2. Controladores FACTS e PSS para melhoria da estabilidade eletromecânica
2.4. Estabilidade eletromecânica a pequenas perturbações
A estabilidade eletromecânica a pequenas perturbações é definida como a habilidade do SEE de manter o sincronismo quando submetido a pequenas perturbações. O período de interesse deste tipo de estabilidade está na ordem de 10 a 20 segundos após a ocorrência da perturbação(KUNDUR, 1994); (KUNDUR, PASERBA, et al., 2004).
A estabilidade a pequenas perturbações pode ser de natureza global ou local. Os problemas locais envolvem uma pequena parte do sistema, e são geralmente associadas com oscilações do ângulo do rotor de uma unidade geradora com o resto do SEE ou contra outra unidade geradora dentro da mesma área. Estas oscilações estão na faixa de frequência de 0,7 a 1,2 Hz. Geralmente as oscilações de modo local ocorrem quando os geradores são conectados ao sistema por linhas de transmissão com altas reatâncias (KUNDUR, PASERBA, et al., 2004). Os problemas globais são causados por interações entre um grupo de geradores em uma área oscilando contra um grupo de geradores de outra área. Este tipo de oscilações é denominado como oscilações de modo interárea. A faixa de frequência das oscilações de modo interárea está entre 0,2 a 0,8 Hz. Geralmente estas oscilações ocorrem quando os sistemas de energia elétrica são conectados por linhas relativamente fracas (KUNDUR, PASERBA, et al., 2004).
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2.4.1. Técnicas de análise da estabilidade a pequenas perturbações
No estudo da estabilidade a pequenas perturbações de um sistema de energia elétrica simples, como por exemplo máquina-barramento infinito (MBI), pode ser utilizado o método do lugar das raízes, critério de Routh-Hurwitz, etc. Para sistemas de energia elétrica multimáquina podem-se utilizar os seguintes métodos:
Método do espaço de estado (BYERLY, BENNON e SHERMAN, 1982). Método da separação de domínios ou D-separation (ZHENENKO e FOUAD,
1984).
Análise modal seletiva (PEREZ-ARRIAGA, VERGHESES e SCHWEPPE, 1982), (ROUCO e PÉREZ-ARRIAGA, 1993).
Expansão de Hermite (KOKANOS e KARADY, 2010).
ESPRIT (Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance
Techniques) (SALIM, RAMOS e BRETAS, 2010).
Método de Prony (HAUER, DEMEURE e SCHARF, 1990).
Para este trabalho decidiu-se utilizar o método do espaço de estado por sua eficácia comprovada em situações reais.
2.4.2. Método do espaço de estado para análise da estabilidade
eletromecânica a pequenas perturbações
O fenômeno da estabilidade eletromecânica do sistema de energia elétrica pode ser representado por um conjunto de equações diferenciais juntamente com um conjunto de equações algébricas, na forma (2.7):
𝑥 = 𝑓(𝑥, 𝑦)
0 = 𝑔(𝑥, 𝑦) (2.7)
Onde x é o vetor das variáveis de estado do sistema, y é o vetor das variáveis algébricas, f é o conjunto de equações matemáticas que representa a dinâmica do sistema e g é o vetor das equações matemáticas algébricas.
A análise da estabilidade a pequenas perturbações envolve a linearização das equações (2.7) em torno de um ponto de operação do sistema (x0, y0) obtida por um programa de fluxo
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PSAT). Para pequenas variações em torno de um ponto de operação (x0, y0), a forma
linearizada da equação (2.7) torna-se:
Δ𝑥 0 = 𝐽𝐽1 𝐽2 3 𝐽4
Δ𝑥
Δ𝑦 (2.8)
Onde Δ denota uma pequena perturbação nas varáveis, 𝐽1 = 𝜕𝑓𝜕𝑥, 𝐽2 =𝜕𝑓𝜕𝑦, 𝐽3 = 𝜕𝑔𝜕𝑥 e 𝐽4 = 𝜕𝑔𝜕𝑦.
A matriz de estado do sistema de energia elétrica pode ser obtida eliminando o vetor de variáveis algébricas Δy. O símbolo A na equação (2.9) é utilizado para representar a matriz de estado do sistema.
Δ𝑥 = 𝐽1− 𝐽2𝐽4−1𝐽
3 Δ𝑥 = 𝑨Δ𝑥 (2.9)
A estabilidade de um determinado ponto de equilíbrio ou ponto de operação pode ser estudada a partir do cálculo dos autovalores e autovetores associados a matriz de estado A. Os autovalores da matriz A são definidos como os valores do parâmetro escalar λ para o qual existem soluções não triviais da equação (2.10):
𝑨𝜙 = 𝜆𝜙 (2.10)
Onde A é uma matriz nxn e 𝜙 um vetor de dimensão n.
A partir da equação (2.10), os autovalores da matriz A podem ser calculados através da solução das raízes da sua equação característica, que é definida por (2.11):
𝑨 − 𝜆𝐼 𝜙 = 0 (2.11)
Para cada autovalor 𝜆𝑖 da matriz A, existe um vetor 𝜙𝑖 que satisfaz (2.11), o qual recebe o nome de autovetor à direita da matriz A associado ao autovalor 𝜆𝑖. Logo, temos a definição de autovetor à direita em (2.12).
𝑨𝜙𝑖 = 𝜆𝑖𝜙𝑖, 𝑖 = 1, . . , 𝑛 (2.12)
Do mesmo modo, o vetor linha 𝜓𝑖 que satisfaz a equação (2.13) denomina-se autovetor à esquerda da matriz de estado A.
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𝑨𝜓𝑖 = 𝜆𝑖𝜓𝑖, 𝑖 = 1, . . , 𝑛 (2.13)
Os elementos de um determinado autovetor à direita fornecem a intensidade com que um modo de resposta está presente nas variáveis de estado. Além disso, é importante determinar quais variáveis de estado são mais influentes num certo modo de resposta. Para isto, geralmente utilizam-se os fatores de participação (PEREZ-ARRIAGA, VERGHESES e SCHWEPPE, 1982). Esses fatores são importantes para a identificação de possíveis causas de problemas relacionados com modos críticos do sistema. O fator de participação é definido como um produto, elemento por elemento, dos autovetores direito e esquerdo associados. Matematicamente tem-se em (2.14).
𝑝𝑘𝑖 = 𝜓𝑖𝑘𝜙𝑘𝑖 (2.14)
Sendo 𝜓𝑖𝑘o k-ésimo elemento do i-ésimo autovetor à esquerda 𝜓𝑖 e 𝜙𝑘𝑖o k-ésimo elemento do
i-ésimo autovetor à esquerda 𝜙𝑖.
Os autovalores podem ser reais ou complexos conjugados. Se a matriz de estado é real, então os autovalores complexos sempre ocorrem em pares conjugados. A dependência no tempo de um modo correspondente a um autovalor 𝜆𝑖 é dada por 𝑒𝜆𝑖𝑡. Logo, a estabilidade do sistema é determinada pelos autovalores da matriz de estado A. Se os 𝜆𝑖 têm parte real negativa, a resposta será atenuada pelos termos 𝑒𝜆𝑖𝑡, o que indica um sistema estável. Se a parte real de algum dos 𝜆𝑖 for positiva, o respectivo termo 𝑒𝜆𝑖𝑡 introduzirá um crescimento exponencial na resposta, indicando um sistema instável. Cada autovalor 𝜆𝑖 é denominado um modo de oscilação do sistema. Considerando um par de autovalores complexo conjugado (KUNDUR, 1994).
𝜆𝑖 = 𝜎𝑖 ± 𝜔𝑖 (2.15)
A parte real 𝜎𝑖 está relacionada ao crescimento exponencial da resposta. Já a parte imaginária 𝜔𝑖 determina a frequência de oscilação do respectivo modo de resposta a frequência é dada em Hz por (2.16).
𝑓 = 𝜔𝑖
2𝜋 (2.16)
O fator de amortecimento (ou razão de amortecimento) para esta frequência, o qual representa a taxa de decaimento da amplitude da respectiva oscilação, pode ser obtido por (KUNDUR, 1994):
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i= −𝜎𝑖 𝜎𝑖2+ 𝜔
𝑖
2 (2.17)
Na prática valores aceitáveis para a razão de amortecimento 𝑖são normalmente maiores que 5% (MARTINS, PELLANDA e ROMMES, 2007). Os programas utilizados nesta análise foram: o aplicativo PSAT e o software PacDyn. O aplicativo PSAT foi utilizado exclusivamente na análise econômica, enquanto o software PacDyn foi utilizado na análise técnica.