Estratifica¸c˜ao Horizontal do Solo para N Camadas

Tradicionalmente os m´etodos de estratifica¸c˜ao para um n´umero de camadas superior a duas, foram desenvolvidos com base na express˜ao (2.8) da resistividade aparente para duas camadas (IEEE Std 142, 1991).

Dos diversos m´etodos conhecidos, pode-se citar o m´etodo de Pirson (PIRSON,1963), desenvolvido a partir da hip´otese que a cada ponto de inflex˜ao pf da curva formada

pela fun¸c˜ao ρa(a) surge uma nova camada de solo. Esta hip´otese pressup˜oe a decom-

posi¸c˜ao desta curva em trechos crescentes e decrescentes, e que cada trecho corres- ponde a duas camadas. Assim um ponto de inflex˜ao da referida curva acrescenta mais uma camada.

Outro m´etodo muito utilizado, conhecido como m´etodo de Yokogawa (NBR 7117,

1981), tamb´em se baseia na associa¸c˜ao de trechos crescentes e decrescentes, con- siderando cada trecho correspondente a duas camadas. Atrav´es da express˜ao (2.8) s˜ao confeccionadas curvas parametrizadas cujo conjunto ´e denominado Curva Padr˜ao. Na passagem de um trecho para o pr´oximo s˜ao confeccionadas novas curvas

parametrizadas que associam os dois trechos. O conjunto delas ´e denominado Curva Auxiliar. Atrav´es de um processo gr´afico, utilizando ambas as curvas, padr˜ao e auxi- liar, ´e poss´ıvel estratificar o solo nas diversas camadas que a fun¸c˜ao ρa(a) apresenta.

Existem softwares que utilizam este processo gr´afico para estratificar o solo. Como este processo se resume em ajustes de curvas, pode-se obter uma precis˜ao melhor computacionalmente em rela¸c˜ao ao manual.

Como estes dois m´etodos, existem outros que, como j´a mencionado, se baseiam na fun¸c˜ao ρa(a) para duas camadas. O problema desses m´etodos, e tamb´em daqueles re-

ferentes `a estratifica¸c˜ao em duas camadas, est´a relacionado com o fato de se admitir os trechos crescentes e decrescentes da curva formada pela fun¸c˜ao ρa(a) como cor-

respondente a duas camadas. Realmente, um solo de duas camadas ´e representado pela curva apenas crescente ou decrescente, mas o inverso n˜ao ´e sempre verdadeiro, ou seja, uma curva crescente ou decrescente n˜ao representa ”sempre” um solo de duas camadas. Isto ´e f´acil de entender, pois ao admitir, por exemplo, um solo formado por trˆes ou mais camadas, onde suas resistividades crescem partindo do sentido da primeira para a ´ultima, o valor da resistividade aparente ρa deve sempre crescer

com o aumento da distˆancia a, isto ´e, a fun¸c˜ao ρa(a) ´e sempre crescente. O inverso

tamb´em ´e verdadeiro, ou seja, as resistividades das camadas decrescendo, desde a primeira at´e a ´ultima, resultam em ρa(a) sempre decrescente.

Do problema aqui exposto e relacionado com o fato de se utilizar a express˜ao ρa(a)

para duas camadas ao estratificar um solo, pode-se concluir que comete-se um erro, onde a priori n˜ao se consegue avalia-lo, pois a curva ρa(a) a ser trabalhada ´e a

experimental e n˜ao existe seguran¸ca alguma em afirmar que seus trechos crescentes e decrescentes se relacionam com apenas duas camadas. Este erro foi mencionado na Introdu¸c˜ao, como sendo o erro a priori desconhecido. Desta forma, pode-se chegar a uma conclus˜ao final a respeito das incidˆencias de erros nos m´etodos de estratifica¸c˜ao, e analisar poss´ıveis solu¸c˜oes que minimizem tais erros.

Dois s˜ao os pontos de incidˆencia de erros na estratifica¸c˜ao do solo em camadas horizontais. O primeiro ´e o ”erro a priori desconhecido” analisado anteriormente. O segundo vem do fato do modelo de solo a ser adotado corresponder `a forma¸c˜ao de camadas horizontais, cada uma homogˆenea em termos de resistividade. Em re- la¸c˜ao ao primeiro erro, ´e importante observar que ao desenvolver quaisquer modelos matem´atico e computacional que estratifiquem o solo, os dados do problema s˜ao apenas os valores ρa e as distˆancias a, e que o resultado a ser obtido na solu¸c˜ao

do problema ´e um conjunto formado pelo n´umero de camada N , resistividade ρi e

espessura hi de cada camada i, sendo infinita a espessura da ´ultima camada i = N ,

ou seja:

ρa(a) → N, ρi, hi. (2.11)

Nestas condi¸c˜oes, para evitar a incidˆencia do erro a priori desconhecido, os modelos matem´atico e computacional a serem utilizados no m´etodo de estratifica¸c˜ao, n˜ao poder˜ao admitir que trechos crescentes e decrescentes correspondam a duas camadas, isto ´e, matematicamente n˜ao se pode tomar como base a express˜ao (2.8).

Em fun¸c˜ao desta imposi¸c˜ao, uma das solu¸c˜oes ´e estudar uma express˜ao equivalente `a (2.8), por´em v´alida para qualquer n´umero de camadas. A base deste trabalho ´e o desenvolvimento de uma modelagem matem´atica e modelos computacionais que satisfa¸cam esta condi¸c˜ao.

Em rela¸c˜ao ao segundo erro, a adequa¸c˜ao do solo medido com modelo expresso em camadas horizontais, cada uma delas homogˆenea, pode-se fazer a seguinte an´alise: ao se estabelecer uma modelagem matem´atica resolvida numericamente por um m´etodo computacional adequado, de tal forma a eliminar o primeiro erro, os erros que ainda incidirem no resultado final de certa estratifica¸c˜ao, s˜ao provenientes de duas origens: i) num´erica computacional; ii) o modelo matem´atico para representa¸c˜ao do solo em camadas horizontais n˜ao representa o solo medido.

Se o erro num´erico computacional for reduzido a valores desprez´ıveis, em rela¸c˜ao aos erros normalmente aceit´aveis na pr´atica, s´o restar´a o erro da adequa¸c˜ao do solo ao modelo de camadas horizontais. Ao processar um caso real, se os erros obtidos forem aceit´aveis, conclui-se que a estratifica¸c˜ao obtida corresponde, com boa aceita¸c˜ao, ao solo medido. Caso contr´ario, conclui-se que o modelo de camadas horizontais n˜ao se ad´equa ao solo medido.

CAP´ITULO 3

MODELAGEM MATEM ´ATICA

Neste Cap´ıtulo ´e apresentada a modelagem matem´atica que tem como objetivo obter uma express˜ao da resistividade aparente ρa em fun¸c˜ao do solo j´a estratificado, ou

seja, uma curva de resistividade aparente te´orica em fun¸c˜ao de a, do n´umero de camadas N , suas resistividades ρi e espessuras hi, isto ´e ρaT(a, N, ρi, hi). Tamb´em

faz parte deste Cap´ıtulo uma metodologia para mensurar o valor de ρ1 sem utilizar

de extrapola¸c˜ao da curva ρaE(a), e por fim, demonstra-se a configura¸c˜ao adotada

para o problema direto e inverso da estratifica¸c˜ao horizontal do solo.