Estudo de meios com permissividade negativa

Os meios com permissividade negativa atraíram a atenção dos cientistas faz alguns anos, quando foi indicada uma forma de cosntrui-los [72] e isso abriu a possibilidade de também construir outros meios como os “Left-Handed Media” [73] levando a uma intensa atividade na pesquisa nessa área [74, 75, 76]. Porém, a refletância dos meios com permissividade negativa sempre foi analisada no contexto da permissividade efetiva de uma configuração microscópica dada [72, 75]. Aqui fazemos uma análise completamente macroscópica das propriedades ópticas

Figura 4.4 Refletância (a), Log10α+ (b), e Log10α− (c) em função de ǫr e Log10σr. Na refletância

˜ d = 2π.

de meios com permissividade positiva e negativa sem entrar nos detalhes da configuração mi- croscópica.

Na Fig. 4.4.(a) é mostrada a refletância para valores positivos e negativos da permissividade relativa e para várias ordens de magnitude da condutividade relativa. Da observação desta figura podem se achar três regiões bem diferenciadas: (1) ǫr > 0 e σr < 1; (2) ǫr < 0 e

σr < 1; (3) σr > 1. A região (1) caracteriza-se por uma refletância baixa, oscilante e cuja

envolvente aumenta na medida que ǫr aumenta. Este é um comportamento bem conhecido

[70]: a refletância de um Fabry-Perot pouco absorvedor. Por outro lado, a região (2) possui uma dependência muito particular com ǫr e σr: a refletância é praticamente um para toda a

faixa de valores. Finalmente, a região (3) tem uma refletância uniforme como função de ǫrque

cresce monotonicamente na medida que σr cresce, tal que no limite σr ≫ 1, R ≈ 1 para todo

valor de ǫr.

Para aprofundar no entendimento do comportamento da refletância, analisamos a dependên- cia de α± com ǫr e σr. Note-se que, α± dão conta das propriedades refrativas e de absorção

efetiva em todas as regiões. Portanto, uma análise dessas quantidades é importante para um melhor entendimento do problema. De fato, essas quantidades determinam as características das três regiões antes mencionadas, devido a que seus valores mudam marcadamente nelas. As Fig. 4.4.(b) e 4.4.(c) apresentam α+ e α−, respectivamente, como função de ǫre σr. Também,

para ajudar na análise, a Tabela 4.1 apresenta os valores de α2

ǫr > 0; σr ≪ 1 ǫr < 0; σr≪ 1 σr ≫ 1 α2 + 4ǫr 0 2σr α2 − 0 4|ǫr| 2σr R _{1+F sin}F sin2(δ/2)2_(δ/2) F′ sinh2_(δ/2) 1+F′ sinh2 (δ/2) 1 − 2 √ 2/σr

Tabela 4.1 Valores limites para α2_±e R para as três regiões mencionadas no texto. Note-se que F′ =

(|ǫr|+1)2 4|ǫr| .

(1), α+ 6= 0 e α− = 0; na região (2) α+ = 0 e α− 6= 0; e na região (3) α+ ≈ α− 6= 0.

Então, a baixa reflexão oscilatória corresponde com a região onde α+ predomina, é dizer, o

meio comporta-se efetivamente como um dielétrico onde as oscilações são produzidas pela superposição das ondas pelo fato de existir a segunda fronteira e que resulta em um comporta- mento tipo Airy como mostra a Tabela 4.1. Por outro lado, é sabido que uma alta refletância é associada com altos valores de condutividade, é dizer para bons condutores. Porém, pode se ter uma alta refletância para baixos valores de σr quando a permissividade é negativa. Nesse

caso a resposta do meio é dominada por α−. A refletância é dada por uma função tipo Airy-

hiperbólica como mostra a Tabela 4.1. Dado que F′_{sinh(δ/2) ≫ 1 para a maioria dos valores}

de ǫrnesta região, então R ≈ 1 e o meio possui propriedades especulares. Para a região (3), α±

dependem principalmente de σr. A resposta do meio é completamente dominada por um único

parâmetro α2

− ≈ α2+ ≈ 2σr com uma refletância que assintoticamente alcança a unidade. Re-

sumindo, para a região (1) se tem uma refletância que é uma função periódica de ǫr, enquanto

para a região (2) a refletância funcionalmente está dada por uma função tipo Airy-hiperbólica que cresce monotonicamente na medida que ǫr decresce, alcançando rapidamente a unidade.

Note-se que, embora cada refletância tenha sido obtida calculando o limite apropriado da Eq. (4.2a), a refletância na região (2) poderia se obter daquela da região (1) trocando ǫr → −ǫr,

fato que permite dizer que o parâmetro α+ “se faz” imaginário quando a permissividade toma

valores negativos, fazendo com que o meio se comporte como um absorvedor.

se tem R = 0 devido a que o meio está “casado” com o vácuo e toda a luz é transmitida; Para ǫr = 0 e σr = 0, R = (1 + 4/ ˜d)−1, mostrando que até mesmo neste “quase-niilismo” [77] se

propaga alguma quantidade de energia eletromagnética. E finalmente, note-se que para ǫr < 0

e σr ≈ 1 existe uma região onde R ≈ 0.5 mostrando que nem todo meio com permissividade

negativa possui uma alta refletância, senão aqueles com σr ≪ (≫)1. Resultados similares para

σr ≈ 1 foram observados em meios pouco absorvedores com permeabilidade negativa [74].

4.1.6 Conclusões

O Formalismo S foi usado para estudar a propagação de ondas em meios lineares finitos. A análise claramente mostra que a não equivalência entre S e E2 _{acontece em meios finitos como}

conseqüência da segunda fronteira. O papel desta é favorecer a superposição entre as ondas que se propagam em uma e outra direção dentro do meio, fato que causa um comportamento oscilatório no módulo ao quadrado da amplitude do campo, ao contrário do que acontece com a intensidade. Quando a segunda fronteira pode ser desconsiderada, o meio pode ser tratado como semi-infinito com uma única onda se propagando tal que S e E2 _{são equivalentes. A}

análise também mostra que a bem conhecida intensidade dada pela lei de Beer, comumente usada para calcular a transmitância nos experimentos, poderia afastar-se significativamente do resultado exato e esta diferença é de fato produzida pelo efeito da segunda fronteira. Em conse- qüência, a validade da aproximação deveria ser rigorosamente testada para cada problema em particular. Ademais, foram analisados meios com permissividade positiva e negativa e foram achados comportamentos bem diferenciados segundo os valores da permissividade e condu- tividade. Foi observado que, para baixas condutividades, meios com permissividade positiva têm um comportamento bem diferente daqueles com permissividade negativa (tendo uma re- fletância um pouco oscilante os primeiros e quase um para os segundos) enquanto que para altas condutividades a refletância não depende do valor da permissividade. Para valores inter- mediários da condutividade, a refletância pode tomar valores em torno de 0.5, mostrando que

nem todo meio com permissividade negativa possui uma alta refletância.

Ambos métodos, o contra-propagativo e o Formalismo S, deveriam ser usados complemen- tarmente já que isso pode ajudar para ter um entendimento completo da física do problema da propagação de ondas em meios lineares finitos. Os resultados para ondas com largura de banda finita podem ser facilmente obtidos dos resultados das componentes de Fourier através das Eqs. (3.21).