O esquema ressonante considera que as transic¸ ˜oes at ˆomicas dip ´olo-permitidas i ↔ e e g ↔ i est˜ao em ressonˆancia com a cavidade, enquanto a transic¸˜ao dip ´olo-proibida g ↔ e est´a em ressonˆancia com o campo externo [9]; a Hamiltoniana do processo ´e inicialmente a mesma do caso dispersivo, mas se torna diferente ao serem introduzidas condic¸ ˜oes distintas; a primeira delas ´e o regime de laser forte, g >> Ωa,b.
Figura 4.2: Esquema para a gerac¸˜ao de estados comprimidos com campo ressonante.
Separando a Hamiltoniana em duas partes ˆ
Hclas= geiϕσge+ H.c. (4.22)
ˆ
Hcav = Ωaˆaσig+ Ωbˆbσei+ H.c. (4.23)
e passando para um referencial girat ´orio dado por ˆ
H = ei ˆHclastHcaveˆ i ˆHclast (4.24)
temos
ˆ H = √Ωa
2[e
−iϕ/2hata†(eigt|+i + e−igt|−i)hi| + eiϕ/2ˆa|ii(e−igth+| + eigth−|)] (4.25)
+√Ωb 2[e
iϕ/2ˆb†|ii(e−igth+| − eigth−|) + e−iϕ/2ˆ
onde |+i, |−i s˜ao os kets da base vestida:
|+i = √1 2(e
iϕ/2|gi + e−iω/2|ei),
(4.26) |−i = √1
2(e
iϕ/2|gi − e−iϕ/2|ei).
Como g ´e muito grande, estamos no caso de dinˆamica fortemente dispersiva, sendo aplic´avel o m´etodo descrito na sec¸˜ao anterior. Assim,
ˆ H = 1 2g[(|+ih+| − |−ih−|)(Ω 2 aˆa † ˆ a + Ω2bˆbˆb†) (4.27)
+ΩaΩb(|+ih+| + |−ih−|)(ˆa†ˆbeiϕ+ ˆaˆb†e−iϕ) −2ΩaΩbσii(ˆa†ˆb†e−iϕ+ ˆaˆbeiϕ).
Agora, se preparamos o ´atomo inicialmente no estado intermedi´ario, a Hamiltoniana toma a forma ˆ
H = −ΩaΩb
g (e
−iϕˆa†ˆb†+ eiϕˆaˆb)
(4.28)
o que nos d´a o seguinte operador de evoluc¸˜ao temporal: ˆ U (t) = exp(ζ ∗ 2aˆˆb − ζ 2ˆa †ˆb†) = S[ζ(t)], (4.29) com ζ(t) = 2 gΩaΩbte −i(ϕ+π/2). (4.30) Ou seja, tamb´em ´e poss´ıvel gerar estados comprimidos usando um esquema de campo ressonante com ´atomo de 3 n´ıveis tipo escada, sendo que teremos o campo comprimido de 1 modo caso ωa = ωb ou o campo comprimido de 2 modos caso ωa 6= ωb. O campo comprimido de 1 modo pode ser implementado experimentalmente com um ´atomo de rub´ıdio, com o mesmo sistema de maser de 2 f ´otons do caso dispersivo, mas selecionando (para o rub´ıdio) os seguintes n´ıveis: e = 39S, i = 38P3/2, g = 38S. Os parˆametros relevantes s˜ao [11, 12]:
• ωeg ≈ 1011Hz. • |Ωa| ≈ 7.105Hz. • g ≈ 7.106Hz.
• ti≈ 6.10−4s. • ∆ ≈ 5.105Hz.
´E importante notar que temos ∆ << ωeg, sendo poss´ıvel tratar o sistema como se ele fosse exatamente ressonante (∆ ≈ 0). O caso ressonante, no entanto, apresenta um incoveniente: experimentalmente o processo do maser de 2 f ´otons entre os n´ıveis e ↔ g ´e muito mais raro que a cascata de 1 f ´oton e ↔ i ↔ g[11].
5
Emaranhamento at ˆomico via cavidade
Neste cap´ıtulo exploraremos os aspectos do emaranhamento que surgem via interac¸˜ao ´atomo- campo em uma cavidade. Um ´atomo, ao interagir com o campo em uma cavidade, se torna emaran- hado com ele; um segundo ´atomo, ao interagir com o mesmo campo, pode se tornar emaranhado com o primeiro, permitindo aplicac¸ ˜oes em computac¸˜ao quˆantica. J´a foram feitas propostas de utilizac¸˜ao deste mecanismo com estados comprimidos [39] em uma cavidade e comprimidos de dois modos em duas cavidades [40, 41], considerando um mesmo tempo de interac¸˜ao para ambos os ´atomos. Aqui, por outro lado, se considera uma ´unica cavidade, com tempos de interac¸˜ao gerais (n˜ao necessaria- mente iguais), com campos comprimidos e coerentes, em processos de um e dois f ´otons. Os ´atomos apresentam dois n´ıveis efetivos cuja transic¸˜ao est´a em ressonˆancia com a cavidade, sistema j´a realizado experimentalmente por Hagley et al. [4]
5.1
Cavidade inicialmente em estado de V´acuo
Consideramos que a interac¸˜ao ´e descrita pela Hamiltoniana de Jaynes-Cummings dada no cap´ıtulo 2, indicando trocas de 1 ou 2 f ´otons entre ´atomo e campo. Comec¸amos com um caso b´asico: o campo inicial ´e o v´acuo e o ´atomo inicialmente no estado excitado; por aplicac˜ao direta da evoluc¸˜ao temporal de Jaynes-Cummings de 1 f ´oton ressonante (eq. 2.109), a dinˆamica ´e
|ψ(t)i = cosgt|e, 0i − isengt|g, 1i. (5.1)
A matriz densidade do sistema pode ser montada numa base de 4 kets:|e, 0i, |e, 1i, |g, 0i, |g1i; assim,
ρ =
cos2gt 0 0 cosgt sengt
0 0 0 0
0 0 0 0
cosgt sengt 0 0 sen2gt . (5.2)
A concorrˆencia, dada pelas equac¸ ˜oes 3.38 ou 3.45, ´e
0 1 2 3 4 5 6 7 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 C gt
Figura 5.1: Concorrˆencia em func¸˜ao do tempo para o estado inicial |ei|0i .
Os picos indicam os instantes de formac¸˜ao de estados maximamente emaranhados (C = 1), |ψi = (|e, 0i ± i|g, 1i)/√2, enquanto os m´ınimos indicam estados separ´aveis (C = 0).
O pr ´oximo passo ´e o emaranhamento entre dois ´atomos que atravessam a mesma cavidade suces- sivamente:
Figura 5.2: Esquema de emaranhamento at ˆomico via cavidade: (I) os ´atomos passam sucessivamente pela cavidade e (II) ficam emaranhados.
Cada ´atomo interage com o campo da cavidade separadamente; continuando no regime resso- nante, basta aplicar sucessivamente a equac¸˜ao 2.109 ao estado inicial para obter a evoluc¸˜ao do sistema; estamos interessados nos estados maximamente emaranhados, ent˜ao precisamos escolher um estado inicial que facilite a gerac¸˜ao: comec¸aremos com o mesmo estado ex perimentalmente usado por Ha- gley et al. [4], onde o primeiro ´atomo est´a no estado excitado, o segundo no fundamental e a cavidade preparada inicialmente no v´acuo:
Ap ´os o ´atomo 1 interagir com a cavidade durante o tempo t1e o 2 durante o tempo t2, o sistema fica no estado
|ψ(t1, t2)i = U (t1) ⊗ U (t2)|ψ(0)i =cosgt1|g, e, 0i − isengt1cosgt2|g, g, 1i − sengt1sengt2|e, g, 0i. (5.5)
Queremos verificar o emaranhamento at ˆomico sem medirmos nenhuma propriedade do campo; por isso, vamos tomar o trac¸o sobre ele no formalismo de operadores densidade; o subsistema at ˆomico ´e 2x2 e nos d´a a matriz ρAde ordem 4 na base {|e, ei, |e, gi, |g, ei, |g, gi}:
ρA= 0 0 0 0
0 sen2gt1sen2gt2 −cosgt1sengt1sengt2 0
0 −cosgt1sengt1sengt2 cos2gt1 0
0 0 0 sen2gt1cos2gt2 . (5.6)
Agora ´e poss´ıvel medir o emaranhamento entre os ´atomos em func¸˜ao dos tempos de interac¸˜ao; a concorrˆencia at ˆomica ´e mostrada na figura 5.3. Os tempos de interac¸˜ao que garantem m´aximo emaran- hamento entre os ´atomos s˜ao dados por m ´ultiplos de 2gt1 = gt2 = (k + 12)π, k = 0, 1, 2, ...; nestes tempos, o estado at ˆomico ´e dado por |ψiA = (|g, ei + |e, gi)/√2, completamente desemaranhado do campo.
Figura 5.3: Concorrˆencia em func¸˜ao dos tempos de interac¸˜ao para cavidade inicialmente no v´acuo.
O mesmo pode ser visto na figura 5.4, que mostra a entropia linear em func¸˜ao dos tempos de interac¸˜ao: o desemaranhamento do campo garante que o estado at ˆomico seja puro, com entropia nula.
Figura 5.4: Entropia linear em func¸˜ao dos tempos de interac¸˜ao para cavidade inicialmente no v´acuo.
temporal dada pela equac¸˜ao 2.148 o estado global do sistema fica
|ψ(t1, t2)i =cos(gt1 √
2!) |g, e, 0i − isen(gt1√2!)cos(gt2√2!) |g, g, 2i −sen(gt1√2!)sen(gt2√2!)|e, g, 0i.(5.7)
Percebe-se que para m ´ultiplos de gt2 = 2gt1 = k√π2, k = 0, 1, 2, ...temos o estado
|ψi = √1
2(|g, ei − |e, gi) ⊗ |0i. (5.8)
Assim, estes s˜ao os tempos de interac¸˜ao com m´aximo emaranhamento at ˆomico. Os tempos que pro- duzem um estado at ˆomico separ´avel s˜ao os m ´ultiplos de gt2= 2gt1 = π/2. A concorrˆencia ´e mostrada na figura 5.5:
Figura 5.5: Concorrˆencia em func¸˜ao dos tempos de interac¸˜ao para cavidade inicialmente no v´acuo.
A estrutura ´e semlhante ao do processo de 1 f ´oton, uma “caixa-de-ovos“, mas agora a periodicidade ´e dada por π/4√2na direc¸˜ao de gt1e π/2√2na direc¸˜ao de gt2, ou seja, a periodicidade do processo de 1 f ´oton dividida por√2. A freq ¨uˆencia de picos na direc¸˜ao de gt1 ´e o dobro daquela na direc¸˜ao de gt2; isso ocorre porque ambos os ´atomos interagem com o mesmo campo.