Estimativas ´ Otimas da ´ Area de Atra¸c˜ao

A caracteriza¸cão da fronteira da área de atra¸cão apresentada nas se¸cões anteriores sugere o seguinte algoritmo conceitual para o cálculo da fronteira da área de atra¸cão. Algoritmo:

1. Calcule todos os elementos cr´ıticos de (4.1).

2. Dentre os elementos cr´ıticos, encontre aqueles cujas variedades instáveis tem interse¸cão não vazia com a área de atra¸cão.

3. A fronteira da área de atra¸cão é formada pela união das variedades estáveis dos pontos de equil´ıbrio selecionados no passo 2.

Do ponto de vista numérico, este algoritmo apresenta diversos problemas. No passo 1, não sabemos de antemão quantos elementos cr´ıticos existem e qual seria sua localiza¸cão aproximada, além disto, sistemas não lineare podem ter infinitos elementos cr´ıticos. No caso de pontos de equil´ıbrio temos que encontrar os zeros da equa¸cão f (x) = 0. Em geral, métodos como o Newton-Raphson são utilizados para resolver esta equa¸cão. Estes métodos exigem estimativas iniciais da localiza¸cão dos zeros. Encontrar órbitas fechadas não é uma tarefa simples. Existem na literatura algum métodos promissores para encontrar órbitas fechadas em sistemas dinâmicos não-lineares. Ver, por exemplo, o ”shooting method” em [32] e [2].

O item 2, embora dispendioso do ponto de vista computacional, pode ser reali- zado com certa facilidade. Entretanto o item 3 é muito complicado pois envolve o cálculo de variedades de dimensão elevada o que é em geral impraticável do ponto de vista computacional.

Para evitar a realiza¸cão do passo 3, utilizamos a fun¸cão energia para estimar a área de atra¸cão, ou seja, procura-se por um conjunto de n´ıvel da fun¸cão energia que esteja contido na área de atra¸cão. A seguir apresenta-se o embasamento teórico para obter estimativas ótimas da área de atra¸cão via fun¸cões energia.

Embora já tenhamos explorado este resultado nas se¸cões anteriores, vamos mostrar formalmente que a fun¸cão energia é limitada inferiorrmente na fronteira da área de atra¸cão.

Teorema 4.3.1 Seja V uma fun¸cão energia associada ao sistema dinâmico não linear (4.1) e seja xs _{um ponto de equil´ıbrio atrativo de (4.1). Então V é uma}

33 Demonstra¸cão: Seja p um ponto arbitrário em ∂A(xs_{). Então, existe uma seq¨}_uência

de pontos {xi}, com xi ∈ A(xs) e xi → p quando i → ∞. A continuidade de V

garante que V (xi) → V (p) quando i → ∞. Além disto, a condi¸cão 1 da defini¸cão

4.1.1 garante que V (xi) ≥ V (p) para todo i ∈ N. Portanto, V (p) ≥ V (xs), ou seja,

V (p) ´e limitada inferiormente por V (xs_{). A arbitrariedade da escolha de p completa}

a demonstra¸cão deste teorema. Corolário 4.3.2 A fun¸cão energia possui m´ınimo global na fronteira da área de atra¸cão.

Uma conseqüência importante do teorema 4.3.1 é que trajetórias na fronteira da área de atra¸cão são limitadas para t ≥ 0 mesmo que a área de atra¸cão seja um conjunto não limitado.

Teorema 4.3.3 Seja V uma fun¸cão energia associada ao sistema não linear (4.1) e seja xs _{um ponto de equil´ıbrio atrativo de (2.1). Se p ∈ ∂A(x}s_{), então ϕ(t, p) é}

limitada para t ≥ 0.

Demonstra¸cão: Seja p ∈ ∂A(xs_{). A condi¸cão 1 da defini¸cão 4.1.1 garante que}

V (ϕ(t, p)) ≤ V (p) para todo t ≥ 0. A invariˆancia de ∂A(xs_{) e o Teorema 4.3.1}

garntem que V (ϕ(t, p)) ≥ V (xs_{) para todo t ≥ 0. Portanto, V (ϕ(t, p)) ´e limitada}

para t ≥ 0 e a condi¸cão 3 da defini¸cão 4.1.1 garante que ϕ(t, p) é limitada para t ≥ 0.

O seguinte teorema é muito importante para a obten¸cão de estimativas da área de atra¸cão.

Teorema 4.3.4 Seja V uma fun¸cão energia associada ao sistema (4.1). M´ınimos locais de energia na fronteira da área de atra¸cão ocorrem em pontos de equil´ıbrio. Demonstra¸cão: Suponha que p seja um ponto de m´ınimo local em ∂A(xs_{) e que}

p /∈ E. A invariância de ∂A garnte que ϕ(t, p) ∈ ∂A para t ∈ R. Como p /∈ E, então ϕ(t, p) /∈ E para todo t ∈ R. Além disto, as condi¸cões 1 e 2 da defini¸cão 4.1.1 garantem que dado tε > 0 arbitrariamente pequeno existe um tempo t∗ ∈ (0, tε)

tal que V (ϕ(t∗_{, p)) < V (p). Isto significa que arbitrariamente pr´oximo de p existem}

pontos em ∂A com energia V menod do que V (p), logo chegamos a uma contradi¸cão provando o resultado. Agora estamos em posi¸cão para apresentar o seguinte teorema referente a obten¸cão de estimativas da área de atra¸cão via conjuntos de n´ıvel de fun¸cões energia.

Teorema 4.3.5 Seja V uma fun¸cão energia associada ao sistema dinâmico não linear (4.1) e seja xs _{um ponto de equil´ıbrio assintoticamente estável de (4.1). Sejam}

xi, i = 1, 2, . . . os pontos de equil´ıbrio na fronteira da ´area de atra¸c˜ao de xs. Defina

L := miniV (xi) e seja Sc(L) a componente conexa do conjunto de n´ıvel {x ∈ Rn :

V (x) < L} contendo o equil´ıbrio xs_{. Ent˜ao S}

c(L) ´e uma estimativa da ´area de

Demonstra¸cão: Suponha que Sc(L) não esteja contido em A(xs). Então existe

p ∈ Sc(L) tal que p /∈ A(xs). Da conexidade de Sc(L), existe um caminho γ em

Sc(L) que conecta os pontos xs e p. Como xs ∈ A e p /∈ A, deve existir pelo menos

um ponto q em γ tal que q ∈ ∂A. Mas isto implica que V (q) ≥ L o que nos leva a uma contradi¸c˜ao. Logo Sc(L) ⊂ A.

A estimativa Sc(L) é a melhor estimativa da área de atra¸cão que podemos obter

via curvas de n´ıvel da fun¸cão energia V . Este resultado portanto sugere o seguinte algoritmo conceitual para estimar a área de atra¸cão de um ponto de equil´ıbrio assintoticamente estável.

Algoritmo:

1. Calcule todos os elementos cr´ıticos de (4.1).

2. Dentre os elementos cr´ıticos, encontre aqueles cujas variedades instáveis tem interse¸cão não vazia com a área de atra¸cão. Sejam eles xi, i = 1, 2, . . ..

3. Calcule L = miniV (xi).

4. A componente conexa Sc(L) do conjunto de n´ıvel {x ∈ Rn : V (x) < L} ´e uma

Cap´ıtulo 5

Fun¸c˜ao Energia Generalizada,

Conjuntos Limites e Estimativas

da ´Area de Atra¸c˜ao

Na se¸cão anterior, mostrou-se que a existência de uma fun¸cão energia garante que o conjunto limite de qualquer solu¸cão de 4.1 é composto apenas por pontos de equil´ıbrio. Do ponto de vista prático, encontram-se as seguintes dificuldades:

• Muitos sistemas f´ısicos não possuem uma fun¸cão energia; em geral devido a presen¸ca de comportamentos mais complexos como ciclos limites e órbitas caóticas;

• Existem sistemas que teoricamente admitem a existência de uma fun¸cão energia mas não se consegue expressá-la por uma expressão anal´ıtica em termos de fun¸cões elementares.

A fun¸cão energia estendida foi definida para acomodar a presen¸ca de ciclos limites. Entretanto, do ponto de vista prático o teorema 4.1.5 e a defini¸cão 4.2.1 apresentam os seguintes problemas:

1. Dificilmente encontra-se fun¸cão V satisfazendo as condi¸cões 1)-3) da defini¸cão 4.2.1.

2. Não existem métodos eficazes para procurar e calcular ciclos limites principal- mente em espa¸coes de dimensão elevada.

Embora a defini¸cão de fun¸cão energia generalizada apresentada no cap´ıtulo anterior seja adequada e poderosa para tratar problemas em que possam existir ciclos limites e órbitas periódicas na fronteira da área de atra¸cão, ela não é prática na medida em que dificilmente encontram-se fun¸cões satisfazendo todas as condi¸cões de uma fun¸cão energia generalizada. Nesta se¸cão, as exigências sobre a fun¸cão V são relaxadas. Com isto, ganha-se a possibilidade de tratar problemas que possuam

qualquer tipo de conjunto limite na fronteira da área de atra¸cão. Obviamente, o pre¸co a pagar por esta generaliza¸cão é que as conclusões não são tão fortes e os procedimentos computacionais são mais complexos.

5.1 Fun¸c˜ao Energia Generalizada e Conjuntos Li-

mites

Considere novamente o sistema dinâmico não-linear autônomo:

˙x = f (x) (5.1)

onde x ∈ Rn _{é o vetor de estados e o campo vetorial f : R}n _{→ R}n _{é uma fun¸cão de}

classe C1_.

Seja V : Rn _{→ R uma fun¸c˜ao de classe C}1 _{e defina os conjuntos}

C := nx ∈ Rn_{: ˙}_{V (x) > 0}o _{e M :=} n_{x ∈ R}n_{: ˙}_{V (x) = 0}o_{. Usualmente, o conjunto}

C é composto por uma cole¸cão enumerável de componentes conexas. Denotaremos por Ci a i-ésima componente conexa de C. Admitiremos que os conjuntos Ci′_s são

isolados, isto é, existe uma cole¸cão enumerável de conjuntos abertos e disjuntos Di′s

satisfazendo ¯Ci ⊂ Di para todo i.

Observa¸cão 5.1.1 Alternativamente, pode-se supor que C é um conjunto que contém o conjunto onde a derivada de V é positiva, isto é, {x ∈ Rn _{: ˙}_{V (x) > 0} ⊂ C, e}

que as componentes conexas Ci′_s de C s˜ao isoladas no sentido previamente des-

crito. Todos os resultados apresentados podem ser facilmente demonstrados com esta defini¸cão alternativa de C. Embora as estimativas dos conjuntos atrativos e das respectivas áreas de atra¸cão tendam a ser mais conservadoras neste caso, esta defini¸cão alternativa abrange uma classe maior de problemas. Além disto, em muitas situa¸cões práticas, não se conhece precisamente o conjunto {x ∈ Rn _{: ˙}_{V (x) > 0},}

mas apenas uma estimativa deste, isto é, um conjunto que o contém é conhecido. Defini¸cão 5.1.2 Uma fun¸cão V : Rn _{→ R de classe C}1 _{é uma fun¸cão energia}

generalizada do sistema (5.1) se

(C1) O n´umero de componentes conexas Ci de C ´e finito.

(C2) O conjunto Ci ´e limitado para todo i.

(C3) supt≥0|V (φ(t, xo))| < ∞ implica que φ(t, xo) ´e limitado para t ≥ 0.

Este novo conceito de energia permite que a derivada da mesma ao longo das trajet´orias seja positiva nos conjuntos limitados Ci′_s. Apesar desta flexibilidade com

rela¸cão à derivada, o próximo teorema mostra que algumas conclusões a respeito dos conjuntos limites aindam podem ser obtidas.

37 Teorema 5.1.3 Seja V uma fun¸cão energia genralizada do sistema (5.1). Suponha que a trajetória ϕ(t, xo) do sistema dinâmico (5.1) seja limitada para t ≥ 0, então

(i) existe um n´ıvel L ∈ R tal que ω(xo) ⊂ (M ∩ {x ∈ Rn: x ∈ V−1(L)}) ou

(ii) existe pelo menos uma componente conexa Cj de C tal que ω(xo) ∩ ¯Cj 6= ∅.

Demonstra¸cão: Por hipótese, a trajetória ϕ(t, xo) é limitada, logo o conjunto

omega-limite ω(xo) ´e n˜ao vazio, fechado, invariante e conexo. Suponha que ϕ(t, xo) /∈

C para todo t ≥ 0. Então, V (t) = V (ϕ(t, xo)) é uma fun¸cão não crescente em

t limitada inferiormente. Portanto, existe um número real L tal que V (t) → L quando t → ∞. Se p ∈ ω(xo), existe uma seqüência de tempos {tn} ↑ ∞ tal que

ϕ(tn, xo) → p quando n → ∞. Portanto V (ϕ(tn, xo)) → L quando n → ∞ e, devido

a continuidade de V , V (p) = L. Como isto ´e verdade para qualquer ponto em ω(xo), ω(xo) ⊂ {x ∈ Rn : x ∈ V−1(L)}. Usando a invariˆancia de ω(xo) conclui-se

que ˙V (p) = 0 para qualquer p ∈ ω(xo) e portanto ω(xo) ⊂ M. Neste caso (i) ´e

verdadeiro.

Suponha agora que a trajet´oria ϕt(xo) := {φ(t, xo) ∈ Rn: t ≥ 0} tenha interse¸c˜ao

n˜ao vazia com o conjunto C. Ent˜ao existe uma componente conexa Cj1 tal que ou

xo ∈ Cj1 ou existe um par de tempos t1 e t ∗

1 tais que ϕ(t, xo) /∈ C para 0 ≤ t ≤ t1 e

ϕ(t, xo) ∈ C para t1 < t < t∗1. Se ϕ(t, xo) permanece dentro de ¯Cj1 para todo tempo

t ≥ t1, isto é, t∗1 = +∞, então V (t) é uma fun¸cão não decrescente de t limitada supe-

riormente para t ≥ t1. Usando argumentos similares aqueles utilizados na primeira

parte da demonstra¸c˜ao, conclu´ımos que ω(xo) ⊂ (M ∩ {x ∈ Rn : x ∈ V−1(L)}) e (i)

´e verdadeiro. Se t∗

1 < ∞, ent˜ao temos novamente duas possibilidades. Ou ϕ(t, xo) /∈ C para

t ≥ t∗₁ ou existe uma componente conexa Cj2 e um par de tempos t2 e t ∗

2 tais que

ϕ(t, xo) /∈ C para t∗₁ ≤ t ≤ t2 e ϕ(t, xo) ∈ Cj2 para t2 < t < t ∗

2. A partir deste

ponto, a análise é repetida. Se o número de vezes que a análise é repetida for finito, então (i) é verdadeiro. Caso contrário, existe uma seqüência de tempos {tn} ↑ ∞

e uma seq¨uˆencia de componentes conexas {Cjn} tais que ϕ(tn, xo) ∈ Cjn. Como o

n´umero de componentes conexas Cide C ´e finito, existe pelo menos uma componente

Cjk que ´e visitada pela trajet´oria infinitas vezes. Em outras palavras, existe uma

subseqüência de tempos {tni} de {tn} tal que xi := ϕ(tni, xo) ∈ Cjk. Como ¯Cjk é um

conjunto compacto, existe uma subseq¨uˆencia convergente {xiv} de {xi} convergindo

para algum ponto ˜x ∈ Cjk. Por defini¸c˜ao, ˜x ´e um ponto ω-limite de xo e portanto

ω(xo) ∩ ¯Cjk 6= ∅. Neste caso, (ii) ´e verdadeiro.

O Teorema 5.1.3 estabelece a rela¸cão entre os conjuntos limites de trajetórias limitadas do sistema dinâmico não linear (5.1) e as fun¸cões energia generalizadas. Ele assegura que se as solu¸cões limitadas não se aproximam do conjunto onde a derivada de V ao longo das trajetórias é igual a zero, então o conjunto ω-limite necessariamente intercepta pelo menos uma das componentes conexas Cide C. Figura

5.1 ilustra este fato. ´E importante ressaltar que o conjunto ω-limite pode interceptar mais do que uma componente conexa Cj de C como mostra a Figura 5.2.

()t 1 φ ()t 2 φ i C j C k C ()t 3 φ 0 = V

Figura 5.1: Ilustra¸cão geométrica do Teorema 5.1.3. Três possibilidades podem ocor- rer: (i) a solu¸cão limitada φ1(t) converge para o conjunto M :=

x ∈ Rn_{: ˙}_{V (x) = 0}o

quando t → ∞, (ii) a solu¸cão limitada φ2(t) tem interseçcão não vazia com Cj, (iii)

φ3(t) ´e ilimitada.

limit set i

C C_j

Figura 5.2: Ilustra¸c˜ao do Teorema 5.1.3. O conjunto ω-limite pode interceptar mais do que uma componente conexa Cj de C. Nesta figura um ciclo limite tem

interseçcão não vazia com duas componentes conexas Ci e Cj de C.

A principal diferen¸ca entre a fun¸cão energia estendida e a generalizada é que a fun¸cão energia estendida requer que todos os conjuntos limites estejam contidos no conjunto onde a derivada de V ao longo das trajetáorias é igual a zero enquanto que a fun¸cão energia generalizada relaxa esta condi¸cão. Contudo, a próxima observa¸cão mostra que pontos de equil´ıbrio, em particular, necessariamente pertencem ao conjunto M onde a derivada de V ao longo das trajetórias é igual a zero tanto para a fun¸cão energia generalizada quanto para a estendida.

39 Observa¸c˜ao 5.1.4 Como ˙V (x) =< gradV, f (x) >, todos os pontos de equil´ıbrio pertencem ao conjunto M =nx ∈ Rn_{: ˙}_{V (x) = 0}o_.

A energia generalizada não exclui a possibilidade de conjuntos limites gerais pertencerem ao conjunto M, entretanto, dificilmente encontra-se uma fun¸cão energia satisfazendo esta condi¸cão em problemas práticos.

No documento Caracterização e estimativas da área de atração de sistemas dinâmicos não linear... (páginas 44-51)