Estudo Simulado

Em um primeiro momento, estudou-se o processo de estima¸c˜ao em um modelo Wrap- ped Normal est´atico, como descrito em Jona-Lasinio et al. (2012). J´a o foco da dis- serta¸c˜ao consiste em trabalhar com modelos flex´ıveis especificamente para dados circu- lares, pensou-se em um modelo Wrapped Normal dinˆamico como uma extens˜ao de um modelo Wrapped Normal. O processo de estima¸c˜ao dos parˆametros de um Wrapped Normal dinˆamico se deu a partir da aplica¸c˜ao do Algoritmo 4.1.

Utilizou-se o Algoritmo 4.1 na estima¸c˜ao dos parˆametros do seguinte modelo base: Modelo Base:

Yt∼ W N (Ft0θt, σ2)

θt= Gtθt−1+ ωt, ωt∼ N (0, W ) (4.4)

Foram testados diferentes modelos, incluindo sazonalidade, regressoras, modelo de tendˆencia polinomial de primeira e de segunda ordem e combina¸c˜oes dessas configura¸c˜oes. Decidiu-se por reportar os ressultados somente de um modelo considerado mais completo, com os seguintes parˆametros:

θt= (θ1t θ2t θ3t θ4t θ5t) Ft = (1 Pt V Vt 1 0)

VVt = velocidade dos ventos no tempo t Pt = press˜ao no tempo t Gt =                      1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 −sen(2πt₁₂) cos(2πt₁₂) 0 0 0 cos(2πt₁₂) sen(2πt₁₂)                     

Utilizou-se as seguintes prioris: θ11 ∼ N (2, 0.05) θ21 ∼ N (0.001, 0.005) θ31 ∼ N (−0.003, 0.005) θ41 ∼ N (0.075, 0.005) θ51 ∼ N (−0.05, 0.005) wjj ∼ IG(2, 0.01), para j = 1, . . . , 5 Sendo:

wjj elemento j da diagonal da matriz W.

Foram geradas 100 r´eplicas de s´eries temporais de comprimento T=100 deste modelo. Reportamos a sa´ıda de uma ´unica r´eplica, cujos resultados s˜ao t´ıpicos daquilo que foi ob- servado nas 100 replica¸c˜oes. Foram feitas 100000 itera¸c˜oes e os resultados foram obtidos

via Algoritmo 4.1.

O tra¸co da cadeia gerada para σ2, via Algoritmo 4.1, ´e exibido na figura 4.2.1. A figura4.2.1 exibe a evolu¸c˜ao temporal da m´edia a posteriori do preditor linear, junto aos dados gerados na reta (esquerda) e aos dados no c´ırculo (direita).

Figura 4.1: Tra¸co da cadeia de σ2 _{e valor verdadeiro (vermelho)}

Nota-se que parece ter sido poss´ıvel fazer uma boa estima¸c˜ao de σ2. Al´em disso, parece ter sido poss´ıvel recuperar de forma satisfat´oria as dire¸c˜oes m´edias da s´erie tem- poral gerada. Observa-se que em um gr´afico de s´erie temporal com suporte na reta, a primeira impress˜ao pode ser que o ajuste da dire¸c˜ao m´edia n˜ao tenha sido razo´avel. Ao se posicionar esses pontos (m´edia a posteriori e observada), a cada tempo no c´ırculo, vˆe-se que as dire¸c˜oes ajustadas s˜ao compat´ıveis com aquelas efetivamente observadas.

Cap´ıtulo 5

Distribui¸c˜oes Circulares a partir de

Misturas

No cap´ıtulo 4, tratamos de dois modelos dinˆamicos para dados circulares. Os modelos adotados acomodam naturalmente a autocorrela¸c˜ao de dados temporalmente observados, bem como eventual n˜ao estacionariedade nos processos geradores desses dados. Ainda assim, tanto o modelo Von Mises quanto o Wrapped Normal pressup˜oem unimodalidade no c´ırculo, a cada tempo, e distribui¸c˜ao sim´etrica em torno da dire¸c˜ao m´edia. Podem existir situa¸c˜oes em que haja multimodalidade de dire¸c˜oes, em certo per´ıodo de tempo, ou, ainda, assimetria da distribui¸c˜ao circular. Distribui¸c˜oes de mistura podem acomodar essas caracter´ısticas. Iniciamos este cap´ıtulo com uma revis˜ao sobre a teoria de distri- bui¸c˜oes de misturas, propondo uma vers˜ao circular desse tipo de modelo. Em seguida, de forma a preservar o tratamento de autocorrela¸c˜ao temporal, admitimos a existˆencia de uma estrutura markoviana subjacente aos pesos das componentes da mistura. S˜ao descritos os esquemas adotados para realiza¸c˜ao de inferˆencia bayesiana sobre os modelos propostos e tais esquemas s˜ao testados a partir de exerc´ıcios com dados simulados.

5.1

Misturas de Distribui¸c˜oes: Fundamentos

Modelos de misturas s˜ao, atualmente, aplicados em ´areas diversas como biometria, gen´etica, medicina, marketing entre outras. Existem v´arias caracter´ısticas de distri- bui¸c˜oes de misturas que as fazem muito ´uteis na modelagem estat´ıstica.

Modelos estat´ısticos baseados em distribui¸c˜oes de misturas podem capturar muitas caracter´ısticas espec´ıficas de dados reais, como a multimodalidade, assimetria, curtose e heterogeneidade. Sua extens˜ao para modelos de mistura Markovianos ´e capaz de lidar com muitas caracter´ısticas de s´eries temporais reais como, por exemplo, dependˆencia de longa dura¸c˜ao e heterocedasticidade condicional. Os modelos de misturas oferecem uma extens˜ao simples, mas muito flex´ıvel e ´util, de modelos estat´ısticos usuais. O pre¸co pago por essa flexibilidade ´e que a inferˆencia para estes modelos ´e mais complexa.

Muitos modelos estat´ısticos envolvem misturas de distribui¸c˜oes de alguma maneira. O primeiro caso j´a estudado que envolve, naturalmente, uma distribui¸c˜ao de misturas, pode ser encontrado em Feller (1943). Considere uma popula¸c˜ao constituida por L sub- grupos, misturados aleatoriamente em propor¸c˜ao aos seus tamanhos relativos η1, . . . , ηL. Assume-se que o interesse esteja em alguma caracter´ıstica aleat´oria Y que ´e heterogˆenea entre os grupos e homogˆenea dentro de cada grupo. Dada a heterogeneidade entre os grupos, Y tem uma distribui¸c˜ao de probabilidade diferente em cada grupo, usualmente assumida vinda de uma mesma fam´ılia param´etrica p(y|θ) com vetor param´etrico θ di- ferindo entre os grupos. Os grupos s˜ao rotulados atrav´es de uma vari´avel indicadora discreta S, que assume valores no conjunto 1, . . . , L. Quando amostra-se aleatoriamente desta popula¸c˜ao, deve-se documentar n˜ao s´o a vari´avel de interesse Y, mas tamb´em a vari´avel indicadora de grupo S que denota de qual grupo veio esta observa¸c˜ao. A pro- babilidade de amostrar do grupo S ´e denotada por ηS, e condicionalmente a S, Y ´e uma vari´avel aleat´oria com distribui¸c˜ao p(y|θS), sendo θS o parˆametro referente ao grupo S. A densidade conjunta p(y, S) ´e dada por:

p(y, S) = p(y | S)p(S) = p(y | θS)ηS.

Uma distribui¸c˜ao de misturas finitas surge quando s´o se consegue observar a resposta Y mas n˜ao ´e poss´ıvel obter o indicador de grupo S. A densidade marginal p(y) ´e dada pela distribui¸c˜ao de mistura a seguir:

p(y) = L X S=1

p(y, S) = η1p(y | θ1) + . . . + ηLp(y | θL).

Para esse modelo, tem-se:

µ = E(Y | υ) = L X k=1 µkηk, (5.1) σ2 = V (Y | υ) = L X k=1 (µk+ σ2k)ηk− µ2, (5.2) onde µk = E[y | θk], σ2k= V [y | θk] e υ = (θ1, . . . , θL, η1, . . . , ηL).

A teoria para misturas de distribui¸c˜oes na reta descrita neste cap´ıtulo baseia-se for- temente em Fruhwirth-Schnatter (2006). Aliou-se a essa teoria o tratamento para dados circulares advindos de uma mistura.

5.2

Estima¸c˜ao Bayesiana para modelos de mistura