R ESPOSTAS DO SISTEMA

Uma vez seleccionadas as variáveis relevantes no problema, o passo seguinte corresponde à obtenção de um conjunto de respostas necessária ao ajuste do modelo, de forma a estabelecer a função de desempenho.

O processo de selecção do vector das variáveis básicas, para cada realização, não é um processo arbitrário. Pelo contrário, são tipicamente seguidas algumas metodologias baseadas, conforme se referiu anteriormente, em ‘níveis factoriais’ ou ‘factoriais fraccionados’.

No que diz respeito à primeira metodologia, esta é geralmente utilizada em processos com um elevado número de variáveis e/ou quando é necessário estudar a relevância individual das variáveis e do seu efeito conjunto [29]. De particular relevância é o caso em que a cada variável correspondem dois níveis possíveis, isto é, dois valores de entrada. Neste caso, o número de respostas necessárias de forma a ajustar o modelo poderá ser dado por , sendo _{o número total de factores tidos como} relevantes (que podem corresponder não só às variáveis em si mas também aos factores de interacção)

Um exemplo simples de aplicação deste método será pensar num problema com 2 variáveis básicas A e B, excluindo os termos de interacção, e cujos respectivos parâmetros de entrada são dados por , , e . Os sinais _{e – reflectem os valores superior e inferior de cada variável.} Ilustra-se na Figura 12 as combinações de entrada das variáveis.

Figura 12 _{– Combinações de entrada para (dois níveis)}

Este método é normalmente utilizado para o ajuste de modelos de superfície de resposta de primeira ordem, com termos de interacção de baixa ordem.

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À medida que o número de variáveis aumenta nos problemas, o número de respostas necessárias, de acordo com esta abordagem, rapidamente atinge um limite de praticabilidade. Porém, existem interacções de ordem elevada que poderão ser desprezadas [29] , o que limita, desta forma, o conjunto de respostas necessárias de forma a obter os coeficientes associados às variáveis principais e às interacções de baixa ordem. As metodologias que o permitem fazer são designadas de ‘factoriais fraccionadas’ [29].

Muitas vezes não é possível ajustar um modelo com base em polinómios do primeiro grau (e, eventualmente, a termos de interacção de baixa ordem) e como tal, outras aproximações se exigem. Quando a essência da resposta é altamente não linear, é frequente recorrer, por exemplo, ao ajuste a partir de polinómios do segundo e mesmo do terceiro grau. Nestes casos, o número de respostas necessárias ao ajuste poderá ser dado, em geral, respectivamente, através das expressões seguintes [31].

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(59)

3.4. METODOLOGIA

Como foi dito anteriormente, de modo a proceder a uma análise de fiabilidade, é necessário uma (ou mais) expressão(ões) que relacione(m) os parâmetros de entrada com a resposta do sistema.

Seja _{a variável dependente, representativa da resposta do modelo e o conjunto} das variáveis independentes relevantes na resposta.

Pretende-se, pois, chegar a uma relação do tipo [30]:

̃ (60)

onde _{̃ representa a função de aproximação utilizada e corresponde ao erro} associado à estimativa da função, representando outras fontes de variabilidade não tidas em consideração, como por exemplo erros em medições ou efeitos de variáveis não contabilizadas e efeitos de relações não consideradas explicitamente.

Uma vez obtida a função de desempenho _{̃, pretende-se finalmente definir uma função de estado} limite _{e proceder a uma análise de fiabilidade, de acordo com as metodologias já} abordadas. É importante referir que, no caso de utilização de polinómios interpoladores de 2º grau ou de grau superior, em virtude das suas propriedades, a análise de fiabilidade pode ser dificultada pelo surgimento de múltiplos e igualmente falsos (já que a validade da função de aproximação, assim

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como se verá, está restrita a uma pequena zona) pontos de dimensionamento [30], que verifiquem a condição limite. Nestes casos, deverá ser feita uma análise crítica ao ponto em questão, de forma a verificar se este é, de facto, o verdadeiro ponto de dimensionamento. Poder-se-á tirar partido do conhecimento prévio do real ponto de dimensionamento, no caso de realizada uma análise prévia à expressão original analítica. Como na maior parte das vezes esta informação é desconhecida, podem igualmente avaliar-se os pontos em questão através de software baseado em elementos finitos, verificando se os resultados obtidos se aproximam do limite definido para a função de estado limite.

Como forma de agilizar os cálculos de fiabilidade, são normalmente utilizadas funções simples para estes modelos aproximados. É comum a utilização de modelos de regressão linear múltipla (Equação (61)), que descrevem hiperplanos no espaço _{-dimensional das variáveis de regressão} , , ou a utilização de modelos de regressão de segunda ordem (Equação (62)) [32].

(61)

(62)

onde , _{são chamados de coeficientes de regressão. Note-se que poderiam ser ainda} incluídos termos de interacção entre variáveis.

Para estimar os coeficientes de regressão é frequentemente utilizado o Método dos Mínimos Quadrados [33], embora não seja a única abordagem possível. O software de cálculo MS Excel, utilizado para a determinação dos coeficientes de regressão, facilita a efectivação prática deste método.

Uma vez determinado o conjunto suficiente de respostas para diferentes combinações de parâmetros de entrada e ajustada a função que modela a resposta, há que verificar a qualidade do ajustamento realizado. De modo a testar a adequabilidade da função alcançada, recorre-se ao denominado ‘coeficiente de determinação’, definido da seguinte forma [34]:

∑ ̂ ̅ ∑ ̅

(63)

onde _{̅ ̂ representam respectivamente o valor médio das observações de , e para cada} observação, o valor real de _{e o valor estimado pela expressão aproximada.}

Este coeficiente está compreendido entre 0 e 1, sendo que valores mais próximos de 1 expressam uma boa qualidade de ajustamento (boa “capacidade explicativa”) da expressão face aos valores fornecidos.

Uma vez que o valor de aumenta com o número de variáveis do modelo [29], é também muitas vezes determinado também o valor ajustado de , normalizado com os graus de liberdade estatística decorrentes do número de observações _{e do número de coeficientes de regressão de} acordo com a equação (64).

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(64)

Também está compreendido entre 0 e 1. No caso de uma diferença acentuada entre os estes valores, haverá uma forte possibilidade de existirem variáveis de reduzida relevância no modelo. Por outro lado, em modelos de boa qualidade, os valores e deverão estar próximos um do outro e próximos do valor unitário.