2.4 Modelo
2.4.3 Estados X
Em algumas an´alises, um sistema de dois qubits geral pode ser muito complexo de ser analisado, devido ao n´umero de parˆametros, de forma que se faz necess´ario em v´arios momentos recorrer a sistemas de dois qubits mais simples, que s˜ao facilmente implemen-t´aveis em experimentos. Nesse sentido, vamos utilizar estados conhecidos como estados X [72], os quais recebem este nome devido `a forma de sua matriz densidade. Estados X podem ser definidos da seguinte maneira: seja ρjj os termos diagonais e ρjk = |ρjk|eiφjk
Para que represente um estado f´ısico, a equa¸c˜ao (2.53) deve satisfazer as condi¸c˜oes de tra¸co unit´ario,P4
i=1ρii = 1, e positividade,ρ22ρ33≤ |ρ23|2 eρ11ρ44 ≤ |ρ14|2. Os estados X s˜ao emaranhados se, e somente se, ρ22ρ33<|ρ14|2 ouρ11ρ44<|ρ23|2. A fam´ılia de estados X incluem os estados puros de Bell, assim como estados de Werner [10].
Estados X de trˆes parˆametros reais
Dos estados X apresentados acima (2.53), existe uma subclasse de estados conhecidos como estados X de trˆes parˆametros reais. Na representa¸c˜ao de Bloch, eles podem ser escritos a partir da equa¸c˜ao (2.51), com~a e~bnulos, ou seja,
ρ~c = 1
2.4. Modelo 35 A matriz densidade de um estado X de trˆes parˆametros reais, na base computacional, pode ser escrita na forma
ρ~c= 1 4
1 +c3 0 0 c1−c2 0 1−c3 c1+c2 0 0 c1+c2 1−c3 0 c1−c2 0 0 1 +c3
. (2.55)
Os estados X de trˆes parˆametros reais tamb´em s˜ao conhecidos como estados X com mar-ginais maximamente misturadas. Isso se d´a pelo fato de que se calcularmos os operadores densidade reduzidos para essa classe de estados obteremos estados maximamente mistu-rados, ou seja,ρA=ρB = 12.
Desta forma, n´os encerramos este cap´ıtulo de introdu¸c˜ao aos conceitos fundamentais abordados na tese com a defini¸c˜ao e propriedades do operador densidade em Mecˆanica Quˆantica, defini¸c˜ao das medidas de correla¸c˜oes que estamos interessados, uma discuss˜ao sobre sistemas quˆanticos abertos e a apresenta¸c˜ao do modelo que ser´a utilizado ao longo da tese.
Cap´ıtulo 3
Quantifica¸c˜ ao de direcionamento EPR para sistemas de dois qubits
No cap´ıtulo 2 apresentamos diferentes quantificadores de correla¸c˜oes quˆanticas, a sa-ber, n˜ao-localidade de Bell, emaranhamento e disc´ordia quˆantica. Recentemente, uma nova medida de correla¸c˜ao se juntou a esse quadro, a chamada EPR steering ou direcio-namento EPR.
A no¸c˜ao de direcionamento EPR foi introduzida por Schr¨odinger em 1935 [7, 8], no contexto do paradoxo de Einstein-Podolski-Rosen (EPR), para nomear a habilidade de um observador afetar o estado de um sistema remoto atrav´es de medi¸c˜oes locais. Especifica-mente, se Alice e Bob compartilham um estado emaranhado, realizando medi¸c˜oes somente em sua parte do sistema, Alice pode remotamente orientar (“steer”) o estado de Bob. Isto n˜ao ´e poss´ıvel se o estado compartilhado ´e somente correlacionado classicamente. Este tipo de correla¸c˜ao quˆantica ´e hoje conhecida como direcionamento EPR.
Um exemplo simples de direcionamento EPR pode ser dado da seguinte forma. Con-sidere que Alice e Bob compartilham o estado
|ψi= 1
√2
|0iz|1iz+|1iz|0iz
. (3.1)
Suponha que Alice deseja realizar uma medida (local) deσz no seu subsistema. Com essa medida, Alice define a realidade de Bob, ou seja, se ela obt´em um resultado |0iz para sua
36
37 medida, o estado de Bob ap´os a medi¸c˜ao ´e |1iz, e vice-versa. Agora, suponha que Alice resolva medir σx. Fazendo uma mudan¸ca de base no subsistema da Alice, o estado total pode ser reescrito como
Nesse caso, se a Alice realizar uma medida emσx, ela n˜ao define mais a realidade de Bob, ou seja, se ela obt´em o resultado |0ix, o estado de Bob se torna |0iz√+|1iz
2 , um estado que n˜ao tem realidade definida. Logo, o direcionamento EPR est´a baseado na habilidade de Alice em “orientar” o estado de Bob de acordo com a sua escolha de medida.
Recentemente, foi dado ao direcionamento EPR uma interpreta¸c˜ao operacional num contexto no qual Alice quer persuadir Bob, que n˜ao confia nela, que eles compartilham um estado emaranhado [14, 15]. Neste cen´ario, estes trabalhos estabeleceram uma hierarquia segundo a qual direcionamento EPR est´a entre emaranhamento [61] e n˜ao-localidade de Bell [43], de forma que nem todo estado emaranhado ´e EPR direcion´avel e nem todo estado EPR direcion´avel ´e Bell n˜ao-local. Vamos reservar o cap´ıtulo 4 para uma discuss˜ao mais profunda sobre essa hierarquia no contexto de medidas projetivas.
A maioria dos trabalhos envolvendo direcionamento EPR diagnostica direcionalidade EPR pelo teste de condi¸c˜oes necess´arias, as quais s˜ao usualmente estabelecidas em ter-mos de desigualdades. As contribui¸c˜oes de Reid [73] e Cavalcanti et al [16] definem um quadro seminal para esta abordagem. Desigualdades de direcionamento EPR baseadas em rela¸c˜oes de incerteza entr´opicas tamb´em foram propostas e experimentalmente testa-das [74–76]. Outras ferramentas tˆem sido propostas para sinalizar direcionamento EPR, como por exemplo testemunhas de direcionamento EPR [77], desigualdade CHSH para direcionamento EPR [78, 79], e desigualdades geom´etricas do tipo Bell [80].
Apesar do vasto conhecimento acumulado at´e agora a respeito de testemunhas de direcionamento EPR, ´e not´avel que, ao contr´ario de n˜ao-localidade e emaranhamento, para os quais medidas simples existem pelo menos para alguns contextos particulares [55, 57, 81], a literatura ´e ainda escassa relativa `a quantifica¸c˜ao do grau de direcionalidade EPR de um dado estado quˆantico. Desenvolvimentos nesta linha consistem no peso de direcionamento EPR (steering weight) [82], cujo c´alculo demanda o uso de programa¸c˜ao semi-definida (assim como ocorre para o c´alculo de robustez de direcionamento EPR
3.1. Modelos de localidade 38 (steering robustness) [83]), e uma medida de direcionamento EPR para estados bipartidos Gaussianos arbitr´arios de sistemas de vari´aveis cont´ınuas [84]. Em particular, n˜ao existe nenhuma f´ormula fechada mesmo para o caso muito importante (e simples) envolvendo estados de dois qubits e poucas medi¸c˜oes por s´ıtio.
O objetivo deste cap´ıtulo ´e preencher esta lacuna. Considerando os cen´arios de duas e trˆes medi¸c˜oes, propomos quantificar direcionamento EPR baseados em desigualdades de direcionamento EPR bem estabelecidas na literatura. Al´em disso, vamos mostrar analiticamente as rela¸c˜oes de hierarquia existentes entre emaranhamento, direcionamento EPR e n˜ao-localidade de Bell.
3.1 Modelos de localidade
Antes de demonstrarmos a desigualdade para direcionamento EPR, ´e instrutivo apon-tar as diferen¸cas entre modelos de localidade que revelam correla¸c˜oes de diferentes n´ıveis, ou seja, cada modelo ´e respons´avel por crit´erios para a n˜ao-localidade de Bell, direciona-mento EPR e emaranhadireciona-mento [10, 14, 15]. Para a discuss˜ao sobre esses diferentes modelos, vamos adotar a mesma estrat´egia que foi usada para demonstrar a n˜ao-localidade de Bell.
Novamente, suponha que vocˆe possui uma fonte que prepara um par de part´ıculas e envia uma para Alice e outra para Bob, em laborat´orios separados espacialmente. Esco-lhendo realizar em seu sistema uma medida x (y) dentre muitas poss´ıveis, Alice (Bob) obt´em resultadoa(b). Realizando-se o experimento um n´umero suficiente de vezes, pode-se determinar a distribui¸c˜ao de probabilidade conjuntap(ab|xy). Em geral, tem-se que
p(ab|xy)6=p(a|x)p(b|y), (3.3) implicando que os resultados obtidos em cada laborat´orio n˜ao s˜ao estatisticamente in-dependentes entre si. Em modelos locais, busca-se a explica¸c˜ao de tais correla¸c˜oes pela intera¸c˜ao entre os subsistemas durante a sua prepara¸c˜ao.
Para um estado quˆantico ρ, a distribui¸c˜ao de probabilidade p(ab|xy) ´e teoricamente
3.1. Modelos de localidade 39
calculada pela rela¸c˜ao
p(ab|xy) = Tr(xa⊗ybρ), (3.4) ondexaeyb s˜ao medidas projetivas realizadas nos subsistemas de Alice e Bob, respectiva-mente. Como os laborat´orios de Alice e Bob est˜ao separados espacialmente, pergunta-se se existem modelos estat´ısticos locais que sejam capazes de reproduzir a distribui¸c˜ao de probabilidade obtida por (3.4). Ou seja, se existe alguma teoria geral (e local) que ex-plique as correla¸c˜oes entre os resultados obtidos por Alice e Bob atrav´es da introdu¸c˜ao de vari´aveis ocultas λ, as quais seriam determinadas inicialmente durante a prepara¸c˜ao e que possibilitariam a composi¸c˜ao da probabilidade conjunta a partir de distribui¸c˜oes marginais locais, na forma seja, a distribui¸c˜ao marginal de Alice n˜ao depende do resultadob obtido por Bob, assim como da medi¸c˜aoy realizada por ele, e de forma similar para a distribui¸c˜ao de Bob.
O valor esperado para as duas medi¸c˜oes no sistema ´e dado por hxyi=X
a,b
a b p(ab|xy), (3.6)
de forma que o modelo de localidade implica que
hxyi=X
Esse resultado mostra que a m´edia conjunta pode ser constru´ıda atrav´es de m´edias lo-cais, resultado que ´e usado para obten¸c˜ao de crit´erios (desigualdades) para o modelo de localidade a partir de resultados experimentais.
Neste contexto, ´e poss´ıvel identificar trˆes cen´arios diferentes a partir de restri¸c˜oes do modelo de localidade apresentado acima. Esses cen´arios s˜ao identificados com a n˜
ao-3.1. Modelos de localidade 40 localidade de Bell, direcionamento EPR e emaranhamento1.