A Estimativa para o Modelo VAR Composto em Variáveis Observáveis e Não-

Para estimar o modelo VAR é necessário transformar o sistema de retornos e variáveis observáveis em um sistema de variáveis observáveis e não observáveis. Os retornos por si só são funções analíticas do estado das variáveis , o que permite a definição dos fatores não observáveis, dada a prefixação dos fatores macroeconômicos, utilizando-se a função de máxima verossimilhança. São assumidos que certos retornos na curva são estimados sem erros e outros com erro. Ang e Piazzezi (2002) definem os vértices de 3 e 36 meses para representarem as medidas com erros.

(54)

No modelo proposto faz-se a inversão da equação anterior para se obter e , variando os coeficientes da função de máxima verossimilhança.

O vetor será formado por uma matriz de tamanho K2 x (K – K2), ou seja, uma matriz 3x

(5-3) = 3x2 na proposição apresentada. Da mesma forma, possuirá tamanho K2 x K2 = 3 x

3. [ ( ) ( ] ( ) ( ( ) ( ( ) ( ( (55)

Os riscos cambiais sem erro serão os geradores das latentes, sendo uma para cada vértice sem erro. Os estimados incluirão o termo de erro, mas a geração dos coeficientes é realizada de forma simultânea. A abertura por vértice é apresentada a seguir.

[ ] [ ] [ ] [ ] (56)

As variáveis latentes (l, 12 e 60) são definidas pela inversão da equação, após fixação dos coeficientes macroeconômicos. O mesmo ocorrerá para os termos de erro.

( ( (57)

Sendo Y3 e Y36 os riscos cambiais estimados com erros. Os riscos cambiais (retornos) de Y1, Y12 e Y60 são trabalhados dentro do modelo, mas com proposição sem erro com base nos

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dados de mercado. Essa premissa foi assumida em função desses vértices possuírem maior liquidez no mercado. Em síntese, geram-se os coeficientes dos fatores macroeconômicos. Dos retornos sem erro são extraídas as variáveis latentes pela diferença e inversão das equações sem erro, e dos retornos com erro os termos ,dados os valores obtidos na curva de juros. Simultaneamente são gerados todos os demais coeficientes pela função de verossimilhança, resultando nos coeficientes A e B, dados pelos preços Kernel nas condições impostas pela estrutura a termo com ausência de arbitragem. A função então se forma pela equação:

A função de verossimilhança, como demonstrado por Ang e Piazzesi (2003), será:

( ∏ ( | (58) ( ( ) ∑ | ( ( | ( ( | ( | ( ( ( ∑ ( ( ( _{∑ ∑ ∑} ( )

Onde σ² é a variância da iésima medida de erro com matriz jacobiana e erros dados por: [( (

( (

] (59)

Assim o termo de erro também pode ser invertido e encontrado.

_{{ ( }} [ ] [ ] [ ] (60)

São relacionadas as estruturas dadas pelo Preço Kernel, dispostas nos coeficientes A e B, o que garante a não arbitragem. Diante da maximização da função associada são geradas as variáveis latentes pelo valor excedente aos prêmios cambiais dos vértices sem erro, selecionados como os de 1, 12 e 60 meses.

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No próximo passo são estimados 1 com valores insignificantes em um intervalo de confiança de 95%. O processo é realizado de forma iterativa e não condicionada para o retorno de longo prazo.

Em resumo, modela-se o VAR de fatores macroeconômicos, associado às variáveis latentes pelo método de máxima verossimilhança, ou seja, a modelagem é realizada em 03 (três) etapas principais: definição e prefixação de coeficientes macroeconômicos pelo método dos mínimos quadrados ordinários, geração das variáveis latentes e, por último, geração de coeficientes do Modelo VAR para variáveis observáveis e não observáveis. Todo o processo por máxima verossimilhança é restrito na equação aos coeficientes relacionados aos Preços Kernel e que condicionam ao princípio da não arbitragem, gerando maior estabilidade aos modelos.

O modelo, convencionalmente utilizado na estrutura a termo da taxa de juros, será replicado por analogia à estrutura a termo do risco cambial, como se cada prêmio cambial por vértice fosse um excesso de retorno da taxa de juros, como mencionado em tópicos anteriores.

3.2.8. Outra Proposição de Variáveis Latentes em Modelos de 3-Fatores

Outra proposição de modelo VAR não restrito é apresentada neste capítulo com a inclusão de variáveis latentes defasadas, seguindo outras técnicas apresentadas por outros autores. Litterman a Scheinkman (1991), por exemplo, propuseram um modelo de 3 Fatores por um estudo empírico para determinação dos fatores comuns que afetaram os retornos de títulos do tesouro americano no passado, atribuindo sua justificativa ao nível, inclinação e curvatura desses títulos. Assumiram por conveniência que cada fator tinha média zero e variância unitária e que a covariância entre quaisquer dois fatores seria zero. Decompuseram a variância dos retornos de diversos títulos em uma soma de m+1 termos. Um termo, sendo a variância de um fator específico de um título e cada um dos demais termos como o quadrado de um título de empréstimo atribuído como um fator comum. Usaram essa decomposição para determinar a proporção da variância do retorno de um título particular explicado por cada fator. Concluíram que há três principais influências na variação de retornos de títulos que não pagam cupons: nível, inclinação e curvatura explicaram a maioria dos retornos dos títulos examinados pela decomposição de variância dos retornos dos títulos, embora a análise do impacto teórico e originado dessas influências seja mais complexa e não tenha sido estudada.

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Assim como Litterman a Scheinkman (1991), Chen e Scott (1993) também trabalham estruturas que se assemelhem ao nível, inclinação e curvatura. Chen (1994), por exemplo, apresenta um modelo para a taxa de curto prazo, a média e volatilidade dessa taxa, por três processos de Wiener correlacionados, dados por drifts e funções de difusão dz, dw e dy. Balduzzi (1996) também trabalhou um modelo de 3-Fatores, extraindo séries temporais para a média e volatilidade de títulos, propondo, no entanto, inovações GARCH para a volatilidade. Encontram fortes relações dos seus fatores comuns com os propostos por Litterman a Scheinkman (1991).

No modelo proposto alternativamente nesse capítulo trabalha-se, para a definição desses 3- Fatores com a decomposição da variância dos resíduos defasados de um modelo macroeconômico proposto com componentes principais da inflação e produtividade e o risco país por mínimos quadrados ordinários (MQO) de cada vértice estudado da curva do risco cambial. Estruturam-se componentes principais com os vértices desses resíduos, decompondo-se sua variância no primeiro, segundo e terceiro termos, identificados como fatores comuns, que representarão as variáveis latentes. Esses fatores contemporâneos possuem forte aproximação aos conceitos de nível, inclinação e curvatura que podem ser relacionados respectivamente por:

₍₆₁₎

A utilização opcional dos termos defasados se deve ao caráter de uso de séries temporais de forma a gerar base de previsibilidade. A seguir são apresentadas as aplicações das duas estruturas de modelo: VAR Gaussiano restrito e VAR não restrito, este último no intuito de comparar um modelo mais robusto e restrito à arbitragem com uma modelagem mais simplificada e irrestrita com vistas a balizar projeções fora da amostra estudada.