caso, como qualquer n´umero real est´a no espectro, temos que uma medi¸c˜ao quˆantica da posi¸c˜ao pode eventualmente atingir qualquer n´umero real. Note que no experimento da fenda dupla (que mencionamos anteriormente) os valores atingidos na placa detectora (medi¸c˜ao de posi¸c˜ao x) podem estar em qualquer lugar (qualquer ponto da reta real associada ao detector).
Quando a part´ıcula num tempo t colide no ponto xcom a placa detectora conforme descrito no exemplo da figura 2.2, em fun¸c˜ao do seu impacto, se pode ”medir”a sua energia (autovalor do Hamilto-nianoH). Os possiveis valores assim obtidos (sob certas hip´oteses) estariam apenas entre um certo conjunto enumer´avel de possibildades (os autovalores do observ´avelH).
Ao passar um foton por um cristal, este ao sair, determina um estado que ´e uma combina¸c˜ao de dois estados cada um com um spin.
Isto n˜ao caracteriza a a¸c˜ao de um operador autoadjunto. Ap´os esta passagem, se pode medir a sua colis˜ao com uma placa e a´ı teremos uma medi¸c˜ao (que ser´a descrito por operador autoadjunto).
A a¸c˜ao de um operador unit´ario sobre um estado resulta como output um outro estado. Sendo assim n˜ao descreve uma medi¸c˜ao.
Vamos descrever de outra forma o valor < A >ψ para uma certa ψ em L2(Rn)(dx). Suponha que para o operador autoadjunto A, definido num espa¸co de Hilbert H, vale o seguinte: existem autove-toresϕn, n ∈N, de multiplicidade finita, com autovalores λn ∈R, que definem um conjunto ortonormal enumer´avel completo. Em geral sempre se ordena os autovalores em ordem crescente
λ0≤λ1≤λ2≤...≤λn ≤...
Observa¸c˜ao 1: a express˜ao acima deve ser entendida da seguinte forma. Fixadoψ, cada valor|αn|2,n∈N, descreve a probabilidade de que a part´ıcula descrita pelo estadoψ(com densidade de probabilidade|ψ(x)|2), sob a a¸c˜ao do observ´avel A, e ap´os uma medi¸c˜ao, resulte no valor real λn. Esta afirma¸c˜ao complementa o postulado acima e ser´a explici-tado no Postulado 5. Mais detalhes e considera¸c˜oes sobre este ponto aparecem ap´os o Postulado 8 na se¸c˜ao 2.1 de [189].
Podemos considerar ent˜ao que ´e inerente ao problema a ex-istencia de uma medida de probabilidadeP com pesos|αn|2, n∈N. Desta forma podemos descrever o valor esperado do autovalor atrav´es da express˜ao P∞
n=0 λn|αn|2. Este sentido de valor esperado descrito agora ´e, em princ´ıpio, conceitual-mente diferente do anteriorconceitual-mente introduzido < ψ, A(ψ) >.
Resulta ao fim serem os mesmos valores.
Note que comoP∞
n=0 |αn|2<∞, os valores|αn|2 tendem a zero quando n → ∞. Assim, os n´ıveis correspondentes aos autovalores maiores tem a tendencia de terem menor probabilidade.
Estamos afirmando (no presente caso) que os ´unicos possiveis re-sultados da observa¸c˜aoA seriam os autovaloresλn. Esta afirma¸c˜ao requer um explica¸c˜ao mais cuidadosa do seu sentido preciso, e, ser´a objeto do Postulado 4, e, das considera¸c˜oes subsequentes ao Postu-lado 6 (se¸c˜ao 2.1 de [189]).
Observe que quando ´e feita uma medi¸c˜ao existe um co-lapso da indetermina¸c˜ao (oriunda esta da pr´evia aleatoriedade descrita pelo estado) e a medi¸c˜ao resulta num dos poss´ıveis autovalores do operador observ´avel em considera¸c˜ao. O aparato que faz a medi¸c˜ao no laborat´orio pode ser descrito de forma matem´atica via um certo operador autoadjuntoL.
O colapso do estado ´e um postulado que n˜ao ´e governado pela equa¸c˜ao de Schrodinger.
Uma quest˜ao interessante ´e perguntar o que se pode dizer do ”sis-tema quˆantico”(que ao ser observado colapsa num autovalor digamos)
”antes”de uma medi¸c˜ao. Referimos o leitor a [24] para a descri¸c˜ao de certos experimentos feitos em laborat´orio que tentam entender o mencionado problema.
E importante destacar a diferen¸ca entre modelar matematica-´ mente a realidade e a realidade f´ısica em si mesma. Se L ´e um observ´avel (um operador autoadjunto) e ψ um estado, n˜ao existe uma interpreta¸c˜ao f´ısica direta para L(ψ). Por exemplo, n˜ao existe sentido f´ısico para −∆ψ. Observe entretanto que < ψ, L(ψ) > nos d´a o valor esperado; ainda, que os autovalores de L determinam os poss´ıveis eventos obtidos via medi¸c˜ao. Embora um certo operador autoadjunto L (observ´avel) fixado permita entender o que se pode prever no mundo real, n˜ao ´e qualquer express˜ao matem´atica inerente ao modelo que possui uma corresponente interpreta¸c˜ao f´ısica.
No entanto, faz sentido do ponto de vista da realidade f´ısica aplicar um operador unit´ario a um estadoψe o resultado ´e um outro estadoφ.
Existem outros operadores cujo input ´e um estadoψe cujo output
´e outro estado φ e que tem relevˆancia f´ısica. Por exemplo, certas experincias em laborat´orio s˜ao descritas por um operador proje¸c˜aoPϕ
onde est´a fixado um estadoϕ. Um operador proje¸c˜ao n˜ao ´e unit´ario (n˜ao ´e invers´ıvel).
Como dissemos antes a palavra ”quanta”tem o sentido de quanti-dade discreta. Na Mecˆanica Cl´assica uma fun¸c˜ao (observ´avel) pode assumir um continuo de poss´ıveis valores. Na Mecˆanica Quˆantica, por sua vez, um observ´avelA(que satisfaz a hip´otese acima, ou seja, seu espectro ´e constitu´ıdo apenas por um conjunto enumer´avel de au-tovalores), medido para uma part´ıcula no estadoψ, s´o poder´a apre-sentar um certo conjunto enumer´avel de resultados (seus autovalores λn).
Observa¸c˜ao 2: de forma heur´ıstica, podemos dizer que a medida que a massa m do sistema em considera¸c˜ao cresce temos que o espa¸camento entre os autovalores (a energia) do Hamiltoniano diminui, de tal forma que quando a massa fica ”grande”temos a ilus˜ao de que todos os valores reais s˜ao possiveis para a energia (num cont´ınuo de possibilidades do observ´avel cl´assico). A formaliza¸c˜ao matem´atica rigorosa de tal afirma¸c˜ao (no entendimento do autor) n˜ao est´a ainda no momento dispon´ıvel. No entanto, na se¸c˜ao de exemplos (no caso do oscilador harmonico) vamos mostrar que esta afirma¸c˜ao faz todo sentido.
Num ´atomo existem poss´ıveis n´ıveis de energia para os eletrons em torno do n´ucleo. Estes seriam descritos pelos autovalores de um certo H = −2~m2 4+V. Se uma part´ıcula tem um certo n´ıvel de energia determinada, digamos λ2, ent˜ao, sua densidade de posi¸c˜ao espacial ser´a dada pela correspondente densidade|ϕ2(x)|2.
Inicialmente se pode pensar que o eletron estaria no estado de n´ıvel de energia mais baixo, ou seja, com energiaλ0, e, descrito pela densidade de posi¸c˜ao|ϕ0(x)|2. Este ´e denominado de ground state.
Se fornecermos energia ao sistema ele poder´a saltar a um n´ıvel de energia mais alto, digamosλ1, e assim seria descrito pela densidade de posi¸c˜ao|ϕ1(x)|2.
Estamos assim colocando o estado num numa certa particular escolha. Existem outras maneiras de se preparar o sistema num lab-orat´orio para se obter um determinado estadoψ.
Considere fixado em operador HamiltonianoHque ser´a encarado como um observ´avel. Uma dada part´ıcula quˆantica (um estado) pode
exibir um comportamento misto: ter um pouco de energiaλ1 e um pouco de energiaλ3, mas suponha que apenas estes. Assim, aψque descreve tal part´ıcula teria a formaψ=α1ϕ1+α3ϕ3, ondeϕ1eϕ3
designam as autofu¸c˜oes de H associadas respectivamente a λ1 eλ3. Desta maneira,|α1|2+|α3|2= 1. Ap´os fixar oψ, que foi preparado para estar nesta forma, ´e que iremos fazer a medi¸c˜ao via o observ´avel A=H. Quando medimos v´arias vezes (estamos com um observ´avel A fixo) a sua energia, digamos 1000 vezes, e, calcularmos o n´umero a1000 de vezes que ”observamos”o valor de energia λ1, obtemos o valor aproximado
a1000
1000 ∼ |α1|2.
Um descri¸c˜ao interessante sobre a diferen¸ca entre medi¸c˜oes repeti-das e medi¸c˜oes sucessivas aparece na pagina 53 na se¸c˜ao 4.3a em [113].
O desenvolvimento a seguir vai ilustrar o papel dos observ´aveis na Mecˆanica Quˆantica.
Sejahψt(x), x2ψt(x)i=R
x2kψt(x)k2dx, ent˜ao, usando a equa¸c˜ao de Schr¨odinger e o Lemma 3.3 temos que
d
Recuperamos assim, via valor esperado, uma express˜ao semel-hante `a correspondente cl´assica, ou seja, ´e verdadeiro para qualquer j∈ {1,2,3, ..., n}que
mx0j(t) = m d
dtxj(t) = pj(t).
Da mesma forma, se pode mostrar tamb´em que para qualquer j∈ {1,2,3, ..., n}vale
d
dthPjiψt = d
dthψt,Pj(ψt)i=h−∂V
∂xjiψt.
Assim recuperamos, via valor m´edio, tamb´em a express˜ao cl´assica em termos de colchete de Poissonp0j ={H, pj}=−∂x∂Vj.
Reunindo as duas express˜oes, para todo t, temos que para qual-querj ∈ {1,2,3, ..., n}vale
m d
dt <Xj >ψt=<Pj>ψt, e d
dthPjiψt = h−∂V
∂xjiψt. Desta forma recuperamos (num certo sentido) as Leis de Newton (e a equa¸c˜ao de Hamilton) ao tomarmos os valores m´edios dos observ´aveis envolvidos.
Assim, o que representaria a vers˜ao quantica da velocidade cl´assica seria o operador m1 P.
Vamos generalizar as express˜oes acima para um operador autod-juntoAqualquer.
Lema 4.1. Seja A autoadjunto, e, ψt satisfazendo a equa¸c˜ao de Schr¨odinger, ent˜ao, para todot
d
dthψt, Aψti=hψt, i
~[H, A]ψt)i. Ou, de forma equivalente,
d
dthAiψt =hi
~[H, A]iψt.
Este resultado ´e conhecido como Teorema de Ehrenfest.
Demonstra¸c˜ao:
d
dthψt, A(ψt)i = hd
dtψt, A(ψt)i+hψt, A(d dtψt)i
= h1
i~H(ψt), A(ψt)i+hψt, A(1
i~H(ψt))i
= hψt,i
~H(A(ψt))i − hψt, A(i
~H(ψt))i
= hψt,i
~[H, A](ψt)i.
Vamos elaborar mais sobre o resultado acima na se¸c˜ao 1.13 de [189].
Fazendo aqui um paralelo com a Mecˆanica Cl´assica do resultado acima lembramos que se pode mostrar ([184] Ex 6 se¸c˜ao 3.2) que dado F(x, p), F : R2n → R, e sua evolu¸c˜ao ao longo de uma solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Hamilton (x(t), p(t)), entao vale que
d
dtF(x(t), p(t)) ={F, H}(x(t), p(t)), onde{,}denota o colchete de Poisson.
Uma integral primeira para equa¸c˜ao de Hamilton (para um Hamil-tonianoH) ´e uma fun¸c˜aoFque ´e constante ao longo da evolu¸c˜ao tem-poral (x(t), p(t)), ou seja, tal que dtd F(x(t), p(t)) = 0; uma condi¸c˜ao suficiente para isto ´e que{F, H}= 0.
De forma an´aloga, se desejamos obter um observ´avelA tal que o valor esperado ao longo da evolu¸c˜ao temporal descrita pela equa¸c˜ao de Schrodinger (associada ao Hamiltonian H) seja constante, ent˜ao segue do Lema acima que basta obterAtal que [H, A] = 0.Note que como [H,H] = 0 ent˜ao o valor esperado deHn˜ao muda ao longo da evolu¸c˜ao temporal do estado pela dinˆamica de Schrodinger.
Como dissemos antes, o sentido f´ısico de um determinado ob-serv´avelAest´a associado a uma medi¸c˜ao obtida via algum aparelho.
Dada uma part´ıcula que se encontra num estadoψ, podemos medir a energia, o momento, e outras grandezas pertinentes.
Defini¸c˜ao 4.2. A energia m´edia de uma part´ıcula no estado ψ sob a a¸c˜ao deH´e
Eψ(H) =< ψ,Hψ >=< ψ,[P2
2m+V](ψ) > .
Se ψ ´e autofun¸c˜ao normalizada de H associada ao autovalor λ, ent˜ao,Eψ(H) =λ.
O operador observ´avelI corresponde a n˜ao observar (n˜ao medir nada).
Note primeiro que estes observ´aveis quˆanticos A envolvem con-ceitos que em geral possuem an´alogos cl´assicos. Quando a massam´e muito pequena devemos proceder de maneira diferente (da cl´assica), e assim, surge o cen´ario quˆantico. Em segundo lugar note que para cal-cular uma probabilidade associada ao observ´avelAse faz necess´ario um estadoψ(que por sua vez envolve a posi¸c˜aoxda part´ıcula). Dito isto, podemos prosseguir.
Observ´aveis no Setting Cl´assico: suponha que uma densi-dade f(x), onde temos que f : Rn → R, descreve a probabilidade da posi¸c˜ao x, mais exatamente, a probabilidade de encontrar xno conjuntoC seriaR
Cf(x)dx≥0.
A m´edia da posi¸c˜aoxseriax=R
x f(x)dx.
Um observ´avel cl´assico, dependente da posi¸c˜aox, seria uma fun¸c˜ao cont´ınuag(x), ondeg:Rn→R.
Defini¸c˜ao 4.3. O valor esperado, ou m´edia, do observ´avel cl´assico gseria
Ef(g) =gf = Z
g(x)f(x)dx.
Vamos supor que o observ´avel cl´assicogest´a fixo, e, consideramos v´arias poss´ıveis densidades f. Uma possibilidade de densidade f seria, por exemplo, um|ψ|2 oriundo do mundo quˆantico.
POSTULADO 3. Para cada observ´avel cl´assico g(x),g:Rn→ R(n˜ao necessariamente cont´ınuo), corresponde um operador autoad-juntoA com dom´ınio denso emL2(Rn)(dx), tal que, para todo ψem D(A) vale
g|ψ|2 =< ψ, A ψ > .
SeB ´e autoadjunto e D(A)⊂D(B)e, para todo ψ∈D(A) g|ψ|2 =< ψ, B ψ >,
ent˜ao B=A.
Dado o observ´avel cl´assicog, o associadoAser´a denotado porQg. Assim, para qualquer talψ∈D(A) vale
Z
g(x)|ψ(x)|2dx = Z
ψ(x)Qg(ψ)(x)dx.
Por exemplo, dado g(x) = x2, temos que Qx2 = X2. Ser´a im-portante considerar tal express˜ao para fun¸c˜oes que n˜ao s˜ao anal´ıticas nem mesmo continuas, como por exemplog(x) =I(−∞,c)(x), onde c
´e um n´umero real. A associa¸c˜ao para o caso de oberv´aveis da forma g(x) ser´a abordada num exemplo na se¸c˜ao 2.1 de [189] ap´os a apre-senta¸c˜ao do Teorema Espectral.
Observ´aveis cl´assicos da forma g(x, p) tamb´em podem ser quan-tizados. A associa¸c˜ao ao operador quantizado OWp g a um dado ob-serv´avel cl´assico da formag(x, p) ser´a feita via a quantiza¸c˜ao de Weyl na se¸c˜ao 2.16 de [189].
Vamos ilustrar num exemplo simples (ver [202] and [94]) o pro-cedimento de quantiza¸c˜ao de observ´aveis cl´assicos da forma g(x, p), ondex∈[0,2π] (ou, o c´ırculo unit´ario S1).
Vamos associar a fun¸c˜ao realg(x, p) um operador autoadjuntoL agindo emL2.
Dada uma fun¸c˜ao per´odicau: [0,2π]→CemL2(dx,[0,1]), pode-mos escreve-la em terpode-mos de s´erie de Fourier (ver por exemplo [39])
u(x) = X∞ n=−∞
ˆ
u(k)e−i kx, onde ˆu(k) s˜ao coeficientes de Fourier deu.
A s´erie de Fourier da derivada de upode ser obtida atrav´es dos coeficientes de Fourier ˆu(k),k∈Z, via
A s´erie de Fourier da derivada de upode ser obtida atrav´es dos coeficientes de Fourier ˆu(k),k∈Z, via