1. O modelo de preços hedónicos
1.5. Estimação e formas funcionais
O modelo de preços hedónicos é um modelo de regressão, ou seja, através dele estabelece-se uma relação de causalidade entre uma variável dependente e varáveis independentes. Num modelo de preços hedónicos aplicado à habitação, a variável dependente (ou explicada) pode ser, por exemplo, o preço da habitação e as variáveis independentes (ou explicativas) correspondem às variáveis definidas para os vectores “Habitação”, “Acessibilidade”, “Vizinhança”. Tendo em conta o tema em estudo nesta dissertação, acrescenta-se o vector “Metro”, que na prática insere-se no âmbito das variáveis de acessibilidade mas que para efeitos de melhor percepção se desagrega desta.
31 Particularizando, é possível definir-se a função de preços hedónicos da seguinte forma:
ܲ = ߚ+ ߚଵܺଵ+ ߚଶܺଶ+ ⋯ + ߚܺ+ ߝ (1.3)
Em que, P é a variável explicada, ߚ é o termo independente, ܺ são as varáveis
explicativas e ߚ são os coeficientes de regressão desconhecidos. A variância do termo
de perturbação ߝé desconhecida e igual a ߪଶ, i é o índice de observação e k é a dimensão da amostra.
Substituindo os parâmetros da função (1.3) por variáveis específicas associadas ao estudo do impacto do metro na valorização das habitações, poderíamos ter, por exemplo, uma função bastante simples do tipo:
ܲ = ߚ+ ߚଵÁݎ݁ܽ + ߚଶ݈ܶ݅݃݅ܽ+ ߚଷܫ݀ܽ݀݁+ ߚସܦ݅ݏݐâ݊ܿ݅ܽܥܤܦ
+ ߚହܦ݅ݏݐâ݊ܿ݅ܽܪݏ݅ݐ݈ܽ+ ߚܶܽݔܽܧ݉ݎ݁݃+ ߚܴ݁݊݀݅݉݁݊ݐ
+ ߚ଼ܦ݅ݏݐâ݊ܿ݅ܽܯ݁ݐݎ+ ߝ
(1.4)
Em que ܲ poderia representar o preço de transacção da habitação i, sendo função da área, da tipologia e da idade da habitação (vector Habitação), da distância ao centro e ao hospital mais próximo (vector Acessibilidade), da taxa de emprego e do rendimento médio no local (vector Vizinhança) e da distância à estação de metro mais próxima (vector Metro). A equação (1.4) será utilizada no subcapítulo seguinte de forma a tornar a interpretação das diversas formas funcionais mais perceptível.
Formas Funcionais
Não basta definir as variáveis do modelo, há que escolher a sua forma funcional. Este é um dos problemas da aplicação do modelo de preços hedónicos - não se sabe à partida qual é a melhor forma funcional. Por regra, para o modelo de preços hedónicos aplicado
32 ao mercado imobiliário, três formas funcionais básicas são utilizadas (Weirick e Ingram, 1990):
• Linear - Modelos em que tanto a variável dependente como as independentes
possuem a especificação linear;
• Semi-Logarítmica (ou Semi-Log) - Modelos que transformam logaritmicamente
a variável dependente, mantendo a linearidade das variáveis independentes;
• Dupla Logarítmica (ou Log-Log) - Modelos em que tanto a variável dependente
como as independentes são transformações logarítmicas.
De seguida, explicitam-se as formas funcionais acima identificadas tendo por base a função (1.4).
A forma linear, dada pela equação (1.4), por não cumprir com a condição de Rosen não é considerada a mais adequada, além do que, empiricamente, não corresponde à realidade esperada: uma habitação com o dobro da idade de outra, tudo o mais constante, não custa necessariamente metade. Pese embora esta constatação, alguns estudos consideram a forma linear como aquela que melhor corresponde ao comportamento estudado. Neste tipo de função, a interpretação dada ao coeficiente ߚ଼ seria: uma variação absoluta em uma unidade na distância da habitação à estação de
metro induz uma variação igual a ߚ଼ no preço da habitação.
Já mais consensual e comum é a utilização da função semi-logarítmica:
ܮ݊ (ܲ) = ߚ+ ߚଵÁݎ݁ܽ+ ߚଶ݈ܶ݅݃݅ܽ+ ߚଷܫ݀ܽ݀݁ + ߚସܦ݅ݏݐâ݊ܿ݅ܽܥܤܦ
+ ߚହܦ݅ݏݐâ݊ܿ݅ܽܪݏ݅ݐ݈ܽ+ ߚܶܽݔܽܧ݉ݎ݁݃+ ߚܴ݁݊݀݅݉݁݊ݐ
+ ߚ଼ܦ݅ݏݐâ݊ܿ݅ܽܯ݁ݐݎ + ߝ
(1.5)
Neste caso, ߚ଼ representa a taxa de variação relativa, ou seja, ߚ଼ x 100 dá a variação percentual no preço da habitação em consequência da variação em uma unidade da distância à estação de metro mais próxima.
33 Por fim, no caso da forma funcional dupla logarítmica:
ܮ݊ (ܲ) = ߚ+ ߚଵܮ݊Áݎ݁ܽ+ ߚଶܮ݈݊ܶ݅݃݅ܽ+ ߚଷܮ݊ܫ݀ܽ݀݁+ ߚସܮ݊ܦ݅ݏݐâ݊ܿ݅ܽܥܤܦ
+ ߚହܮ݊ܦ݅ݏݐâ݊ܿ݅ܽܪݏ݅ݐ݈ܽ+ ߚܮ݊ܶܽݔܽܧ݉ݎ݁݃
+ ߚܮܴ݊݁݊݀݅݉݁݊ݐ + ߚ଼ܮ݊ܦ݅ݏݐâ݊ܿ݅ܽܯ݁ݐݎ + ߝ
(1.6)
o coeficiente ߚ଼ mede a elasticidade do preço da habitação em relação à distância da habitação à estação de metro mais próxima, ou seja, dá a variação percentual do preço em resultado de uma dada variação percentual da distância.
A transformação Box-Cox
Como referem Halvorsen e Pollakowski (1981), “A equação de preços hedónicos é uma equação de forma reduzida reflectindo a influência da oferta e da procura. (…) A falta de uma sólida base teórica para a escolha das formas funcionais é de lamentar, pois os resultados obtidos utilizando a abordagem hedónica muitas vezes dependem criticamente da forma funcional utilizada.”. Então, a questão da escolha da forma funcional para o modelo de preços hedónicos é uma questão empírica e, não raras as vezes, estimam-se formas funcionais diferentes para o mesmo conjunto de dados, de modo a tentar perceber qual aquela que parece representar melhor o comportamento em estudo. Ainda assim, da estimação de formas funcionais diferenciadas, surge um problema de comparabilidade, na medida em que, quando temos diferentes especificações de uma relação funcional, as variâncias apenas são comparáveis se a variável dependente e o número de parâmetros estimados forem os mesmos.
Há, no entanto, um trabalho datado de 1964 – “An analysis of transformation” (Box e Cox, 1964) que parece cedo ter dado a resposta a esse problema. Tal foi a repercussão desse trabalho que a metodologia nele descrita passou a ser conhecida como transformação Box-Cox, levando o nome dos seus autores. A transformação Box-Cox
34 consiste na transformação da variável dependente5 (quando esta não é negativa) da seguinte forma:
ݕ(ఒ) = ൝(௬ഊఒିଵ), ߣ ≠ 0
݈݊ ݕ , ߣ = 0 (1.7)
Para diferentes valores de ߣ temos:
Tabela 3 – Resultados possíveis da transformação Box-Cox
Para efectuar a transformação de Box-Cox, é necessário estimar o valor do parâmetro desconhecido λ. Para tal, define-se um valor inicial para ߣ que se vai alterando até se encontrar um valor tal que maximize a função Box-Cox6 (ou seja, um ߣ tal que
minimize a soma dos quadrados dos resíduos). Quando ߣ = 1, temos uma
transformação que deixa a variável dependente praticamente inalterada (há apenas a deslocação de toda a distribuição para esquerda em uma unidade mas mantendo a
mesma variância), por sua vez, quando ߣ = 0, temos uma transformação logarítmica da
variável dependente.
Por fim, refira-se que esta transformação pode ser particularmente útil quando uma variável de dependente não cumpre com os pressupostos de normalidade e/ou homocedasticidade.
5 É possível aplicar-se a transformação Box-Cox a variáveis independentes, no entanto, há que evitar a aplicação a variáveis dummy, muito usadas no caso de funções hedónicas de preços relativas ao mercado da habitação.
6
Actualmente existem suplementos para instalação no Microsoft Office Excel que permitem efectuar todos os processos de transformação Box-Cox de forma automatizada. Primeiramente o programa analisa a base de dados original, encontrando o λ adequado. Depois, aplica a fórmula de transformação com o λ encontrado e apresenta os dados transformados.
Valores de λ Resultado da transformação 1 y -1 0 ln y -1 1/y + 1 0,5 ( √y - 1) / 0,5 -0,5 ( (1/√ y) - 1)) / -0,5
35
Problemas de estimação
Considerando o modelo de regressão linear:
ܻ = ߚଵ+ ߚଶܺଶ+ … + ߚܺ + ߝ, i= 1, 2, …, n
(1.8)
Sob as hipóteses clássicas do modelo básico de regressão linear, os estimadores de mínimos quadrados (OLS - Ordinary Least Squares) dos coeficientes de regressão são lineares em Y, cêntricos e consistentes; são ainda, na classe dos estimadores lineares e cêntricos, estimadores de variância mínima – estimadores BLUE (Best Linear Unbiased Estimators).
Acontece que, na estimação de funções hedónicas de preços pode ocorrer a violação de algumas das hipóteses clássicas, nomeadamente das hipóteses de homocedasticidade, ausência de autocorrelação espacial e ausência de correlação entre as variáveis explicativas. De seguida, explicita-se em que consiste cada uma dessas situações, os impactos que podem provocar na qualidade da estimação e as soluções possíveis.
Heterocedasticidade
Uma das hipóteses clássicas do modelo básico de regressão linear estabelece que a variância das perturbações aleatórias é constante, isto é, que a variância de cada termo de perturbação ߝ é um número constante igual a ߪଶ: var(ߝ) = ߪଶ, ∀.
Quando não se cumpre tal requisito a centricidade dos estimadores não é afectada, no entanto, deixam de ser estimadores de variância mínima entre os estimadores lineares e cêntricos. A solução para o problema da heterocedasticidade passa, por exemplo, por utilizar o método de estimação dos mínimos quadrados generalizados (GLS - Generalized Least Squares) ou pela correcção dos erros-padrão. Os testes para aferição da existência de heterocedasticidade consistem na análise dos resíduos de estimação de mínimos quadrados do modelo original. Existem inúmeros testes passíveis de serem
36 utilizados: teste de Park, Glejser, Goldfeld-Quandt, Breusch-Pagan e o teste de White, este último é o mais conhecido.
A existência de heterocedasticidade em modelos hedónicos relativos ao mercado habitacional pode ter a ver, por exemplo, com a vetustez das habitações. As habitações, com o passar dos anos, necessitam de intervenções de manutenção ou recuperação que pouco provavelmente vêem reflectidas no modelo (já que a informação relativamente a essas ocorrências é escassa), por esse motivo, a dispersão nos alojamentos mais velhos é tendencialmente maior do que nos novos (Goodman e Thibodeau, 1998).
Multicolinearidade
A multicolinearidade acontece quando existe uma relação forte ou perfeita entre as variáveis explicativas. A multicoliearidade é facilmente detectável quando, num modelo, o coeficiente de determinação é bastante elevado mas, simultaneamente, os coeficientes não são estatisticamente significativos. De salientar que os estimadores mantêm todas as suas propriedades desejáveis, permanecendo portando BLUE. Os aspectos mais negativos da multicolinearidade prendem-se com a impossibilidade de separar os efeitos individuais das variáveis explicativas e com a instabilidade dos estimadores.
Para ultrapassar os problemas de multicolinearidade pode-se recorrer a soluções diversas tais como: excluir as variáveis explicativas causadoras da multicolinearidade (solução arriscada e limitada), aumentar o número de observações, ou ainda, utilizar outro tipo de regressões, como por exemplo, a regressão de componentes principais.
No âmbito das funções hedónicas de preços para a habitação, a multicolinearidade é uma situação muito provável, nomeadamente devido ao efeito vizinhança ou em consequência da homogeneização das preferências.
37
Autocorrelação espacial
A hipótese clássica de ausência de autocorrelação implica: ܿݒ൫ߝ, ߝ൯ = 0. Na presença de autocorrelação as covariâncias dos termos de perturbação são diferentes de zero. As consequências da autocorrelação na estimação implicam perda de eficiência dos estimadores de mínimos quadrados, estes não serão de variância mínima e também não serão BLUE.
Em termos de testes, é possível atestar a existência de autocorrelação usando o teste de Durbin-Watson ou teste LM (multiplicador de Lagrange). A forma de ultrapassar problemas de autocorrelação passa, por exemplo, por usar os métodos de estimação de Durbin, Cochrane-Orcutt, Hildreth-Lu ou o Método da Máxima Verosimilhança.
A autocorrelação espacial no estudo do preço das habitações pode ocorrer por dois motivos (Basu e Thibodeau, 1998): um núcleo residencial (que pode ser por exemplo um bairro) geralmente é criado com pouco desfasamento temporal, gerando semelhanças entre as habitações desse núcleo, nomeadamente no que respeita às características estruturais do alojamento, por outro lado, as habitações de um determinado núcleo partilham um conjunto de amenidades locais, como sejam, os mesmos serviços, zonas verdes, escolas, acessibilidades, etc. Assim, é facilmente perceptível, que em modelos de preços hedónicos em que o preço da habitação é explicado com base em características da habitação e da localização, os termos de perturbação das variáveis explicativas sejam espacialmente correlacionados.
Após todo o enquadramento teórico constante dos subcapítulos anteriores, passar-se-á, de seguida, à aplicação prática do modelo de preços hedónicos para a avaliação do impacto do Metro do Porto no mercado imobiliário nos municípios do Porto e Matosinhos.
38
PARTE 2
39