B.9 Matriz de Adjacência do grafo da Figura B.8
2.4 Problema Quadrático com Variáveis Canalizadas
5.1.6 Estudo da Estrutura Matricial
A matriz Bk
s = (Dsk)−1+ N (Dfk)−1N>+ M (Dkp)−1M> é quadrada e sua dimensão é igual
ao número de restrições de segurança. Além disso, é simétrica definida positiva. Portanto,
5A manipulação deste cálculo está descrita no Apêndice C, item (d).
Capítulo 5. Desenvolvimento do Método 53 pode-se aplicar a decomposição de Cholesky [26]. Esta decomposição de Bk
s será utilizada
para obter a solução do seguinte sistema linear:
Yk = Bk(Dfk)−1(Bk)>+ ˆEk(Dpk)−1( ˆEk)>− Wk(Bsk)−1(Wk)>.
No entanto, este processo é caro computacionalmente. Então, utiliza-se a fórmula de Sherman-Morrison-Woodbury [26]:
(C + U XV>)−1 = C−1− C−1U (X−1+ V>C−1U )−1V>C−1, (5.41) onde U e V são matrizes de ordem p × q e X é de ordem q × q. Aqui, tem-se que:
C = Bk(Dfk)−1(Bk)>+ ˆEk(Dpk)−1( ˆEk)>, U XV> = −Wk(Bsk)−1(Wk)>, onde U = −Wk, X = (Bk
s)
−1 e V> = (Wk)>. Portanto, a equação (5.41) fica:
(C + U XV>)−1 = (C + (−Wk)(Bsk)−1(Wk)>)−1 = C−1+ C−1Wk(Bsk− (Wk)>
C−1Wk)−1(Wk)>C−1. A dimensão da matriz (Bk
s−(Wk)
>C−1Wk)−1também é igual ao número de restrições de
segurança. Além disso, esta matriz provavelmente é indefinida, já que trata-se da diferença de duas matrizes simétricas definidas positivas. Logo, pode-se aplicar a decomposição de Bunch-Parlett [26]. Tal processo decompõe matrizes simétricas indefinidas em um método de pivoteamento diagonal, mantendo a simetria das matrizes. Para isso, calcula-se uma permutação P, de modo que P AP> = LDL>, onde D é formada por blocos simétricos de
dimensão 1 × 1 e 2 × 2, e L é uma matriz triangular inferior. Além disso, o critério da escolha de P é tal que os coeficientes da matriz L devem satisfazer |lij| ≤ 1, garantindo,
assim, a estabilidade numérica [16, 17]. Outra opção é a decomposição LT L>, onde T é
uma matriz tridiagonal, L é uma matriz triangular inferior, e L> triangular superior.
Por fim, para a solução do sistema final, aplica-se novamente a decomposição de Bunch- Parlett ou LT L>, desta vez à matriz S (5.40).
Agora, será visto como tratar a matriz C. Seu estudo será feito através das seguintes etapas [45]:
1. Defina uma matriz ˜Bk, constituída pela matriz Bke pelo vetor canônico e
j, de modo
que ˜Bk =Bk ej
. Esta matriz é quadrada e não-singular. 2. Insere-se uma linha e uma coluna à matriz (Dk
f)
−1, a fim de adequar sua dimensão
para a multiplicação de matrizes.
3. Retira-se a j-ésima linha e a j-ésima coluna da matriz Dk = ˆEk(Dk p)
−1( ˆEk)>, para
j = 1, 2, . . . , m, onde sua intersecção não pode ser nula. Com isto, retira-se uma barra de geração da matriz, mas sua dimensão não altera, já que apenas substituiu-se por zero o elemento da j-ésima linha e coluna retiradas.
Desta forma, as matrizes são reajustadas e então denota-se (Dk f)
−1 por ( ˜Dk f)
−1, Dk
por ˜Dk e a matriz C por ˜Ck. Logo, pode-se reescrever:
˜
Capítulo 5. Desenvolvimento do Método 54 Além disso, de (5.39) tem-se o vetor ˜ryk = rk
1 + ˜Bk( ˜Dfk) −1rk f − ˆEk( ˜Dkp) −1rk p − Wk(Bsk)−1rxk. 4. Defina: h ˜Bk( ˜Dk f) −1 ( ˜Bk)>+ ˜Dkidˆy1k = ˜ryk. (5.42) Este sistema é resolvido em dois passos [8]:
(a) Inicialmente, os sistemas lineares a seguir são resolvidos: h ˜Bk( ˜Dk
f)( ˜B k)>i
dyk1 = ˜ry, para k = 1, 2, . . . , t.
Admite-se que em t intervalos de tempo ocorrem i-manobras programadas. Logo, as matrizes ˜Bk e ( ˜Bk)> variam em função desse número de manobras.
Para determinar o vetor dyk
1, pode-se utilizar a fatoração LU de ˜Bk, que não
modifica ao longo das iterações. Ainda, como em ˜Bk( ˜Dk f)( ˜Bk)
> as matrizes
são quadradas, pode-se inverter termo a termo. Logo, tem-se: dyk1 =h ˜Bk( ˜Dkf)( ˜Bk)>i
−1
˜ ry.
É possível decompor as matrizes Bk = LkUk antes do processo iterativo, ana-
logamente ao que pode ser realizado com a matriz B, no caso do problema sem manobras.
(b) Novamente, utiliza-se a fórmula de Sherman-Morrison-Woodbury, desta vez para calcular a inversa da matriz ˜Ck. Assim, tem-se:
C = ˜Bk( ˜Dfk)( ˜Bk)>, U XV> = ˜Dk,
onde U = ˆEk, X = ( ˜Dkp)−1 e V>= ( ˆEk)>. Além disso:
• X é uma matriz diagonal, cujos elementos pertencem à matriz ˜Dk; • U possui suas colunas retiradas da matriz identidade;
• V> = U>.
Logo, ( ˜Ck)−1 pode ser escrito como:
(C + U XV>)−1 = h ˜Bk( ˜Dfk)( ˜Bk)>+ ˜Dk i−1 = h ˜Bk( ˜Dfk)( ˜Bk)> i−1 −h ˜Bk( ˜Dfk)( ˜Bk)> i−1 ˆ EkZ−1( ˆEk)>h ˜Bk( ˜Dfk)( ˜Bk)> i−1 , onde Z = X−1+ ( ˆEk)>h ˜Bk( ˜Dk f)( ˜B k)>i−1Eˆk.
A matriz Z é simétrica definida positiva, e sua dimensão é igual ao número de geradores. Logo, esta matriz pode ser calculada através da decomposição de Cholesky.
Multiplicando a equação de Sherman-Morrison-Woodbury já aplicada neste problema por ˜ryk, tem-se finalmente:
dˆyk1 = dyk1 −Bk−1T
Capítulo 5. Desenvolvimento do Método 55 Como visto anteriormente, B é formada pelas linhas da matriz de incidência A justapos- tas com as linhas da matriz de reatância T . Sabendo que A ∈ Rm×n e T ∈ R(n−m+1)×n,
então B ∈ Rm+(n−m+1)×n. Inserindo uma coluna da matriz E (referente à uma geração)
à esta matriz B, tem-se que ˜B = [B ej]é quadrada, com dimensão (n + 1).
Vale lembrar que quando realizam-se manobras, esta será a dimensão de ˜Bk.
Após o estudo da estrutura matricial, conclui-se que a decomposição LU da matriz ˜Bk será feita uma única vez fora do método iterativo, pois ela não depende do ponto, somente dos dados da rede de transmissão.
Vimos que a matriz Bk
s = (Dks)
−1+ N (Dk f)
−1N>+ M (Dk p)
−1M> pode ser simplificada
através da decomposição de Cholesky. Sabemos que o custo computacional deste método é da ordem de n3
3 , onde n é a dimensão da matriz a ser decomposta. Como B k
s é quadrada
e sua dimensão é igual ao número de restrições de segurança e este, por sua vez, é menor do que 100 nos sistemas brasileiros, logo o custo computacional não é alto.
A matriz (Bk
s − (Wk)
>C−1Wk)−1, obtida a partir da utilização da fórmula de Sherman-
Morrison-Woodbury para a obtenção da solução do sistema Yk, também possui dimensão
igual ao número de restrições de segurança. Por provavelmente ser indefinida, ela pode ser fatorada através da decomposição de Bunch-Parlett, cujo custo computacional é da ordem de n3. Novamente, pelo mesmo argumento usado anteriormente, para os sistemas
brasileiros, o custo não é caro computacionalmente.
Para a solução do sistema final, aplica-se a decomposição de Bunch-Parlett à matriz S, cuja dimensão é igual ao número de geradores. Nos sistemas brasileiros, este número é menor do que 200, ainda considerado pequeno, o que não torna o processo caro do ponto de vista computacional.
Já para determinar o vetor dyk
1, é possível utilizar a fatoração LU de ˜Bk, cujo custo é
da ordem de 2 3n
3. Apesar da dimensão deste vetor ser maior, já que depende do número
de linhas de transmissão, é possível decompor as matrizes Bk = LkUk fora do processo
iterativo, realizando apenas uma vez. Logo, também não é caro.
Por fim, a computação da matriz Z é feita através da decomposição de Cholesky. Essa matriz possui dimensão igual ao número de geradores, o que, conforme já vimos, não encarece o procedimento.
Em todos os casos acima analisados, concluímos que o custo computacional não é caro baseando-se nos sistemas brasileiros considerados. Isto é motivado pelo número de linhas de transmissão, barras e geradores nestes sistemas não ser alto, o que consequentemente, não gera matrizes com dimensões altas.
Capítulo 6. Considerações Finais e Perspectivas Futuras 56
Cap´ıtulo
6
Considerações Finais e Perspectivas Futuras
Neste trabalho, estudou-se a utilização do Método de Pontos Interiores Primal-Dual Seguidor de Caminho em um problema de pré-despacho de um sistema hidroelétrico com restrições de segurança e manobras previamente programadas, bem como a análise da estrutura matricial resultante após a aplicação do Método de Newton às condições de otimalidade do problema. Para uma melhor compreensão, foram estudados os seguintes pré-requisitos: a teoria de programação linear e quadrática, métodos de solução e uma breve explicação sobre fluxo de potência ótimo DC, abordando as restrições de segurança e manobras programadas.
Basicamente, a motivação desta pesquisa é modelar a minimização dos custos na geração e perdas na transmissão de energia elétrica no planejamento a curto prazo de operação de um sistema hidroelétrico, considerando restrições de segurança e manobras. Diz-se que as manobras de linhas acontecem quando linhas de transmissão são desligadas ou religadas do sistema, e as manobras de barras acontecem quando geradores ou cargas são desligados. A ocorrência destas provoca alterações na topologia da rede. Para as manobras de linhas, uma coluna da matriz de incidência e uma linha da matriz de reatância são retiradas. Já para as manobras de barras, considerando B a matriz formada pelas linhas justapostas das matrizes de incidência e reatância, e supondo n arcos incidentes na barra a ser manobrada, tem-se que n linhas e colunas de B e mais uma linha da matriz de incidência são retirados. Por fim, se ocorrer manobras de barras e linhas simultaneamente, a matriz B terá p + 1 linhas e colunas retiradas, onde p é o número de arcos incidentes na barra a ser manobrada. As restrições de segurança modelam as três principais situações possíveis de ocorrer no sistema elétrico brasileiro: queda de uma linha de transmissão, desligamento de um gerador e gargalos no sistema. A primeira restrição responsabiliza-se por precaver de imprevistos que a queda de uma linha pode causar. Já para a segunda restrição, o objetivo é impedir a falta de energia caso um gerador seja desligado. E a última restrição acontece quando uma linha de transmissão está sobrecarregada devido ao excesso de energia que passa por ela.
A escolha pela utilização do método de pontos interiores do tipo primal-dual baseia-se no argumento de que ele apresenta resultados satisfatórios para problemas de fluxo de potência ótimo. Esta abordagem caracteriza-se ainda por sua eficiência e robustez em problemas de grande porte.
Capítulo 6. Considerações Finais e Perspectivas Futuras 57 blema que não considera manobras, não há alteração no que diz respeito ao custo por iteração. Isto se deve ao fato de que, apesar da dimensão da matriz B ser modificada quando há manobras, o número de sistemas lineares a serem resolvidos não se altera.
Uma proposta de trabalho futuro é a implementação do método estudado para alguns sistemas conhecidos, como sistemas da IEEE e sistemas reais brasileiros.
Além disso, um questionamento é levantado, com o objetivo de direcionar outros estudos e trabalhos futuros. Tal questão é:
• As matrizes M e N podem variar com o tempo? Neste trabalho, elas são considera- das fixas, mas será que seria interessante ter esta restrição sempre ativa ao longo do tempo? Será que em um horário que nao é de pico, esta restrição precisa ser ativa?
58
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63
Ap ˆendice
A
Método de Newton
O método de Newton é de suma importância para a teoria de métodos de pontos inte- riores, já que este último pode ser considerado como a aplicação do método de Newton às condições de otimalidade com algumas alterações. Inicialmente, ele será estudado para o caso unidimensional e, em seguida, estendido para o caso multidimensional.
O método de Newton é um método iterativo, que busca estimar os zeros de uma função diferenciável f(x). A ideia principal deste método é ter em mente que o zero da reta tangente a uma curva é próximo ao zero desta curva, e é utilizado como novo ponto para uma nova reta tangente e assim sucessivamente até encontrar o zero da função [54].
Figura A.1: Ideia do método de Newton. Fonte: Adaptado de [9].
Este método utiliza a expansão de uma função em série de Taylor em torno do ponto x0:
f (x) = f (x0) + f0(x0)(x − x0) + f00(x0)(x − x
0)2
Apêndice A. Método de Newton 64 Mantendo os dois primeiros termos desta série, tem-se:
f (x) ≈ f (x0) + f0(x0)(x − x0).
Esta é a equação da reta tangente à curva no ponto (x0, f (x0)), com inclinação f0(x0).
Considerando que a função seja aproximada por uma reta, o ponto que esta reta inter- cepta o eixo x está próximo ao ponto que a função intercepta o eixo x. Tal ponto é dado por:
0 = f (x0) + f0(x0)(x − x0)
−f (x0) = f0(x0)(x − x0)
x = x0− f (x0) f0(x0).
O ponto x0 é atualizado para o ponto x, para uma melhor aproximação, e assim o método
passa para a próxima iteração. De maneira geral, pode-se escrever:
xk+1 = xk− f (x
k)
f0(xk),
onde k representa a k-ésima iteração do método e f0(xk) representa a derivada da função
f no ponto xk.
Para o caso multidimensional, o método será descrito de forma sucinta, conforme [58]. Dada a função F : Rn→ Rn, ou seja, uma função da forma
F (x) = F1(x) F2(x) .. . Fn(x) , onde x = x1 x2 .. . xn ,
deseja-se encontrar um ponto x∗
∈ Rn tal que F (x∗
) = 0, isto é, encontrar uma raiz de F . Dado x ∈ Rn qualquer, deve-se encontrar uma direção de busca d tal que F (x + d) = 0.
Desta forma, relacionando com o caso de uma variável, busca-se aproximar esta direção pelos dois primeiros termos da expansão da série de Taylor:
F (x + d) ≈ F (x) + F0(x)d, (A.1) onde F0(x) = ∂F1 ∂x1 ∂F1 ∂x2 . . . ∂F1 ∂xn ∂F2 ∂x1 ∂F2 ∂x2 . . . ∂F2 ∂xn .. . ... . .. ... ∂Fn ∂x1 ∂Fn ∂x2 . . . ∂Fn ∂xn .
Apêndice A. Método de Newton 65 A aproximação é linear em d. Igualando (A.1) à zero e tomando J(x) = F0(x) como a
matriz Jacobiana de F no ponto x, tem-se o seguinte sistema linear, que obtém a direção de busca:
J (x)d = −F (x).
Após calcular d = −[J(x)]−1F (x), o método de Newton atualiza a solução substituindo
x por x + d. Prossegue-se desta forma até que a solução atual esteja suficientemente próxima de uma raiz, ou seja, quando F (x) ≈ 0.
Portanto, tem-se um método iterativo da forma
xk+1 = xk− [J(xk)]−1F (xk).
Vale ressaltar que o método de Newton é um dos métodos numéricos mais eficientes para resolver sistemas de equações não lineares, já que ele possui taxa de convergência quadrática suficientemente próximo à solução, desde que a matriz Jacobiana seja não- singular [21].
Além disso, o método de Newton pode ser usado na busca de soluções que satisfaçam as condições de otimalidade para problemas de programação linear. Esta ideia leva aos métodos de pontos interiores primais duais. Basicamente, caminha-se na direção encon- trada, mantendo-se as variáveis na região interior ao ortante positivo. Assim, os problemas