Estabilidade estrutural de semigrupos Morse-Smale

Denição 6.2.1. Sejam {T (t) : t ≥ 0} e {S(t) : t ≥ 0} dois semigrupos dinamica-mente gradientes. Dizemos que existe um isomorsmo de diagramas de fase entre os atratores de {T (t) : t ≥ 0} e {S(t) : t ≥ 0} se as seguintes condições forem satisfeitas:

(i) Se ΞT = {{z1}, ..., {zn}, ξ1(R), ..., ξm(R)} e ΞS = {{ˆz1}, ..., {ˆzˆn}, ˆξ1(R), ..., ˆξmˆ(R)} forem as coleções disjuntas de conjuntos invariantes isolados para {T (t) : t ≥ 0} e {S(t) : t ≥ 0}, respectivamente, então n = ˆn e m = ˆm.

(ii) Existe uma bijeção D : ΞT → Ξ_S de forma que exista uma solução global ξ : R → X de {T (t) : t ≥ 0} satisfazendo

lim

t→−∞d(ξ(t), Ξ_i) = 0 e lim

6.2 Estabilidade estrutural de semigrupos Morse-Smale 121

se, e somente se, existir uma solução global ψ : R → X de {S(t) : t ≥ 0} tal que

lim

t→−∞d(ψ(t), D(Ξ_i)) = 0 e lim

t→∞d(ψ(t), D(Ξ_j)) = 0.

Lema 6.2.2. Vamos supor as mesmas condições do Teorema 3.5.5, ou seja, {Tη(t) : t ≥ 0}_η∈[0,]1 é uma família de semigrupos contínua e coletivamente assintoticamente compacta em η = 0 que satisfaz

(a) {Tη(t) : t ≥ 0} tem atrator global Aη para cada η ∈ [0, 1] e S_η∈[0,1]Aη é limitado; (b) para cada η ∈ [0, 1], Aη contém uma coleção de conjuntos invariantes isolados Ξη =

{Ξ_1,η, ..., Ξ_n,η} tal que limη→0d_H(Ξ_i,η, Ξ_i,0) = 0 para todo 1 ≤ i ≤ n;

(c) existem δ > 0 e η0 ∈ (0, 1] tal que Ξi,η é o conjunto invariante maximal em Oδ(Ξ_i,η), 1 ≤ i ≤ n e 0 ≤ η ≤ η0;

(d) {T0(t) : t ≥ 0} é um semigrupo dinamicamente gradiente com atrator global A0 e coleção de conjuntos invariantes isolados Ξ0 = {Ξ1,0, ..., Ξn,0}.

Além disso, vamos supor que ηk → 0 e ξk : R → X é uma solução global de {Tηk(t) : t ≥ 0} tal que

lim

t→−∞d(ξ_k(t), Ξ_i,ηk) = 0 e lim

t→∞d(ξ_k(t), Ξ_j,ηk) = 0.

Então existe uma sequência de soluções globais ξl : R → X de {T0(t) : t ≥ 0}, com 1 ≤ l ≤ m − 1 (m ≤ n), e conjuntos invariantes isolados {Ξnl}_1≤l≤m ⊂ Ξ₀ tais que Ξ_n1 = Ξ_1,0, = Ξnm = Ξ_j,0 e

Ξ_nl ←−−−− ξ^t→−∞ l(t)−−−→ Ξ^t→∞ _nl+1 , para 1 ≤ l ≤ m − 1. Demonstração. Seja 0 < δ < 1

2 min{d(Ξi,0, Ξj,0) : i < j}. Como limt→−∞d(ξk(t), Ξi,η_k) = 0 e dH(Ξ_i,η, Ξ_i,0) −−→ 0^η→0 , podemos considerar uma subsequência de {ξk} e assumir que ξk(t) −−−→ ξ^k→∞ 1(t) uniformemente em compactos de R, para alguma solução global ξ1 de {T₀(t) : t ≥ 0} tal que ξ1(t)−−−−→ Ξ^t→−∞ _n1 := Ξ_i,0.

122 Semigrupos Morse-Smale

Por (G1), existe um conjunto invariante isolado Ξn2 ∈ Ξ₀, Ξn1 6= Ξ_n2 tal que ξ1(t)−−−→^t→∞ Ξ_n2.

Se Ξn2 = Ξ_j,0, a demonstração está concluída. Caso contrário, existem {kl}_l∈Ne t0 l > t_l de forma que d(ξkl(t_l), Ξ_n2) < ^δ_l, d(ξkl(t), Ξ_n2) < δpara todo t ∈ [tl, t⁰_l)e d(ξkl(t⁰_l), Ξ_n2) = δ.

Temos que t0

l− t_l → ∞ quando l → ∞, pois, caso contrário, poderíamos assumir que t⁰_l − t_l → τ e ξkl(t_l) → x ∈ Ξ_n2, implicando que liml→∞ξ_kl(t⁰_l) = T₀(τ )x ∈ Ξ_n2, o que contradiz nossa hipóteses.

Tomando uma subsequência, podemos assumir que existe ξ2(t) = lim_l→∞ξ_kl(t + t⁰_l). Como t0

l− t_l → ∞, temos que d(ξ2(t), Ξ_n2) ≤ δ para todo t ≤ 0 e, consequentemente, ξ2(t)−−−−→ Ξ^t→−∞ _n2. Além disso, existe Ξn3 ∈ Ξ₀\(Ξ_n1, Ξ_n2)tal que ξ2(t)−−−→ Ξ^t→∞ _n3. Podemos repetir esse argumento e, sendo Ξ0 nito, obtemos a sequência desejada.

Teorema 6.2.3. Seja {Tη(t) : t ≥ 0}_η∈[0,1]uma família de semigrupos contínua em η = 0, satisfazendo

(i) {Tη(t) : t ≥ 0} tem atrator global Aη para cada η ∈ [0, 1], S_η∈(0,1]Aη é compacto e {T_η(t) : t ≥ 0} é reversível para todo η ∈ [0, 1];

(ii) Ξη = {{z_1,η}, ..., {z_n,η}, ξ_1,η(R), ..., ξm,η(R)} é uma coleção de conjuntos invariantes isolados para {Tη(t) : t ≥ 0} para cada η ∈ [0, 1] e

lim

η→0d(z_j,η, z_j,0) = 0 e lim

η→0d_H(ξ_i,η(R), ξi,0(R)) = 0, para 1 ≤ j ≤ n e 1 ≤ i ≤ m;

(iii) existe δ > 0 e η0 ∈ (0, 1] tais que, se 0 ≤ η ≤ η0 e Ξη ∈ Ξη, então Ξη é o conjunto invariante maximal em Oδ(Ξ_η);

(iv) para cada conjunto compacto J ⊂ R+, nós temos

sup

t∈J

||D_xT_η(t)(z) − D_xT₀(t)(z)||_L(X)−−→ 0^η→0 ,

6.2 Estabilidade estrutural de semigrupos Morse-Smale 123

(v) {T0(t) : t ≥ 0} é um semigrupo Morse-Smale dinamicamente gradiente em X com atrator global A0.

Então existe η0 > 0 tal que, se η ∈ (0, η0), então {Tη(t) : t ≥ 0} é um semigrupo Morse-Smale dinamicamente gradiente e existe um isomorsmo de diagrama de fase entre os atratores de {Tη(t) : t ≥ 0} e {T0(t) : t ≥ 0}.

Demonstração. Pelo Teorema 3.5.5, sabemos que existe η0 > 0 tal que, se η ∈ (0, η0), então o semigrupo {Tη(t) : t ≥ 0} é dinamicamente gradiente com respeito à coleção de conjuntos invariantes isolados Ξη e, se η0 for sucientemente pequeno, cada solução global em Ξη será um ponto de equilíbrio hiperbólico ou uma órbita normalmente hiperbólica.

Vamos denir D : Ξ0 → Ξ_η por

D(Ξ_i,0) = Ξi,η, para cada i = 1, ..., n.

Dessa forma, D será uma bijeção e nós podemos assumir que, sendo a transversali-dade uma proprietransversali-dade aberta, que η0 é sucientemente pequeno para que, se Wu(Ξi,0) ∩ Ws

loc(Ξ_j,0) 6= ∅, então Wu(Ξ^∗_i,η)∩Ws

loc(Ξ_j,η) 6= ∅e existe um ponto de interseção transversal. Isso mostra que, se existir uma conexão entre Ξi,0 e Ξj,0, então existe uma conexão entre Ξi,η e Ξj,η.

Para a recíproca, tomemos uma sequência ηk→ 0e uma sequência de soluções globais ξ_k : R → X de {Tη(t) : t ≥ 0}tais que

lim

t→−∞d(ξk(t), Ξi,η_k) = 0 e lim

t→∞d(ξk(t), Ξj,η_k) = 0.

Pelo Lema 6.2.2, existem uma coleção de soluções globais ψl : R → X de {T0(t) : t ≥ 0}, l = 1, ..., m − 1, com m ≤ n, e uma coleção de conjuntos invariantes isolados Ξn_l,0 em Ξ₀ tais que Ξn1,0 = Ξ_i,0, Ξnm,0 = Ξ_j,0 e

Ξn_l,0

t→−∞

←−−−− ψl(t)−−−→ Ξ^t→∞ n_l+1,0, para todo l = 1, ..., m − 1.

124 Semigrupos Morse-Smale Ξi,0 t→−∞ ←−−−− ψ(t)−−−→ Ξ^t→∞ j,0, concluindo a demonstração.

6.3 Exemplo

Mostraremos, através de um exemplo, que a transversalidade é essencial para garan-tirmos a estabilidade estrutural.

Notemos, na primeira gura, que a variedade instável Wu(e₂) de e2 e a variedade estável local Ws

loc(e₃) de e3 não se interceptam transversalmente.

Após uma pequena perturbação autônoma, vemos na segunda gura que a conexão entre e2e e3 foi perdida e que, consequentemente, não existe um isomorsmo de diagramas de fase entre os atratores do sistema original e o do sistema perturbado.

Figura 6.1: Atrator global sem transversalidade.

Conclusão

Neste trabalho, zemos um estudo detalhado da perturbação de semigrupos. Come-çamos, no primeiro capítulo, com demonstrações de resultados fundamentais dos sistemas dinâmicos e provamos as noções de estabilidade sob diferentes perspectivas.

Primeiro estudamos a noção mais simples de continuidade para atratores: a semi-continuidade superior. Estudamos, então, a semisemi-continuidade inferior e, por causa das diculdades de garantirmos condições para ela, tivemos que buscar novas hipóteses sobre semigrupos.

Um primeiro tipo de semigrupo estudado foram os semigrupo gradientes. É importante dizer que as hipóteses adicionais feitas para estes semigrupos se vericam em fenômenos naturais e justicam este estudo. Um resultado bastante forte relacionado à estabilidade foi que uma pequena perturbação de semigrupos gradientes continua gradiente.

Por m, estudamos os semigrupos Morse-Smale, o que nos permitiu provarmos a exis-tência de isomorsmos entre os conjuntos isolados invariantes de um semigrupo e os dos semigrupos perturbados.

Fizemos, além disso, um trabalho bem detalhado sobre as variedades estável e instá-vel de um ponto de equilíbrio hiperbólico e a permanência de órbitas periódicas. Estes resultados foram fundamentais para o estudo de estabilidade.

Este estudo, feito até aqui com caráter teórico, está bem detalhado e pronto para aplicações, em particular, em equações diferenciais ordinárias, parciais ou funcionais.

Por m, notemos que este trabalho pode ser continuado com o estudo do caso não-autônomo. Os semigrupos, denotados até aqui por {T (t) : t ≥ 0}, deverão então ser denotados por {T (t, s) : t ≥ s}, indicando que a evolução do sistema depende dos ins-tantes inicial e nal considerados, e não apenas do tempo decorrido. Conceitos básicos, como atratores e continuidade, deverão ser adaptados para este caso, e teremos então a noção de atrator-pullback. A partir disso, poderemos fazer todo o estudo da estabilidade semigrupos gradientes e Morse-Smale, agora no caso não-autônomo.

Referências Bibliográcas

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