DESVIOS E VARIÂNCIA; NOÇÕES DE PROBABILIDADE.
ESTATÍSTICA
MÉDIAS
Sendo dados n números reais, x1, x2, x3, x4,...,xn, definimos:
- Média aritmética: - Média geométrica: - Média harmônica:
ESTATÍSTICA
Estatística é um ramo da Matemática Aplicada. A palavra estatística provém da palavra latina Status.
É ciência quando estuda populações; é método, quando serve de instrumento a uma outra ciência.
Vejamos algumas definições:
- População: é um conjunto de elementos com uma característica comum. O termo é mais amplo que no senso comum, pois envolve aglomerado de pessoas, objetos ou mesmo idéias.
- Amostras: são subconjuntos da população, que conservam, portanto, a característica comum da população e são retiradas por técnicas adequadas chamadas de amostragem.
- Parâmetros: são as características numéricas da população.
- Estimativas: em geral, por problemas de tempo e dinheiro, trabalha-se com amostras e não com a população.
- Dados Brutos: é o conjunto dos dados numéricos obtidos e que ainda não foram organizados.
- Rol: é o arranjo dos dados brutos em ordem cres- cente.
- Amplitude total (H): é a diferença entre o maior e o menor dos valores observados.
- Frequência: é o número de vezes (a quantida- de) que um número aparece entre os dados cole- tados.
- Medidas de posição: as medidas de posição servem para localizar os dados sobre o eixo das va- riáveis em questão. As mais importantes são: média,
mediana e moda.
A) Média: é a soma de todos os dados, dividida pelo número de dados coletados.
B) Mediana: é o valor central do Rol. Quando temos um número ímpar de dados é o valor que esta exatamente no centro do Rol; quando temos um nú-
mero par de dados é a média aritmética entre os dois
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C) Moda: é o valor com maior frequência (o que aparece mais vezes) dos dados coletados. Se houver dois valores com maior frequência temos duas mo- das e dizemos que é bimodal; se houver três valores com maior frequência temos três modas e dizemos que é trimodal; e assim por diante.... Se todos os va- lores tem a mesma frequência, então não temos um valor da moda e dizemos que é amodal.
Exercícios resolvidos QUESTÃO 01
O valor das médias aritmética e geométrica en- tre números 6, 4 e 9 são respectivamente iguais a:
a) 6 e 6,3 b) 6,3 e 6 c) 6,8 e 9 d) 4 e 6 e) 6,5 e 5 QUESTÃO 02
(ESPM) A nota final de um concurso é dada pela média aritmética das notas de todas as prova reali- zadas. Se um candidato conseguiu x notas 8, x + 1 no- tas 6 e x – 1 notas 5 e sua nota final foi 6,5. O número de provas que ele realizou foi:
a) 6 b) 9 c) 7 d) 5 e) 12 QUESTÃO 03
(INSPER) O gráfico abaixo mostra o nível de água no reservatório de uma cidade, em centímetros. Considerando o mês inteiro, o nível médio de água no reservatório é igual a: a) 225 cm b) 250 cm c) 275 cm d) 300 cm e) 325 cm QUESTÃO 04
(ENEM) A média aritmética dos salários de qua- tro funcionários de uma empresa era igual a R$ 1.300,00. Ao ser contratado um novo funcionário, a média passou a ser R$ 1.340,00. Qual o salário desse funcionário? a) R$ 1.200,00 b) R$ 1.350,00 c) R$ 1.400,00 d) R$ 1.450,00 e) R$ 1.500,00 QUESTÃO 05
(FATEC - adaptado) As idades, em anos, de um grupo de sete pessoas são: 16, 8, 13, 8, 10, 8 e m. Sa- bendo que m > 12 e que a moda, a mediana e a mé- dia aritmética das idades desse grupo, nessa ordem, são três termos consecutivos de uma progressão arit- mética, não constante, então o valor de m é:
a) 17 b) 19 c) 21 d) 23 e) 25 QUESTÃO 06
(ENEM) Marco e Paulo foram classificados em um concurso. Para a classificação no concurso, o candida- to deveria obter média na pontuação igual ou superior a 14. Em caso de empate na média, o desempate se- ria em favor da pontuação mais regular. No quadro a seguir, são apresentados os pontos obtidos nas provas de Matemática, Português e Conhecimentos Gerais, a média, a mediana e o desvio-padrão dos dois candi- datos. O candidato com pontuação mais regular, por- tanto mais bem classificado no concurso é:
a) Marco, pois a média e a mediana são iguais. b) Marco, pois obteve menor desvio-padrão. c) Paulo, pois obteve a maior pontuação da ta- bela, 19 em Português.
d) Paulo, pois obteve maior mediana. e) Paulo, pois obteve maior desvio-padrão.
QUESTÃO 07
Observe o conjunto de dados: 1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 6 e indique a alternativa que explicita, nesta ordem, a moda, a mediana e a média aritmética desse con- junto. a) 3,3,3. b) 2,3,3. c) 2,3,2. d) 2,2,2. e) 2,2,3.
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QUESTÃO 08
(FGV) Numa pequena ilha, há 100 pessoas que trabalham na única empresa ali existente. Seus salários (em moeda local) têm a seguinte distribuição de frequências:
Salários Frequência $ 50,00 30 $ 100,00 60 $ 150,00 10
a) Qual a média dos salários das 100 pessoas? b) Qual a variância dos salários?
c) Qual o desvio-padrão dos salários?
Resoluções 01- Solução:
Média aritmética:
= = 6,3
Média geométrica:
=
= 6
Alternativa b 02- SoluçãoO número de provas realizadas pelo candidato foi x + x + 1 + x – 1 = 3x, se a sua média foi 6,5 temos: = 6,5 = 6,5 = 6,5 19x + 1 = 3x.6,5 19x + 1 = 19,5x 1 = 19,5x – 19x 1 = 0,5x x = 1 : 0,5 = 2 número de provas = 3x = 3.2 = 6 Alternativa a
100
03- Solução
Sendo d o número de dias e M a média em cada período no gráfico, temos que calcular a média de cada parte do gráfico:
Se 0 ≤ d ≤ 10 M1= = 400 Se 10 ≤ d ≤ 15 M2= = 350 Se 15 ≤ d ≤ 20 M3= 200 Se 20 ≤ d ≤ 25 M4= = 250 Se 25 ≤ d ≤ 30 M5= = 200 = = = 300 Alternativa d 04- Solução
Sendo S a soma dos quatro salários e m o salário do novo funcionário: = 1300
S = 4.1300 S = 5200
Após a entrada do novo funcionário: = 1340 5200 + m = 5.1340 5200 + m = 6700 m = 6700 – 5200 m = 1500 Alternativa e 05- Solução
O Rol (dados coletados em ordem crescente) dos dados 16, 8, 13, 8, 10, 8 e m, sabendo que m > 12 pode ser: 8, 8, 8, 10, m, 13, 16 ou 8, 8, 8, 10, 13, m, 16 ou ainda 8, 8, 8, 10, 13, 16, m
Em qualquer um deles temos que a mediana (termo central) Md = 10 e a moda (número que aparece
mais vezes) Mo = 8. Do enunciado a moda, a mediana e a média formam, nessa ordem um P.A., então temos:
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= 12 = 12 63 + m = 7.12 63 + m = 84 m = 84 – 63 m = 21 Alternativa c 06- SoluçãoApesar de Marco e Paulo terem a mesma média (15), Marco tem um desvio padrão menor, o que signifi- ca que os pontos obtidos em cada prova estão mais próximos da média.
Alternativa b
07- Solução
Fazendo o Rol (ordem crescente do dados coletados): 1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 6
Moda: elemento que aparece mais vezes na amostra Mo = 2
Mediana: elemento central da amostra, quando temos um número ímpar de termos a mediana esta no centro e quando temos um número par de termos a mediana é a média aritmética dos dois termos centrais. No caso acima temos um número ímpar 1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 6 Md = 3
Média:
08- Solução
a) A média é:
b) Variância é igual à somatória de cada salário menos a média elevado ao quadrado, multiplicado pela frequência, dividido pelo total de pessoas.