Agora, vamos dividir a Superf´ıcie de Impasse I na uni˜ao disjunta de estratos, Ii, onde o
sub–´ındice i indica a codimens˜ao de Ii em I.
(a) I0: o conjunto aberto dos pontos n˜ao-singulares;
(b) I1: a cole¸c˜ao dos arcos suaves tais como, a linha de dobras ΓKF, linha de n´os
transversais ΓIN, a linha de selas transversais ΓIS e a linha de focos ΓIF;
(c) I2: a cole¸c˜ao dos pontos que est˜ao nos extremos das linhas de I1, chamados de
pontos cr´ıticos de Morse PM, pontos de c´uspide PC, selas imagem-n´ucleos PIKS,
IA,λ0
(A, F )λ0
p
Figura 3.10: O ponto p representa um ponto de Impasse sela–n´o transversal.
IA
Figura 3.11: A bifurca¸c˜ao de Sela-n´o tem uma particularidade: est´a sobre uma linha de equil´ıbrios do campo F (linha em vermelho).
pontos Andronov-Hopf PAH e selas-n´os transversais PESN (ou seja, ´e o conjunto dos
sete tipos de pontos vistos anteriormente).
O resultado a seguir ´e uma s´ıntese do que foi visto at´e aqui.
Teorema 3.2.1. O conjunto Σ das fam´ılias de Sistemas For¸cados (1.1) tais que I =
2
[
i=0
Ii,
´e um conjunto aberto e denso dentro do conjunto das fam´ılias de Sistemas For¸cados com a topologia C∞
de Whitney.
Id´eia da Demonstra¸c˜ao: Usa-se o Teorema 1.2.2 com os extremos das linhas de foco, n´o transversal, sela transversal e dobra, que s˜ao os sete pontos de bifurca¸c˜oes est´aveis, apresentados nesse cap´ıtulo.
O Teorema acima nos diz que o conjunto de Sistemas For¸cados, cuja Superf´ıcie de Impasse ´e Σ, ´e aberto e denso dentro do conjunto de todos os Sistemas For¸cados. Isso vale para x ∈ R2, mas o teorema vale para x ∈ Rn com uma adapta¸c˜ao: substituindo o
Estabilidade Estrutural de Sistemas
For¸cados
4.1
O Teorema de Peixoto
Seja M uma regi˜ao compacta e conexa de R2 com fronteira ∂M suave. Em outras palavras,
suponhamos que existe uma fun¸c˜ao real F : R2 → R, de classe C2, tal que
M = {(x, y) ∈ R2 : F (x, y) > 0} ∇F (p) = ∂F ∂x(p), ∂F ∂y(p) 6= (0, 0), ∀p tal que F (p) 6= 0. As condi¸c˜oes acima nos garantem que
∂M = {(x, y) ∈ R2 : F (x, y) = 0}
Int(M) = {(x, y) ∈ R2 : F (x, y) > 0}.
Denotamos Xr = Xr(M), r ≥ 1, o conjunto dos campos vetoriais X = (f, g) de classe
Cr em M. Consideraremos Xr munido da norma
||X||r = sup p∈M
{|X(p)| + |DX(p)| + ... + |DrX(p)|}.
Defini¸c˜ao 4.1.1. O campo vetorial X = (f, g) ∈ Xr´e Cr–estruturalmente est´avel em M
se existe δ > 0 tal que para qualquer Y ∈ Xr, com ||Y −X||
r < δ existe um homeomorfismo
h : M → M tal que h transforma cada arco de trajet´oria de Y contido em M, em um arco de trajet´oria de X, preservando o sentido dos mesmos.
Defini¸c˜ao 4.1.2. Seja X ∈ Xr.
(a) Dizemos que X ∈P(1) se todos os pontos singulares de X s˜ao hiperb´olicos e est˜ao contidos em Int(M);
(b) Dizemos que X ∈ P(2) se todas as ´orbitas peri´odicas s˜ao hiperb´olicas e est˜ao contidas em Int(M);
(c) Dizemos que X ∈P(3) se em todo ponto p ∈ ∂M, a ´orbita de X por p ´e transversal a ∂M ou tem contato parab´olico;
(d) Dizemos que X ∈ P(4) se n˜ao existem liga¸c˜oes de selas, n˜ao existem trajet´orias tangenciando ∂M e tendo como α ou ω limites um ponto de sela e n˜ao existe trajet´oria de X que tangencie ∂M em dois pontos distintos.
Teorema 4.1.3. (de Peixoto) (a) O conjunto Pr =Pr (M) definido por r X (M) = i=4 \ i=1 X (i) ´e aberto e denso em Xr(M), para r ≥ 1.
(b) X ∈ Xr(M) ´e Cr–estruturalmente est´avel ⇔ X ∈Pr (M).
A partir de Poincar´e, Liapunov e Birkhoff, a Teoria Qualitativa dos Sistemas Dinˆamicos tem ocupado a aten¸c˜ao de in´umeros matem´aticos. Em anos recentes que ela teve suas metas gerais estabelecidas, tomou forma e experimentou um desenvolvimento marcante. Mais de duas d´ecadas se passaram entre dois p´olos importantes: o trabalho de Andronov e Pontrjagin (1937), introduzindo o conceito b´asico de estabilidade estrutural, e os tra- balhos de Peixoto (1958-1962), provando a densidade de campos de vetores est´aveis em superf´ıcies. Foi ent˜ao que Smale enriqueceu substancialmente a teoria, definindo, como ob- jetivo central, a busca de propriedades gen´ericas e est´aveis, obtendo resultados e propondo problemas da maior relevˆancia. Nesta mesma ´epoca, Hartman e Grobman mostraram que a estabilidade local ´e uma propriedade gen´erica. Logo a seguir, Kupka e Smale atacaram, com sucesso, o problema para ´orbitas peri´odicas.
Geometricamente n˜ao ´e dif´ıcil aceitarmos quePr
(M) ´e um conjunto aberto. De fato, as condi¸c˜oes de hiperbolicidade e de contato com a fronteira garantem isso.
A densidade de Pr
(M) decorre do fato que, dado um campo vetorial X de classe C1 em R2, a medida do conjunto formado por vetores v ∈ R2 e dire¸c˜oes θ ∈ R tais que
Rθ(X + v) /∈
P1
(M) ´e nula.
Aqui Rθ(X + v) indica uma transla¸c˜ao de X seguida de uma rota¸c˜ao.
Em outras palavras, Peixoto provou que podemos perturbar um campo C1 com uma
transla¸c˜ao seguida de uma rota¸c˜ao, para obtermos um elemento de P1 (M).
Vamos agora apresentar uma vers˜ao do Teorema de Peixoto para variedades bidi- mensionais compactas e sem bordo. A grosso modo podemos pensar que uma variedade compacta de dimens˜ao 2 ´e uma superf´ıcie regular compacta imersa no R3, por exemplo
uma esfera, um elips´oide ou um toro.
Assim como nos espa¸cos euclideanos, podemos definir um campo de vetores em uma variedade M da seguinte maneira X : M → T M onde o vetor X(p) pertence ao espa¸co tangente `a variedade M no ponto p (TpM).
Tudo que sabemos a respeito de campos de vetores em abertos de Rn estende-se
naturalmente para campos de vetores em variedades.
Nosso objetivo ´e dar um enunciado um pouco mais simples do famoso Teorema de Peixoto. Veremos que se considerarmos M uma variedade compacta de dimens˜ao 2 no lugar de uma regi˜ao compacta com fronteira, como fizemos no in´ıcio desta se¸c˜ao, re- duziremos significativamente as hip´oteses. De fato, n˜ao precisaremos nos preocupar com a fronteira. Para ficar mais claro, pensemos em um campo de vetores em uma esfera. Defini¸c˜ao 4.1.4. Seja M uma variedade compacta de dimens˜ao 2 e X ∈ Xr(M). Dizemos
que X ´e um campo de Morse–Smale se:
(a) X tem um n´umero finito de elementos cr´ıticos (singularidades ou ´orbitas peri´odicas), todos hiperb´olicos;
(b) N˜ao h´a liga¸c˜oes de selas;
(c) Qualquer ´orbita tem como α–limite um ´unico elemento cr´ıtico e como ω–limite um ´
unico elemento cr´ıtico. Teorema 4.1.5. (de Peixoto)
Os campos de vetores estruturalmente est´aveis em uma variedade compacta de di- mens˜ao 2 s˜ao precisamente os campos de Morse–Smale. Al´em disso, se M for orient´avel ent˜ao estes campos formam um subconjunto aberto e denso de Xr(M).
A demonstra¸c˜ao deste importante Teorema encontra-se em [6]