Enumer´avel
Agora provaremos que a dinˆamica de um Esquema de Indu¸c˜ao (X, F, τ ) cons-tru´ıdo sobre um sistema (I, f ) pode ser codificada pelo shift total enumer´avel.
Provaremos ainda que estes sistemas s˜ao topologicamente semiconjugados e que sob certas restri¸c˜oes s˜ao topologicamente conjugados, assim a unicidade da medida de equil´ıbrio do sistema (Σ, σ) com respeito a um potencial dado equivale a unicidade da medida de equil´ıbrio do sistema (X, F, τ ) com respeito ao potencial obtido do primeiro via a semiconjuga¸c˜ao.
Primeiramente vamos relacionar as dinˆamicas.
Seja (X, F, τ ) o Esquema de Indu¸c˜ao constru´ıdo sobre a aplica¸c˜ao (I, f ) onde X :=
∞
[
i=1
Xi. Uma vez que para todo i∈ N, a restri¸c˜ao
FXi:= fτi
Xi : Xi→ X ´e sobrejetiva ent˜ao para todo k∈ N e α0, α1, ..., αk ∈ N
¯ Xα0 \ f−τα0 Xα0 X¯α 1 \ ...\f−τα0 Xα0 ◦ ... ◦ fX−ταk−1αk−1 X¯α k 6= ∅, em particular temos que
¯ Xα0 \ f−τα0 Xα0 X¯α 1 \ ...\f−τα0 Xα0 ◦ ... ◦ fX−ταk−1αk−1 X¯α k k∈N
´e uma fam´ılia de compactos encaixados, logo, ¯ Xα0 \\∞ k=1 f−τα0 Xα0 ◦ ... ◦ fX−ταk−1αk−1 X¯α k , ´e n˜ao vazio.
Defini¸c˜ao 2.4.1. Seja (X, F, τ ) um Esquema de Indu¸c˜ao constru´ıdo sobre a aplica¸c˜ao (I, f ) onde
X :=
∞
[
i=1
Xi. Dizemos que a parti¸c˜ao
S = {Xi: i∈ N} de X ´e geradora se ¯ Xα0 \\∞ k=1 f−τα0 Xα0 ◦ ... ◦ fX−ταk−1αk−1 X¯α k
Defini¸c˜ao 2.4.2. Sejam (I, f ) uma aplica¸c˜ao de c´uspide e (X, F, τ ) um Es-quema de Indu¸c˜ao constru´ıdo sobre esta aplica¸c˜ao. Representaremos `as aplica¸c˜oes de c´uspide tais que a parti¸c˜ao
S = {Xi: i∈ N} de X ´e geradora porC.
Teorema 2.4.3. SejamL e R as fam´ılias das aplica¸c˜oes tipo Lorenz e Rovella unidimensional respectivamente. Ent˜aoL ∪ R ⊂ C.
Demonstra¸c˜ao. Vamos separar em dois casos:
1. Seja (I, f ), f ∈ L, uma vez que a aplica¸c˜ao ´e uniformemente expansora ent˜ao a parti¸c˜ao ´e geradora, ou seja, f ∈ C.
2. Sejam (I, f ), f ∈ R e (X, F, τ) o esquema de indu¸c˜ao constru´ıdo sobre este sistema. Esta fam´ıla de aplica¸c˜oes ´e a mesma que Bruin e Todd utilizaram em [19], assim, seguindo a nomenclatura de Bruin e Todd, o esquema de indu¸c˜ao obtido ´e do tipo A ou tipo B, o que de qualquer forma implica que o sistema possua uma δ-extens˜ao, δ > 0.
Logo, o Lema de Koebe implica que: |dF (x)| |dF (y)| <
1 + 2δ δ2 + 1.
Em particular, para todo γ > 1 existe N = N (γ)∈ N tal que infx∈X|dFN(x)| > γ, ou seja, se necess´ario, basta trocar o sistema (X, F ) pelo sistema
X, FN
que a parti¸c˜ao ´e geradora, ou seja, f∈ C.
Representaremos os pontos de X cujas ´orbitas de comprimento k pertencem aos mesmos elementos da parti¸c˜aoS por
Xα0,α1,...,αk:= ¯Xα0 \ f−τα0 Xα0 X¯α 1 \ ...\f−τα0 Xα0 ◦ ... ◦ fX−ταk−1αk−1 X¯α k . Estamos prontos para definir a conjunga¸c˜ao entre o Esquema de Indu¸c˜ao e o shift total enumer´avel.
Sejam (X, F, τ ) um Esquema de Indu¸c˜ao constru´ıdo sobre a aplica¸c˜ao (I, f ) tal que a parti¸c˜ao
S = {Xi: i∈ N}
de X ´e geradora, A = (aij)N×Na matriz de transi¸c˜ao desta aplica¸c˜ao e Σ :=α := (αi)i∈N∈ NN
No nosso caso por se tratar de um Esquema de Indu¸c˜ao todos os elementos da matriz de transi¸c˜ao s˜ao iguais a 1. De fato, uma vez que
aij = 1⇔ Xi \ F−1(Xj)6= ∅ e aij = 0⇔ Xi \ F−1(Xj) =∅. Finalmente, seja Π : Σ→ X := ∞ [ i=1 ¯ Xi tal que Π (αi)i∈N= x⇔ ¯Xα0 ∞ \ k=1 \ f−τα0 Xα0 ◦ ... ◦ f−ταk−1 Xαk−1 X¯α k ={x}. Teorema 2.4.4. A aplica¸c˜ao Π : Σ→ X est´a bem definida e ´e cont´ınua. Al´em disso, se
X∗= X∞\[ i∈Z ∂ ¯Xi e Σ∗:= Π−1(X∗) ent˜ao Π : Σ∗→ X∗
´e uma aplica¸c˜ao bijetiva, em particular ´e uma conjuga¸c˜ao topol´ogica entre (X∗, F, τ ) e (Σ∗, σ) .
Demonstra¸c˜ao. A aplica¸c˜ao
Π : Σ→ X
est´a bem definida uma vez que a parti¸c˜ao ´e geradora, o que implica que toda sequˆencia de ´ındices ´e realizada, assim dado α := (αi)i∈N∈ Σ existe um ´unico x∈ X tal que Π(α) = x .
A continuidade da aplica¸c˜ao
Π : Σ→ X
´e uma consequˆencia do fato de que as pr´e-imagens dos abertos de Xi serem abertos de Σ, ou seja, cilindros , j´a no bordo decorre por defini¸c˜ao, podemos defini-la de forma que as pr´e-imagens de um ponto do bordo de um elemento de Xi tornem esta aplica¸c˜ao comt´ınua lateralmente.
A bijetividade de
Π : Σ∗→ X∗
Defini¸c˜ao 2.4.5. Sejam (X, F, τ ) um Esquema de Indu¸c˜ao e Ψ : X → R,
um potencial . Dado n∈ N define-se a n-varia¸c˜ao de Ψ por Vn(Ψ) := sup
Xα0,α1,...,αk
sup
x,y ∈Xα0,α1,...,αk|Ψ (x) − Ψ (y)| . Defini¸c˜ao 2.4.6. Sejam (X, F, τ ) um Esquema de Indu¸c˜ao e
Ψ : X→ R
um potencial. Dizemos que Ψ possui varia¸c˜ao som´avel, Ψ∈ SV (X, R), se Ψ : X→ R
´e tal que
+∞
X
n=2
Vn(Ψ) < +∞. Da mesma forma define-se
Defini¸c˜ao 2.4.7. Sejam (Σ, σ) e
Φ : Σ→ R
um potencial. Dizemos que Φ possui varia¸c˜ao som´avel, Φ∈ SV (Σ, R), se Φ : Σ→ R
´e tal que
+∞ X n=2 Vn(Φ) < +∞ onde Vn(Φ) := sup Cα0,α1,...,αk sup α,β ∈Xα0,α1,...,αk|Ψ (α) − Ψ (β)| .
Teorema 2.4.8. Sejam (X, F, τ ) o Esquema de Indu¸c˜ao constru´ıdo sobre o sistema (I, f ), (Σ, σ) a sua codifica¸c˜ao,
Π : Σ∗→ X∗
a conjuga¸c˜ao topol´ogica entre (X∗, F, τ ) e (Σ∗, σ) e os potenciais Φ : Σ→ R
e
Ψ : X→ R
Demonstra¸c˜ao. Se x, y∈ X∗ent˜ao Vn(Ψ) = sup Xα0,α1,...,αk sup x,y ∈Xα0,α1,...,αk|Ψ (x) − Ψ (y)| = sup Xα0,α1,...,αk sup x,y ∈Xα0,α1,...,αk|Π∗Φ (x)− Π∗Φ (y)| = sup Xα0,α1,...,αk sup x,y ∈Xα0,α1,...,αk Φ◦ Π−1(x)− Φ ◦ Π−1(y) = sup Cα0,α1,...,αk sup α,β∈Cα0,α1,...,αk|Φ (α) − Φ (β)| = Vn(Φ) .
Teorema 2.4.9. Sejam (X, F, τ ) o Esquema de Indu¸c˜ao constru´ıdo sobre o sistema (I, f ), (Σ, σ) a sua codifica¸c˜ao e
Π : Σ∗→ X∗
a conjuga¸c˜ao topol´ogica entre (X∗, F, τ ) e (Σ∗, σ).
Se µΦ∈ M(σ) ´e uma medida de Gibbs do sistema (Σ∗, σ) com respeito ao potencial
Φ : Σ∗→ R,
tal que Φ∈ SV (Σ∗, R) ent˜ao a medida νΨ:= Π∗µΦest´a bem definida em X∗ e ´e uma medida de Gibbs do sistema (X∗, F, τ ) com respeito ao potencial
Ψ : X∗→ R tal que Ψ := Π∗Φ em X∗.
Al´em disso, se toda medida µ ∈ M(σ) que d´a peso positivo a abertos ´e tal que
supp(µ)⊂ Σ∗
ent˜ao νΨ:= Π∗µΦest´a bem definida em X e ´e uma medida de Gibbs do sistema (X, F, τ ) com respeito ao potencial
Ψ : X→ R tal que Ψ := Π∗Φ em X∗.
Demonstra¸c˜ao. Sendo µΦ ∈ M(σ) uma medida de Gibbs do sistema (Σ∗, σ) com respeito ao potencial
Φ : Σ∗→ R, considere um aberto Cα0,α1,...,αk−1 ⊂ Σ∗, ent˜ao como
Π : Σ∗→ X∗
´e uma conjuga¸c˜ao topol´ogica , Xα0,α1,...,αk−1 ⊂ X∗ tal que Π(Cα0,α1,...,αk−1) = Xα0,α1,...,αk−1 ´e um aberto.
Logo
µΦ(Cα0,α1,...,αk−1) = µΦ(Π−1(Xα0,α1,...,αk−1)) = Π∗µΦ((Xα0,α1,...,αk−1)) e Π∗µΦ est´a bem definida em X∗.
Uma vez que µΦ´e uma medida de Gibbs do sistema (Σ∗, σ) com respeito ao potencial
Φ : Σ∗
→ R, temos
µΦ(Cα0,α1,...,αk−1)≍ exp(−kP + Φn((α))) para todo α∈ Cα0,α1,...,αk−1 ent˜ao
Π∗µΦ(Xα0,α1,...,αk−1)≍ exp(−kP + Φn((α))). Assim, como α∈ Cα0,α1,...,αk−1⊂ Σ∗ e
Π : Σ∗→ X∗
´e uma conjuga¸c˜ao topol´ogica, seja x∈ Xα0,α1,...,αk−1 ⊂ X∗ tal que Π(α) = x, ent˜ao
Φn(α) = Φn Π−1(x)= Π∗Φn((x)) = Ψn(x) uma vez que Π∗Φ = Ψ em X∗.
Assim
Π∗µΦ(Xα0,α1,...,αk−1)≍ exp(−kP + Ψn((x))). Concluindo:
Para todo aberto Cα0,α1,...,αk−1 ⊂ Σ∗ se
µΦ(Cα0,α1,...,αk−1)≍ exp(−kP + Φn(α)) para todo α∈ Cα0,α1,...,αk−1 ent˜ao
Π∗µΦ(Xα0,α1,...,αk−1)≍ exp(−kP + Ψn((x))). para x = Π(α)∈ Xα0,α1,...,αk−1⊂ X∗.
A arbitrariedade de x∈ Xα0,α1,...,αk−1 decorre de que Ψ∈ SV (X∗, R), uma vez que Φ∈ SV (Σ∗, R).
Assim Π∗µΦ´e uma medida de Gibbs do sistema (X∗, F, τ ) com respeito ao potencial
Ψ : X∗
→ R.
Em particular representaremos esta medida por νΨ. Se
µΦ(Σ\ Σ∗) = 0 ent˜ao
o que implica que a medida νΨ pode ser extendida ao sistema (X, F, τ ), em particular νΨ ´e uma medida de Gibbs do sistema (X, F, τ ) com respeito ao potencial
Ψ : X→ R tal que Ψ = Π∗Φ em X∗.
Observa¸c˜ao 2.4.10. Uma vez que νΨ ´e tal que νΨ(X \ X∗) = 0, esta medida pode ser extendida ao sistema (X, F, τ ). Em particular νΨ ´e uma medida de Gibbs do sistema (X, F, τ ) com respeito ao potencial
Ψ : X → R.
De fato, seja Xα0,α1,...,αk−1 ⊂ X um aberto, suponha que Xα0,α1,...,αk−1 ⊂ X\ X∗ ent˜ao Π−1(Xα0,α1,...,αk−1)⊂ Σ \ Σ∗, uma vez que
Π : Σ∗→ X∗
´e uma conjuga¸c˜ao, em particular Σ\ Σ∗ possuiria abertos, uma vez que Π : Σ→ X
´e uma semi-conjuga¸c˜ao, o que ´e um absurdo, logo Xα0,α1,...,αk−1 ⊂ X∗.
Uma vez que νΨ´e uma medida de Gibbs do sistema (X∗, F, τ ) com respeito ao potencial
Ψ : X∗
→ R, temos da defini¸c˜ao de medida de Gibbs que
µΦ(Xα0,α1,...,αk−1)≍ exp(−kP + Ψn((x)))
para todo x ∈ Xα0,α1,...,αk−1, em particular νΨ ´e uma medida de Gibbs do sistema (X, F, τ ) com respeito ao potencial
Ψ : X → R,
uma vez que os abertos de X e X∗ s˜ao os mesmos, onde Ψ : X→ R
´e uma extens˜ao qualquer de
Ψ : X∗→ R. Observa¸c˜ao 2.4.11. A hip´otese
µ(Σ\ Σ∗) = 0
para toda µ∈ M(σ) que d´a peso positivo a abertos implica que a codifica¸c˜ao ´e eficiente, uma consequˆencia desta hip´otese ´e que medidas de Gibbs do sistema (Σ, σ) podem ser transferidas para o sistema (X, F, τ ) sem a perda de suas propriedades erg´odicas.
Defini¸c˜ao 2.4.12. Sejam (X, F, τ ) o Esquema de Indu¸c˜ao constru´ıdo sobre o sistema (I, f ), (Σ, σ) a sua codifica¸c˜ao,
Π : Σ∗→ X∗
a conjuga¸c˜ao topol´ogica entre (X∗, F, τ ) e (Σ∗, σ) e os potenciais Φ : Σ→ R,
e
Ψ : X→ R
tais que Ψ := Π∗Φ em X∗. Define-se a Press˜ao do sistema (X∗, F, τ ) em rela¸c˜ao a restri¸c˜ao de Ψ, ou seja, Ψ : X∗→ R por PG(F∗, Ψ∗) = sup ν∈MF hν(F ) + Z X∗ Ψ· dν : ν := Π∗µ, µ∈ Mσ(Φ) . Da mesma forma define-se a Press˜ao do sistema (X, F, τ ) em rela¸c˜ao
Ψ :→ R por PG(F, Ψ) = sup ν∈MF hν(F ) + Z X Ψ· dν : ν := Π∗µ, µ∈ Mσ(Φ) . Teorema 2.4.13. Sejam (X, F, τ ) o Esquema de Indu¸c˜ao constru´ıdo sobre o sistema (I, f ), (Σ, σ) a sua codifica¸c˜ao,
Π : Σ∗→ X∗
a conjuga¸c˜ao topol´ogica entre (X∗, F, τ ) e (Σ∗, σ) e os potenciais Φ : Σ→ R
e
Ψ : X→ R tais que Ψ := Π∗Φ em X∗. Ent˜ao
hν(F ) + Z X∗ Ψdν = hµ(σ) + Z Σ∗ Φdµ onde ν := Π∗µ∈ MF. Em particular PG(F∗, Ψ∗) = PG(σ∗, Φ∗) .
Al´em disso, se µΦ∈ Mσ ´e uma medida de equil´ıbrio do sistema (Σ∗, σ) com respeito ao potencial
Φ : Σ∗→ R
ent˜ao νΨ:= Π∗µΦ∈ MF ´e uma medida de equil´ıbrio do sistema (X∗, F, τ ) com respeito ao potencial
Ψ : X∗
→ R. Demonstra¸c˜ao. Uma vez que
Π : Σ∗
→ X∗
´e uma conjuga¸c˜ao topol´ogica e ν := Π∗µ temos hµ(σ) = hν(F ) e Z Σ∗ Φdµ = Z X∗ Ψdν logo hν(F ) + Z X∗ Ψdν = hµ(σ) + Z Σ∗ Φdµ onde ν := Π∗µ. Logo se −∞ < Z Σ∗ Φdµ as press˜oes est˜ao bem definidas e
PG(F∗, Ψ∗) = PG(σ∗, Φ∗) .
Al´em disso se µΦ∈ Mσ´e uma medida de equil´ıbrio com respeito ao potencial Φ : Σ∗→ R, ou seja, se PG(F∗, Φ∗) = hµΦ(σ) + Z Σ∗ ΦdµΦ
uma vez que
hν(F ) + Z X∗ Ψdν = hµ(σ) + Z Σ∗ Φdµ para ν := Π∗µ e PG(σ∗, Ψ∗) = PG(F∗, Φ∗) temos PG(F∗, Ψ∗) = hνΨ(F ) + Z X∗ ΨdνΨ
ou seja, νΨ= Π∗µΦ∈ MF´e uma medida de equil´ıbrio com respeito ao potencial Ψ : X∗
2.4.1 As Fam´ılias de Potenciais
Defini¸c˜ao 2.4.14. Seja (I, f ). Define-se por potencial de imagem limitada, F (I, R), a fam´ılia dos potenciais
ψ : I → R que satisfazem
sup ψ− inf ψ < htop(f ) . Defini¸c˜ao 2.4.15. Sejam (I, f ),
ψ : I → R
um potencial e (X, F, τ ) um Esquema de Indu¸c˜ao constru´ıdo sobre (I, f ). O levantamento do potencial ψ em rela¸c˜ao ao Esquema de Indu¸c˜ao (X, F, τ ) ´e definido por Ψ : X→ R x→ Ψ (x) := τi−1 X k=0 ψ◦ fk(x) para x∈ Xi, Xi∈ S.
Defini¸c˜ao 2.4.16. Sejam (I, f ), o potencial ψ : I → R,
(X, F, τ ) um Esquema de Indu¸c˜ao constru´ıdo sobre (I, f ) e Ψ : X → R,
o levantamento do potencial ψ em rela¸c˜ao ao Esquema de Indu¸c˜ao (X, F, τ ) . Dado n∈ N define-se a n-varia¸c˜ao de Ψ por
Vn(Ψ) := sup
Xα0,α1,...,αk
sup
x,y ∈Xα0,α1,...,αk|Ψ (x) − Ψ (y)| .
Defini¸c˜ao 2.4.17. Sejam (I, f ), (X, F, τ ) um Esquema de Indu¸c˜ao constru´ıdo sobre (I, f ). Define-se por potencial de varia¸c˜ao som´avel,SV (I, R), em rela¸c˜ao a um esquema de indu¸c˜ao (X, F, τ ) a fam´ılia dos potenciais
ψ : I → R, tais que seus levantamentos
Ψ : X → R, satisfazem Ψ∈ SV (X∗, R).
2.4.2 A Press˜ao Topol´ogica
Defini¸c˜ao 2.4.18. A Press˜ao topol´ogica do sistema (I, f ), com respeito a um potencial
ϕ : I→ R, ´e definida por
Ptop(f, ϕ) = sup µ∈M(f ) hµ(f ) + Z I ϕdµ .
Uma medida µ∈ M(f) ´e chamada medida de equil´ıbrio do sistema (I, f) com respeito a um potencial
ϕ : I→ R, se e somente se, Ptop(f, ϕ) = hµ(f ) + Z I ϕdµ.
Observa¸c˜ao 2.4.19. Uma consequˆencia da escolha da fam´ılia de potenciais ϕ∈ F (I, R) ´e que toda medida de equil´ıbrio erg´odica do sistema (I, f) com respeito a um potencial
ϕ : I→ R,
caso exista, ser´a uma medida de entropia positiva, ou seja, um elemento deM∗. De fato, se µ∈ Merg(f ) ´e uma medida de equil´ıbrio do sistema (I, f ) com respeito a um potencial ϕ : I→ R, temos hµ(f ) = Ptop(f, ϕ)− Z I ϕdµ.
Uma vez que nosso sistema (I, f ), f ∈ C ´e topologicamente transitivo o Teorema 4 de F. Hofbauer [39] implica a existˆencia e unicidade da medida de entropia maximal.
Seja µtop∈ M(f) esta medida, ent˜ao hµ(f ) = Ptop(f, ϕ)− Z I ϕdµ≥ hµtop(f ) + Z I ϕdµtop− Z I ϕdµ ≥ hµtop(f ) + inf ϕ− sup ϕ > 0
logo hµ(f ) > 0. Em particular como µ∈ Merg(f ) temos µ∈ M∗.
Ent˜ao n˜ao h´a restri¸c˜ao alguma em trabalhar com o conjunto M∗ quando procuramos medidas de equil´ıbrio erg´odicas.