2.2 Forma Normal de Vishik
4.1.2 Estabilidade Estrutural Local de Campos de Vetores Suaves
Durante essa seção apenas 𝑀 será considerado como uma variedade compacta de dimensão 𝑛.
Definição 4.1.2.1. Sejam 𝐹 ∈ X𝑟(𝑀) e 𝑝 ∈ 𝑀 uma singularidade. Caso 𝑑𝐹𝑝 : 𝑇𝑝𝑀 →
𝑇𝑝𝑀 (no sentido da N.B. 1.3.1) seja um isomorfismo, 𝑝 é chamado de singularidade
simples. Por outro lado, se 𝑒𝑑𝐹𝑝 é um isomorfismo hiperbólico, então 𝑝 é chamado de
singularidade hiperbólica.
Um ponto fixo 𝑝 ∈ 𝑀 de um difeomorfismo 𝑓 : 𝑀 → 𝑀 (𝑓(𝑝) = 𝑝) é chamado de
Denotamos o conjunto dos campos 𝐹 ∈ X𝑟(𝑀) tais que todas as singularidades de 𝐹
são simples por 𝒢0 ⊂ X𝑟(𝑀).
De forma análoga, o conjunto 𝒢1 ⊂ X𝑟(𝑀) é definido como sendo o conjunto dos
campos tais que todas as singularidades são hiperbólicas.
Proposição 4.1.2.1 ([18]). Sejam 𝐹 ∈ X𝑟(𝑀) e 𝑝 ∈ 𝑀 uma singularidade simples.
Então existem vizinhanças 𝒰𝐹 de 𝐹 em X𝑟(𝑀) e 𝑈𝑝 de 𝑝 em 𝑀 e uma função 𝜌 : 𝒰𝐹 → 𝑈𝑝
tais que associa cada 𝐺 ∈ 𝒰𝐹 a uma única singularidade simples de 𝐺 em 𝑈𝑝.
Demonstração. Seja (𝑈, 𝜙) uma carta local de 𝑀 em torno de 𝑝, tal que 𝜙(𝑝) = 0, e defina 𝑉 = 𝜙(𝑈). Sendo assim 𝜙*𝐹 é campo vetorial em 𝑉 . Definindo a função contínua
ℱ : 𝑉 × X𝑟(𝑀) → R𝑛
(𝑝, 𝑋) ↦→ (𝜙*𝑋)(𝑝),
das hipóteses da proposição é imediato que ℱ(0, 𝐹 ) = (𝜙*𝐹)(0) = 𝑑𝜙𝑝𝐹(𝑝) = 0 e
𝜕ℱ
𝜕𝑥(0, 𝐹 ) = d(𝜙*𝐹)0
= d(d𝜙𝜙−1𝐹 ∘ 𝜙−1)0
= d𝜙𝑝· 𝑑𝐹𝑝·d(𝜙−1)0+ d(d𝜙𝜙−1)0𝐹(𝑝) = d𝜙𝑝· 𝑑𝐹𝑝·d(𝜙−1)0,
é um isomorfismo. Segue do teorema da função implícita que existem vizinhanças 𝒰𝐹 de 𝐹 em X𝑟(𝑀), 𝑈
0 de 0 em 𝑉 e uma única função contínua, 𝑅 : 𝒰𝐹 → 𝑈0, tais que
ℱ(𝑞, 𝐺) = 0, com 𝑞 ∈ 𝑈0 se e somente se 𝑞 = 𝑅(𝐺). Repare que a função
ℱ1 : 𝒰𝐹 → ℒ(R𝑛)
𝑋 →d(𝜙*𝑋)𝑅(𝑋)
é uma função contínua tal que ℱ1(𝐹 ) ∈ 𝐺𝐿(𝑛, R) uma vez que 𝐺𝐿(𝑛, R) é aberto em
ℒ(R𝑛), podemos diminuir o aberto 𝒰𝐹 de forma que 𝑅(𝑋) seja uma singularidade simples de 𝜙*𝑋, para todo 𝑋 ∈ 𝒰𝐹. Por fim, definindo
𝜌: 𝒰ℱ → 𝑈𝑝 ..= 𝜙−1(𝑈0)
𝑋 ↦→ 𝜙−1(𝑅(𝑋)),
concluímos a demonstração da proposição.
A demonstração da última proposição nos garante o seguinte corolário.
Corolário 4.1.1. Sejam 𝑁 uma variedade com bordo compacta, 𝐹 ∈ X𝑟(𝑁) e 𝑝 ∈ Int(𝑁)
uma singularidade simples. Então, existem vizinhanças 𝒰𝐹 de 𝐹 em X𝑟(𝑀) e 𝑈𝑝 de 𝑝
em 𝑀 e uma função 𝜌 : 𝒰𝐹 → 𝑈𝑝 que associa cada 𝐺 ∈ 𝒰𝐹 a uma única singularidade
hiperbólica de 𝐺 em 𝑈𝑝.
Proposição 4.1.2.2 ([18]). Seja 𝐹 ∈ X𝑟(𝑀) e 𝑝 ∈ 𝑀 uma singularidade hiperbólica,
então existem vizinhanças 𝒰𝐹 de 𝐹 em X𝑟(𝑀) e 𝑈𝑝de 𝑝 em 𝑀 e uma função 𝜌 : 𝒰𝐹 → 𝑈𝑝
Demonstração. A demonstração é semelhante a Proposição 4.1.2.1, porém diminuímos 𝑈𝐹 de forma que o conjunto ℱ1(𝑈𝐹) esteja contido no conjunto das transformações li- neares hiperbólicas, isso é possível uma vez que o conjunto das transformações lineares hiperbólicas é aberto no conjunto das transformações lineares.
Novamente, conseguimos um corolário.
Corolário 4.1.2 ([18]). Sejam 𝑁 uma variedade com bordo compacta, 𝐹 ∈ X𝑟(𝑁) e
𝑝 ∈Int(𝑁) uma singularidade hiperbólica, então existem vizinhanças 𝒰𝐹 de 𝐹 em X𝑟(𝑀)
e 𝑈𝑝 de 𝑝 em 𝑀 e uma função 𝜌 : 𝒰𝐹 → 𝑈𝑝 que associa cada 𝐺 ∈ 𝒰𝐹 a única singularidade
hiperbólica de 𝐺 em 𝑈𝑝.
Iremos agora, provar a residualidade do conjunto 𝒢0.
Teorema 4.1.2.1 ([18]). O conjunto 𝒢0 é aberto e denso em X𝑟(𝑀).
Demonstração. Considere o conjunto 𝐺0 = {(𝑥, 𝐹 (𝑥)); 𝐹 ∈ 𝒢0} ⊂ 𝒳𝑟(𝑀). Como vimos
na seção 1.3 é suficiente mostrar que 𝐺0, é um conjunto aberto e denso em 𝒳𝑟(𝑀). Pelo
Lema 1.3.1, (𝑥, 𝐹 (𝑥)) é transversal a 𝑀0 = {(𝑝, 0); 𝑝 ∈ 𝑀} ⊂ 𝑇 𝑀 se, e somente se, todas
as singularidades de 𝐹 são simples. Segue que
𝐺0= {(𝑥, 𝐹 (𝑥)) ∈ 𝒳𝑟(𝑀); (𝑥, 𝐹 (𝑥))t𝑀0}.
Mostraremos agora a abertura de 𝒢0. Tome 𝐹 ∈ 𝒢0. Como 𝑀 é compacto, se 𝐹 ∈ 𝒢0
então 𝐹 possui apenas finitos pontos singulares, caso contrário é fácil ver que 𝑑𝐹𝑝 não seria isomorfismo. Considere a função contínua
ℱ : X𝑟(𝑀) × 𝑀 → R𝑛 (𝑋, 𝑝) ↦→ 𝑋(𝑝),
relembrando que 𝑋(𝑝) ∈ 𝑇𝑝𝑀 ⊂R𝑛 para todo 𝑝 ∈ 𝑀. Sejam 𝑝1, . . . , 𝑝𝑘 os finitos pontos singulares de 𝐹 . Pela Proposição 4.1.2.1, existem vizinhanças abertas 𝒰𝑖
𝐹 de 𝐹 em X𝑟(𝑀) e 𝑈𝑝𝑖 de 𝑝𝑖em 𝑀 de forma que, se 𝐺 ∈ 𝒰
𝑖
𝐹, então 𝐺 possui uma única singularidade simples em 𝑈𝑝𝑖. Perceba que 𝑉 = 𝑀 ∖ 𝑘 ⋃︁ 𝑖=1 𝑈𝑝𝑖
é compacto e 𝛿 = min{‖ℱ(𝐹, 𝑣)‖, 𝑣 ∈ 𝑉 } > 0, logo existe uma vizinhança 𝒱𝐹 de 𝐹 em X𝑟(𝑀), tal que ℱ(𝐺, 𝑞) ̸= 0, para todo 𝐺 ∈ 𝒱𝐹 e 𝑞 ∈ 𝑉 . Segue portanto que
𝐹 ∈ 𝒱𝐹 ∩ ⎛ ⎝ 𝑘 ⋂︁ 𝑖=1 𝒰𝐹𝑖 ⎞ ⎠⊂ 𝒢0,
demonstrando assim a abertura.
Mostraremos agora a densidade. Tome 𝐹 ∈ X𝑟(𝑀) e considere (𝑥, 𝐹 (𝑥)) ∈ 𝒳𝑟(𝑀). É fácil ver que (𝑥, 𝐹 (𝑥)) ∈ 𝒞∞(𝑀, 𝑇 𝑀). Do teorema de Thom, sabemos que o conjunto
𝑆= {𝑔 ∈ 𝒞∞(𝑀, 𝑇 𝑀); 𝑔 t𝑀0}
é aberto e denso em 𝐶∞(𝑀, 𝑇 𝑀), logo existe 𝑔 ∈ 𝑆 suficientemente próximo de (𝑥, 𝐹 (𝑥)).
Perceba que 𝑔(𝑝) = (ℎ(𝑝), 𝐻(𝑝)), de forma que 𝐻(𝑝) ∈ 𝑇ℎ(𝑝)𝑀. Como 𝑔 está próximo de (𝑥, 𝐹 (𝑥)), temos que ℎ(𝑥) está suficientemente próximo da função identidade. Como
𝑀 é compacto, o conjunto dos difeomorfismos é aberto em 𝒞∞(𝑀, 𝑀). Logo, podemos
escolher 𝑔 suficientemente próximo de (𝑥, 𝐹 (𝑥)) de para que ℎ seja um difeomorfismo. Por fim, tome
𝑓(𝑝) = 𝑔(ℎ−1(𝑝)) = (𝑝, 𝐻 ∘ ℎ−1(𝑝)) ∈ 𝒞∞(𝑀, 𝑇 𝑀),
como 𝑓 ∈ 𝒞∞(𝑀, 𝑇 𝑀) então 𝐻 ∘ ℎ−1(𝑝) ∈ X𝑟(𝑀). Por fim, é fácil ver que 𝑓 ∈ 𝐺
0. O que
implica 𝐻 ∘ ℎ−1(𝑝) ∈ 𝒢
0. E então, percebendo que 𝐻 ∘ ℎ−1 está suficientemente próximo
de 𝐹 , o teorema é demonstrado.
Corolário 4.1.3 ([18]). Sejam 𝑁 uma variedade com bordo e𝒢̃︀0⊂ X𝑟(𝑁) o conjunto dos
campos que não se anulam em 𝜕𝑁 e cujas singularidades são simples, então 𝒢̃︀0 é aberto
e denso em X𝑟(𝑁).
Demonstração. Partindo da mesma demonstração do Teorema 1.3.4,e com mínimas adap-
tações, vemos que o conjunto dos campos que não se anulam em 𝜕𝑁 é aberto e denso em X𝑟(𝑁). Além disso, utilizando a mesma demonstração acima, vemos que o conjunto dos campos que possuem apenas singularidades simples em Int(𝑁) também é aberto e denso em X𝑟(𝑁). Como 𝒢̃︀
0 é a interseção dos dois conjuntos descritos anteriormente, o
resultado segue.
Teorema 4.1.2.2 ([18]). O conjunto 𝒢1 é aberto e denso em X𝑟(𝑀).
Demonstração. A abertura é demonstrada de maneira análoga ao Teorema 4.1.2.1usando
a Proposição 4.1.2.2 invés da Proposição 4.1.2.1.
Mostraremos que 𝒢1 é denso em X𝑟(𝑀). Tome 𝐹 ∈ X𝑟(𝑀), então, pelo Teorema
4.1.2.1, existe uma função 𝐺 ∈ 𝒢0 suficientemente próxima de 𝐹 . Sejam 𝑝1, . . . , 𝑝𝑘 as finitas singularidades de 𝐺. Sejam (𝜙𝑖, 𝑉𝑖) cartas de 𝑀 em torno de 𝑝𝑖 tal que 𝜙𝑖(𝑝𝑖) = 0 (de forma que 𝑉𝑗∩ 𝑉𝑖 = ∅ se 𝑖 ̸= 𝑗), para todo 𝑖 ∈ {1, . . . , 𝑘}. Como vimos na demonstração do Teorema 4.1.1.4, existe 𝜆𝑖 suficientemente próximo da origem, para que
𝑑(𝜙*𝐺)𝜙(𝑝𝑖)+ 𝜆𝑖𝐼
seja um isomorfismo hiperbólico. Dessa forma, podemos considerar 𝐻 ∈ X𝑟(𝑀), definido por 𝐻(𝑥) = 𝐺(𝑥) + 𝑘 ∑︁ 𝑖=1 𝑓𝑖(𝑥)𝜆𝑖d𝜙𝑖−1𝜙𝑖(𝑥)𝜙𝑖(𝑥), sendo 𝑓𝑖(𝑥) bump functions tais que 𝑓𝑖(𝑀 ∖ 𝑈𝑖) = {0} e 𝑓𝑖
(︁
𝑉𝑖
)︁
= {1}; onde 𝑉𝑖são abertos de 𝑀, centrados em 𝑝𝑖, tais que
𝑉𝑖 ⊂ 𝑉𝑖⊂ 𝑈𝑖. Perceba que 𝐻(𝑝𝑗) = 𝐺(𝑝𝑗) + 𝑛 ∑︁ 𝑖=1 𝜆𝑖𝑓𝑖(𝑝𝑗)d𝜙𝑖−1𝜙𝑖(𝑥)𝜙𝑖(𝑝𝑗) = 0, pois 𝑓𝑖(𝑝𝑗) = 0 se 𝑖 ̸= 𝑗 e 𝜙𝑗(𝑝𝑗) = 0. Além disso,
(𝜙*𝐻)(0) = d𝜙*𝐺+ 𝜆𝑖𝐼
é um isomorfismo hiperbólico. Por fim, como os 𝜆𝑖’s podem ser tomados tão pequenos quanto se queira, temos pela Proposição 4.1.2.1 que 𝑝1, . . . , 𝑝𝑘 são as únicas singularidades de 𝐻, todas hiperbólicas. Como 𝐺 pode ser tomado tão próximo de 𝐹 quanto se queira
e 𝐻 tão próximo de 𝐺 quanto se queira, então 𝐻 está próximo de 𝐹 , mostrando assim a densidade de 𝒢1.
Corolário 4.1.4. Sejam 𝑁 uma variedade com bordo e 𝒢̃︀1 ⊂ X𝑟(𝑁) o conjunto dos
campos que não se anulam em 𝜕𝑁 cujas singularidades são hiperbólicas, então𝒢̃︀1 é aberto
e denso em X𝑟(𝑁).
Demonstração. Utilizando a demonstração do Teorema 1.3.4, com mínimas adaptações,
vemos que o conjunto dos campos que não se anulam em 𝜕𝑁 é aberto e denso em X𝑟(𝑁). Além disso, utilizando a demonstração do último teorema, vemos que o conjunto dos campos que possuem apenas singularidades hiperbólicas em Int(𝑁) também é aberto e denso em X𝑟(𝑁). Como
̃︀
𝒢1 é a interseção dos dois conjuntos descritos anteriormente, o
resultado segue.
Agora demonstraremos o resultado principal da seção, que mostra que os campos globalmente localmente estruturalmente estáveis são abertos e densos em 𝒳𝑟(𝑀).
Teorema 4.1.2.3 ([18]). Seja 𝐹 ∈ 𝒢1, então 𝐹 é globalmente localmente estruturalmente
estável em X𝑟(𝑀).
Demonstração. Tome 𝐹 ∈ 𝒢1 e seja 𝑝 ∈ 𝑀 um ponto regular de 𝐹 . Uma vez que a função
ℱ : X𝑟(𝑀) × 𝑀 → R𝑛 (𝐹, 𝑝) ↦→ 𝐹 (𝑝)
é contínua, existe uma vizinhança aberta de 𝒰𝐹 ⊂ 𝒢1 de 𝐹 em X𝑟(𝑀) tal que 𝐺(𝑝) ̸= 0,
para todo 𝐺 ∈ 𝒰𝐹. Pelo teorema do fluxo tubular existem ,vizinhanças 𝑈𝑝 e 𝑉𝑝𝐺 de 𝑝 em 𝑀, de forma que 𝐹 |𝑈𝑝 e 𝐺|𝑉𝑝𝐺 são equivalentes ao campo 𝑋𝑐 : 𝐵1(0) ⊂ R
𝑛 → R𝑛,
𝑋𝑐(𝑥) = (1, 0, . . . , 0), para todo 𝑥 ∈ 𝐵1(0). Uma vez que equivalência topológica é relação
de equivalência, por transitividade 𝐹 |𝑈𝑝 e 𝐺|𝑉𝑝𝐺 são equivalentes, para todo 𝐺 ∈ 𝒰𝐹.
Supomos agora que 𝑝 é uma singularidade hiperbólica de 𝐹 . Dada 𝑈 uma vizinhança qualquer de 𝑝, tome 𝑈𝑝 ⊂ 𝑈 uma vizinhança de 𝑝 suficientemente pequena para que 𝒰𝐹 = 𝜌−1(𝑈𝑝) esteja bem definida e para que, qualquer 𝐺 ∈ 𝒰𝐹, 𝜌(𝐺) possua o mesmo índice no campo 𝐺 que o ponto 𝑝 possui no campo 𝐹 , sendo 𝜌 a função da proposição 4.1.2.2. Do teorema de Hartman-Grobman, 𝐹 é localmente equivalente a d𝐹𝑝 ∈ ℒ(R𝑛) em 𝑝 e 0, respectivamente. De forma análoga, 𝐺 é localmente equivalente a d𝐺𝜌(𝐺) em
𝜌(𝐺) e 0, respectivamente. Uma vez que d𝐹𝑝 e d𝐺𝜌(𝐺) possuem mesmo índice, esses dois campos lineares são equivalentes. Por transitividade, 𝐹 e 𝐺 são equivalentes em 𝑝 e 𝜌(𝐺), respectivamente.
Mostramos assim que todo elemento de 𝒢1 é globalmente localmente estruturalmente
estável.
Perceba que a demonstração do Teorema 4.1.2.3 nos garante o seguinte corolário.
Corolário 4.1.5. Sejam 𝑁 uma variedade compacta com bordo, 𝑝 ∈ Int(𝑁) e 𝑋 ∈ X𝑟(𝑁).
Caso 𝑝 seja um ponto regular de 𝑋 ou uma singularidade hiperbólica de 𝑁, então 𝑋 é localmente estruturalmente estável em 𝑝 no conjunto X𝑟(𝑁).