A pesquisa de dissertações relacionadas com o tema da presente investigação no portal da CAPES (Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior) foi fundamental para o embasamento deste trabalho. Para o desenvolvimento desta pesquisa, utilizei algumas palavras-chave como “Investigação Matemática e ensino de derivadas”, mas a busca não encontrou nenhum resultado com a junção destas palavras. Então pesquisei “Investigação Matemática” e encontrei 105 trabalhos, e depois busquei “ensino de derivadas” e 5 dissertações foram encontradas. Destes trabalhos selecionei três dissertações relacionadas com o tema em estudo. Uma explora derivadas com tarefas investigativas, e as outras duas destacam a exploração de softwares no ensino de cálculo – conceitos relacionados às derivadas de funções reais. Os trabalhos selecionados estão destacados no quadro 4, mediante a ênfase do título e do objetivo geral.
Quadro 4: Dissertações sobre Investigação Matemática e derivada
TÍTULO AUTOR ANO OBJETIVO GERAL
Diferentes abordagens do conceito de derivada: uma proposta de Investigação Matemática
Allan Silva Ferreira
2017 Elaborar um material de apoio para o professor para ser utilizado na introdução do estudo da Derivada, que auxilie na atuação didática do professor de Cálculo, com a finalidade de favorecer ao aluno uma melhor compreensão na construção do conceito de Derivada
Construção e interpretação de gráficos com o uso de softwares no ensino de Cálculo: trabalhando com imagens conceituais relacionadas a derivadas de funções reais Marcio Augusto Gama Ricaldoni
2014 Identificar e analisar as possíveis contribuições da utilização do software GeoGebra aos processos de ensino e aprendizagem de Cálculo I, a partir da realização de atividades de construção e interpretação de gráficos.
Aplicações das Derivadas no Cálculo I: atividades investigativas utilizando o GeoGebra Daniele Cristina Gonçalves
2012 Desvendar as contribuições das atividades investigativas com o uso das TICE’s para os processos de ensino e aprendizagem do conceito de derivadas e suas aplicações em Cálculo Diferencial e Integral I.
Fonte: do autor.
Ferreira (2017) desenvolveu um trabalho de conclusão de curso de mestrado vinculadoao Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais, onde explorou atividades relacionadas com derivadas através do tema “diferentes abordagens do conceito de derivada: uma proposta de Investigação Matemática com alunos de Licenciatura em Matemática”. As dificuldades de aprendizagem e o alto índice de reprovação dos alunos foram determinantes para investigar alternativas que proporcionassem melhores resultados cognitivos relacionados a derivadas. Diante deste propósito, o trabalho foi direcionado a partir da abordagem da Investigação Matemática e das TICs – Tecnologias da Informação e Comunicação, mediante a utilização de smartphones através do aplicativo Geogebra e vídeos do canal do youtube (FERREIRA, 2017).
O autor descreve o tratamento de alguns livros didáticos referente ao conceito de derivadas, destacando que:
Em todas as obras analisadas, o estudo de derivada é abordado inicialmente pelo aspecto geométrico “reta tangente a uma curva”. Lembrando que a obra mais antiga, de Piskounov foi publicada em 1977 e, a mais recente, de Stewart, em 2014.
Verificamos, pela análise das obras, que elas se aproximam no que diz respeito à organização e sequência na introdução de derivada, bem como suas abordagens. No entanto, as obras se distanciam bastante no que diz respeito à contextualização, posicionamento histórico e à aplicação do estudo das derivadas (FERREIRA, 2017, p. 65).
O referido autor, utilizou a abordagem qualitativa a partir da análise textual discursiva enfatizada por Moraes e Galiazzi (2007). Além disso, a pesquisa destacou
um produto educacional que foi elaborado para auxiliar docentes de Cálculo Diferencial e Integral I. Diante dos resultados obtidos, o autor enfatiza que a “A investigação matemática mostrou-se uma metodologia eficaz para o ensino e aprendizagem; trata-se de um caminho, que consideramos sem volta, os resultados obtidos com uso desta metodologia são muito satisfatórios” (FERREIRA, 2017, p. 103). Os resultados referidos pelo autor, estão relacionados com a capacidade que os alunos desenvolvem de construir conhecimentos matemáticos a partir da exploração de tarefas investigativas por meio da formulação de conjecturas, tais como perceber que muitos problemas envolvendo taxa de variação, maximização e minimização podem ser resolvidos mediante a exploração de derivadas.
O estudo de Ricaldoni (2014) intitulado “Construção e interpretação de gráficos com o uso de softwares no ensino de cálculo: trabalhando com imagens conceituais relacionadas a derivadas de funções reais”, foi uma investigação que gerou o seu trabalho de conclusão de curso do Mestrado Professional em Educação Matemática pela Universidade Federal de Ouro Preto. Neste trabalho, o autor buscou identificar e analisar as possíveis contribuições da utilização do software GeoGebra aos processos de ensino e aprendizagem de Cálculo I, a partir da realização de atividades de construção e interpretação de gráficos.
Esta pesquisa foi realizada com alunos do Curso de Licenciatura em Matemática a partir da exploração de atividades de construção de gráficos por meio do software Geogebra. A pesquisa possuiu cunho qualitativo e a coleta de dados foi desenvolvida por meio da pesquisa de campo. As informações coletadas foram analisadas a partir dos registros das resoluções das atividades propostas aos alunos, arquivos das construções feitas no GeoGebra e questionário de avaliação das atividades aplicados aos discentes (RICALDONI, 2014).
O autor destaca que foram implementadas cinco atividades exploratórias relacionadas a derivadas de funções reais, mediante a utilização do GeoGebra porque é uma ferramenta tecnológica que tem funções dinâmicas que possibilita a construção de gráficos com precisão e dinamismo (RICALDONI, 2014). A utilização de atividades investigativas com recursos tecnológicos beneficiou a exploração de gráficos de funções e os problemas de maximização e minimização. Diante dos resultados, o autor concluiu que:
Nossa pesquisa mostrou que a realização das atividades exploratórias com a utilização de um software contribuiu para a formação e a lapidação de várias imagens conceituais relacionadas às derivadas, com destaque para as imagens algébrica e geométrica da derivada como inclinação da reta tangente num ponto, além das suas propriedades fundamentais na construção do gráfico de uma função.
Nossa pesquisa mostrou que a realização das atividades exploratórias com o uso do GeoGebra contribuiu para a possibilidade de construção de novos conceitos associados à derivada no laboratório de informática, sem que esses conceitos tenham sido trabalhados em sala de aula, como foi o caso da apresentação das derivadas laterais de uma função (RICALDONI, 2014, p. 88 – 89).
Em suma, de acordo com o autor, os resultados demonstraram que trabalhar os conteúdos de derivadas mediante a exploração do software Geogebra contribui para a compreensão eficaz dos conceitos relacionados a esses temas.
Outra dissertação de mestrado analisada foi de Gonçalves (2012). A autora explorou atividades investigativas e o GeoGebra a partir do tema “aplicações das derivadas no Cálculo I: atividades investigativas utilizando o GeoGebra”. Este trabalho está vinculado ao Programa de Pós-Graduação Stricto Sensu da Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho de Bauru – SP. Com a realização desta pesquisa, ela buscou “Desvendar as contribuições das atividades investigativas com o uso das TICE’s para os processos de ensino e aprendizagem do conceito de derivadas e suas aplicações em Cálculo Diferencial e Integral I” (GONÇALVES, 2012, p. 22).
O referido trabalho apresenta e discute algumas aplicações de derivadas no contexto da Educação Matemática do Ensino Superior, com o intuito de contribuir para a formação de futuros professores de Matemática. A autora utilizou a abordagem qualitativa e coletou os dados por meio dos registros das soluções dos alunos, construções feitas no GeoGebra, questionário de avaliação das atividades, questionário de avaliação aplicada ao professor da disciplina e registros de campos dos pesquisadores.
A autora desenvolveu quatro tarefas investigativas destacando a construção de sólidos como cilindro, caixa retangulares, e explorou as dimensões mediante a investigação de áreas e volumes nos contextos das concepções de derivadas em relação a máximos e mínimos. Em todas as atividades o GeoGebra foi utilizado para
a construção dos gráficos como recurso para auxiliar na elaboração de conjecturas. Mediante a aplicação dessas atividades, Gonçalves (2012, p. 105) enfatiza que:
Nossa pesquisa apontou que a realização das atividades investigativas contribuiu para a criação de um ambiente de discussão, conjecturação e colaboração que nem sempre é possível de se ter na sala de aula tradicional, na qual o processo de aprendizagem é, quase sempre, totalmente guiado pelo professor.
Isso foi percebido por todos os atores do cenário de pesquisa, ou seja, pelos professores pesquisadores, pelo professor responsável e, principalmente, pelos alunos participantes, que destacaram a importância para sua aprendizagem das discussões proporcionadas pela realização das atividades em grupos.
Nossa pesquisa apontou que a realização das atividades investigativas contribuiu para formação inicial dos alunos participantes, futuros professores de Matemática dos Ensinos Fundamental e Médio, na medida em que eles tiveram a oportunidade de refletir sobre a importância da realização de atividades com softwares para o futuro professor de Matemática.
Os três trabalhos citados, foram importantes para efetivação desta pesquisa, pois abordaram a exploração de derivadas, tema principal deste trabalho. Além disso, dois destes trabalhos enfatizam o estudo de derivadas por meio da Investigação Matemática, metodologia abordada na presente pesquisa. O primeiro trabalho, Ferreira (2017), destacado no Quadro 4 explora tarefas investigativas para instigar os alunos a construírem conhecimentos sobre derivada a partir da investigação de situações padrões que possibilite a formação intuitiva deste conceito, mediante a exploração dos temas velocidade média, interpretação geométrica por meio do aplicativo Geogebra e trabalha com a História da Matemática através de vídeos do Youtube, enfatizando a origem do Cálculo Diferencial e Integral. O segundo e o terceiro trabalho abordam Investigação Matemática por meio do software Geogebra, sendo que Ricaldoni (2014) enfatiza a maioria das atividades na construção de gráficos de funções e uma atividade sobre problemas de maximização e minimização, enquanto Gonçalves (2012) utiliza somente problemas de aplicação (máximo e mínimo) para explorar o conceito de derivada.
Desta forma, os três trabalhos citados, contribuíram para o desenvolvimento desta dissertação porque abordaram o mesmo tema aqui apresentado. De acordo com esses trabalhos, o desenvolvimento das tarefas investigativas contribui para a ressignificação de conceitos matemáticos, onde o aluno assume o papel de investigador, e se lança na busca da construção de conhecimentos por meio da formulação de conjectura, teste, validação e socialização dos resultados.
Os suportes teóricos dos três trabalhos citados, contribuíram significativamente para a reflexão e construção teórica desta dissertação. Uma característica apresentada por dois desses trabalhos que diferencia do presente trabalho foi a definição do software Geogebra como ferramenta para explorar as questões propostas, isto ocorreu porque deixei os alunos a vontade para buscar as ferramentas que desejassem. Já em relação as tarefas investigativas utilizadas pelos autores estas auxiliaram para melhorar o entendimento sobre questões abertas e fechadas, visto que, nota-se que as tarefas exploradas por esses autores apresentavam características voltadas para exercícios e problemas e não tarefa investigativa. Ponte, Brocardo e Oliveira (2019, p. 22) afirmam que:
Numa investigação, as coisas são um pouco diferentes. Trata-se de situações mais abertas – a questão não está bem definida no início, cabendo a quem investiga um papel fundamental na sua definição. Em uma vez que os pontos de partida podem não ser exatamente os mesmos, os pontos de chegada podem ser também diferentes.
Na sequência, apresento os procedimentos metodológicos, destacando a abordagem da pesquisa, os instrumentos de coletas de dados, a descrição do objeto de estudo, a forma de análise de dados e as atividades realizadas no decorrer da intervenção pedagógica efetivada.
3 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
Os procedimentos de pesquisa adotados por professores em diversas áreas do conhecimento têm evoluído nos últimos anos devido principalmente as realizações de pesquisas desses profissionais em prol da compreensão dos fatores que contribuem para as dificuldades de aprendizagem apresentadas pelos alunos (CAVASOTO, 2008). Pesquisas desenvolvidas explorando tendências na Educação Matemática, coletam informações que orientam os educadores a buscarem novos horizontes para a otimização das atividades desenvolvidas em sala de aula de acordo com as necessidades intelectuais dos educandos.
Desta forma, a pesquisa na Educação Matemática é um método científico refinado, pautado na sistematização de um processo contínuo que visa descobrir respostas para problemas relacionados com diversos contextos. Trata-se de um processo formal, com características específicas, fundamentadas em regras que direcionam a construção do trabalho científico em busca da obtenção de novos conhecimentos. Além disso, é o desenvolvimento de ações planejadas e orientadas para a conquista do saber almejado (GIL, 2019; LAKATOS; MARCONI, 1996). Corroborando com esta ideia, Seabra (2001) enfatiza que a pesquisa deve ser analisada como um procedimento sistemático, argumentado no controle e sujeito a críticas, e está estreitamente comprometido com a descoberta de novos saberes de qualquer área do conhecimento.
Para o desenvolvimento de um trabalho de cunho científico é fundamental compreender as noções que caracterizam a metodologia, isto é, o caminho que deve ser adotado para o alcance dos objetivos almejados. Convergentemente, Figueiredo
e Souza (2011, p. 144) afirmam que “metodologia é o conjunto de métodos ou caminhos que devem ser percorridos na busca do conhecimento”. É um planejamento de passos que devem ser seguidos de forma organizada de acordo com o contexto de aplicação de determinadas tarefas em prol da conquista do resultado almejado. Assim, a presente proposta foi fundamentada na pesquisa qualitativa porque “pesquisas realizadas segundo uma abordagem qualitativa nos fornecem informações mais descritivas, que primam pelo significado dado às ações” (BORBA; ARAÚJO, 2017, p. 25).
Os autores destacam que a Educação Matemática é um universo de investigação determinado globalmente, mas a utilização de abordagens qualitativas neste campo de pesquisa ainda é novo e está ganhando força nos últimos anos. Desta forma, é desafiador o professor de matemática, habituado a trabalhar com dados quantitativos, adotar procedimentos metodológicos com características qualitativas como ferramenta de produção de conhecimento (BORBA; ARAÚJO, 2017). Esta abordagem de pesquisa contribuiu para o desenvolvimento desta pesquisa com características investigativas pela sua essência de buscar a compreensão dos fatos de acordo com o processamento fiel das informações registradas. Analogamente, percebe-se que:
As características da pesquisa qualitativa são: objetivação do fenômeno; hierarquização das ações de descrever, compreender, explicar, precisão das relações entre o global e o local em determinado fenômeno; observância das diferenças entre o mundo social e o mundo natural; respeito ao caráter interativo entre os objetivos buscados pelos investigadores, suas orientações teóricas e seus dados empíricos; busca de resultados os mais fidedignos possíveis (GERHARDT; SILVEIRA, 2009, p. 32).
Araújo e Borba (2017) ainda contribuem com esta temática destacando que a pesquisa qualitativa deve estar pautada em uma visão de conhecimento que busque a otimização das informações a partir dos instrumentos de coleta de dados como observações, entrevistas, análises de vídeos, interpretações, etc. Assim, a presente pesquisa é de cunho qualitativo, pois a pretensão foi compreender os comportamentos de um determinado grupo ao trabalharem com tarefas investigativas explorando assuntos relacionados ao tema derivadas. Além disso, foram analisadas as estratégias e conjecturas elaboradas, por cada grupo de alunos, no decorrer do desenvolvimento das tarefas investigativas, bem como a argumentação da forma de resolução na socialização dos resultados.
À luz desta abordagem, a observação participante auxiliou o desenvolvimento dinâmico deste trabalho, visto que:
A observação participante é uma modalidade especial de observação na qual você não é apenas um observador passivo. Em vez disso, você pode assumir uma variedade de funções dentro de um estudo de caso e pode, de fato, participar dos eventos que estão sendo estudados (YIN, 2001, p. 112).
Analisando a afirmação do autor, a observação participante proporcionou o contato constante e ativo com o grupo em estudo porque “consiste na participação real do pesquisador com a comunidade ou grupo. Ele se incorpora ao grupo, confunde-se com ele. Fica tão próximo à comunidade quanto um membro do grupo que está estudando e participa das atividades normais deste” (MARCONI; LAKATOS, p. 2019, p. 211). Esta atitude é importante porque o papel do professor pesquisador na Investigação Matemática é de mediador, ou seja, é o elemento-chave que deve auxiliar os alunos a compreenderem a essência de investigar, proporcionando o entendimento de todos os alunos acerca do sentido da tarefa proposta (PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2016).
Como as tarefas investigativas foram desenvolvidas em sala de aula, utilizei a observação participante pela importância dos registros das ações dos discentes para posterior análise. Assim, fiquei atento observando reações dos alunos, suas falas e argumentos no decorrer da resolução das atividades. Tais observações anotei em um caderno de campo, no qual registrei também reflexões no decorrer do desenvolvimento da intervenção, pois o “caderno de campo, deve conter o registro detalhado das informações, observações, bem como as reflexões que surgem durante toda a pesquisa” (SOUZA, 2013, p. 10).
Os dados foram coletados mediante os seguintes instrumentos: observação participante, questionário e recolha documental por meio dos cadernos de anotações dos discentes e do docente, tais instrumentos foram auxiliados pelas ferramentas gravador de voz e fotografia. Os alunos registraram durante as atividades informações relevantes sobre os procedimentos adotados, destacando as conjecturas e conclusões estabelecidas sobre os conteúdos explorados em um caderno de anotações. Cada grupo recebeu um caderno e elegeu um aluno, por atividade, para fazer os registros, isto é, os resultados e os procedimentos utilizados para a elaboração de conjecturas em cada atividade.
O gravador de voz foi utilizado para coletar informações que poderiam ter escapado do registro dos cadernos do professor e dos alunos. Em cada grupo foi colocado um gravador para gravar as discussões durante o desenvolvimento de todas as atividades, bem como foram gravadas as socializações que ocorreram no final das tarefas. O uso desta ferramenta corrobora significativamente para a reprodução fiel da veracidade dos resultados apresentados (MARCONI; LAKATOS, 2019).
A fotografia foi outro recurso empregado porque potencializa a captura real do contexto do local da atividade, a expressão facial dos alunos, os gestos no momento dos diálogos na busca de estratégias para a elaboração de conjecturas. Além disso, o olhar dos participantes no momento da comprovação das conclusões apresentadas é importante, pois, dialogando com Andrade (2008) percebe-se que a fotografia é uma ferramenta que assume papéis de mediação, registro e arquivamento. Em relação ao gravador de voz e a fotografia, eles foram empregados como ferramentas complementares que auxiliaram na observação, mas os instrumentos de coletas de dados utilizados foram a observação participante por meio dos gravadores e fotografias, o questionário e a recolha documental por meio dos cadernos de anotações.
Foi aplicado um questionário ao término das atividades para verificar a avaliação dos alunos sobre as tarefas investigativas desenvolvidas. Este instrumento se encontra no apêndice C e as questões tiveram como foco as opiniões dos alunos sobre o desenvolvimento das tarefas investigativas. De acordo com Marconi, Lakatos (2019) o questionário é um documento elaborado com várias perguntas ordenadas que fornecem informações importantes para a análise posterior dos dados coletados, ou seja, é uma técnica de coleta de dados que busca respostas sobre o objeto estudado a partir de questões produzidas de acordo com o interesse do pesquisador.
Mediante a utilização dos procedimentos de coleta de dados citados, foi possível coletar informações suficientes para a análise de dados que possibilitou a resposta ao problema de pesquisa: “Que estratégias e conjecturas os alunos da disciplina de Cálculo I, de uma turma de licenciatura em Matemática, elaboram na exploração de tarefas investigativas no estudo de derivadas?”
Os dados coletados foram analisados a partir da análise descritiva porque o foco foi descrever todos os fatos e dados de maneira mais real e verídica possível. Segundo Cervo et al (2007) esta análise possibilita a descrição detalhada das características e das relações existentes nos grupos, comunidades ou realidade analisada. Além disso, para esses autores este tipo de análise favorece a pesquisa de forma mais ampla e completa, pois se preocupa com a análise dos fatos, os quais devem ser descritos em detalhes, para então serem analisados à luz de referenciais teóricos consistentes.
A presente pesquisa foi efetivada na Universidade do Estado do Amazonas –