Para resolver o sistema de equa¸c˜oes para encontrar os autovalo- res da formula¸c˜ao da Equa¸c˜ao (4.70) geralmente utiliza-se um m´etodo iterativo, como o M´etodo de Lanczos ou o M´etodo da Itera¸c˜ao Subes- pacial, para encontrar os primeiros Nnav autovalores desejados, prin- cipalmento por dois motivos: (1) ´e que o MEF permite que apenas os primeiros valores tenham representatividade f´ısica; (2) o custo compu- tacional ´e alto (ou mesmo invi´avel) para calcular todos os autovalores para sistemas de muitos graus de liberdades.
Por´em para MEFG a Matriz Rigidez ´e mal condicionada, com muitos autovalores nulos e outros ainda com valores muito pequenos (em torno de 40 a 50% dos total de autovalores). Mesmo que seja poss´ıvel utilizar um m´etodo matem´atico para encontrar todos os au- tovalores, obter o primeiro autovalor com significado f´ısico ´e computa- cionalmente t˜ao dif´ıcil que inviabiliza a utiliza¸c˜ao de MEFG, em sua configura¸c˜ao atual, para c´alculo de carga cr´ıtica de flambagem.
6 CONCLUS ˜AO
O objetivo deste trabalho foi implementar as hip´oteses de n˜ao li- nearidade geom´etrica de von K´arm´an a dois modelos de placa, Kirchhoff- Love e Reissner-Mindlin, por meio do M´etodo de Elementos Finitos Generalizados com fun¸c˜oes Parti¸c˜ao da Unidade de Classe C0ou Ck. A implementa¸c˜ao realizada por meio de algoritmos no software MATLABr, em que placas, laminadas ou n˜ao, com diferentes materiais lineares fo- ram testadas e os resultados comparados com os da literatura (REDDY, 2004a;LEVY, 1942) e/ou com o software comercial de An´alise por Ele- mentos Finitos Abaqusr.
Os resultados levam a concluir que:
A formula¸c˜ao discretizada para MEFG, desenvolvida para este caso de n˜ao linearidade geom´etrica, se mostrou capaz de obter os cam- pos de deslocamentos e de tens˜oes, tanto para placas isotr´opicas ou anisotr´opicas, quanto para laminados de acordo com a literatura, ape- sar da dificuldade de validar o c´odigo, devido a ausˆencia de resultados anal´ıticos.
A utiliza¸c˜ao de MEFG-Ck mostrou-se uma forma eficaz para formar base com continu´ıdade C1, requerida pelas equa¸c˜oes de placa fina, sem a necessidade da utiliza¸c˜ao de elementos n˜ao conformes como em Reddy (2004a).
O MEFG permite enriquecimento polinomial hier´arquico, o que facilita a elimina¸c˜ao de patologias num´ericas (como locking), de forma natural, al´em de permitir outros tipos especiais de enriquecimento (para problemas de trincas, por exemplo, ou outros com altos gradientes ou singularidades ou descontinuidades). O c´odigo tamb´em permite a uti- liza¸c˜ao de MEF, bastando usar fun¸c˜oes PU C0 sem enriquecimento.
Os esfor¸cos de membrana, devido `as hip´oteses de von K´arm´an, afetam a obten¸c˜ao das tens˜oes transversais pelo m´etodo de integra¸c˜ao de Chaudhuri (1986), tornando necess´ario uma outra abordagem para tornar mais precisas essas tens˜oes.
Um ponto a se destacar, foi o surgimento de valores anˆomalos para tens˜oes nos vertices da placa, quando utilizado fun¸c˜oes PU Ck e condi¸c˜oes de contorno de simetria. At´e o t´ermino desta disserta¸c˜ao, este problema permaneceu em aberto.
A an´alise de estabilidade estrutural torna-se invi´avel de ser re- alizada por meio do MEFG, pois surgem um grande n´umero de auto- valores nulos ou muito pequenos devidos a grande esparcidade e mal condicionamento da Matriz Rigidez em MEFG.
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TRABALHOS FUTUROS
Abaixo segue algumas sugest˜oes a partir do trabalho proposto: • Implementa¸c˜ao de cargas cooplanares para posterior an´alise de
flambagem, j´a que ´e um problema de n˜ao linearidade geom´etrica; • An´alise dinˆamica a partir da inclus˜ao da Matriz Massa e subdi-
vis˜ao temporal do problema;
• Inclus˜ao de outros modelos materiais, como materiais inteligentes, piezoel´etricos, etc.;
• Acrescentar funda¸c˜ao el´astica `a formula¸c˜ao;
• Implementar M´etodo de Elementos Finitos Generalizado Est´avel (SGFEM) Stable Generalized Finite Element Method, para viabi- lizar a an´alise de estabilidade estrutural.
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