Vimos na seção anterior que uma folheação não primitiva Ă e seu modelo primitivo ˜
Ă possuem as mesmas singularidades no plano afim Ă e, além disso, que seus números de Milnor estão relacionados pela Proposição2.1.22. O objetivo desta seção é explorar as consequências desse fato para as singularidades de Ă e ˜Ă que estão sobre 𝐿Ȃ.
D
EFINIÇÃO 2.2.1. Seja um campo vetorial em Ă com uma singularidade isolada em 𝑝 Ȃ Ă . Dizemos que 𝑝 é uma sela-nó para se, os autovalores da parte linear de 𝐷 𝑝 , digamos 𝜆 e 𝜆 , satisfazem 𝜆 e 𝜆 Ȃ . Se 𝐸 e 𝐸 são os autoespaços de 𝐷 𝑝CAPÍTULO 2.
M
ODELOS PRIMITIVOS 45 correspondentes a 𝜆 e 𝜆 , chamamos 𝐸 e 𝐸 , respectivamente, de direção fraca e direção fortede .P
ROPOSIÇÃO 2.2.2. Seja Ă um germe de folheação tendo uma singularidade em 𝑝 Ȃ Ă e seja 𝐿 um germe de separatriz suave em 𝑝. Então 𝜇𝑝 Ă 𝐿 Ȃ 𝜇𝑝 Ă . Além disso, aigualdade ocorre se, e somente, se uma das duas alternativa for válida: (i) 𝑝 é uma singularidade não degenerada de Ă;
(ii) 𝑝 é uma sela-nó tendo 𝐿 como sua separatriz fraca.
Demonstração. Suponha que Ă seja induzida em 𝑝 por um campo de vetores 𝑃 Ȃ Ȃ𝑥 𝑄Ȃ Ȃ𝑦, em que 𝑃 𝑄 Ȃ 𝒪𝑝. Denotemos 𝜇𝑝 𝑃 𝑄 𝜇𝑝 Ă . Para um campo de vetores
𝑃 Ȃ Ȃ𝑥 𝑄 𝑄 Ȃ Ȃ𝑦, em que 𝑄 𝑄 Ȃ 𝒪𝑝, temos 𝜇𝑝 𝑃 𝑄 𝑄 𝜇𝑝 𝑃 𝑄 𝜇𝑝 𝑃 𝑄
(veja [6]). Vamos supor que a separatriz 𝐿 tenha equação 𝑦 , de modo que Ă seja então induzida pelo campo vetorial da forma 𝑃 Ȃ Ȃ𝑥 𝑦𝑄 Ȃ Ȃ𝑦 para algum 𝑄 Ȃ 𝒪𝑝. Assim,
𝜇𝑝 Ă 𝜇𝑝 𝑃 𝑦𝑄 𝜇𝑝 𝑃 𝑦 𝜇𝑝 𝑃 𝑄 𝜇𝑝 Ă 𝐿 𝜇𝑝 𝑃 𝑄
onde usamos 𝜇𝑝 Ă 𝐿 𝜇𝑝 𝑃 𝑦 . O resultado segue da observação de que 𝜇𝑝 𝑃 𝑄 Ȃ .
Agora, a igualdade é válida se, e somente se, 𝜇𝑝 𝑃 𝑄 . Isso significa que o
campo vetorial 𝑃 Ȃ Ȃ𝑥 𝑄 Ȃ Ȃ𝑦 é não singular em 𝑝. O fato de 𝑃 𝑝 implica em 𝑄 𝑝 Ȃ . Isso nos dá ao menos um autovalor não nulo para 𝑃 Ȃ Ȃ𝑥 𝑄Ȃ Ȃ𝑦, implicando (i) ou (ii). Reciprocamente, se 𝑝 é uma singularidade não degenerada, então 𝜇𝑝 Ă 𝜇𝑝 Ă 𝐿 . No caso de uma sela-nó tendo 𝑦 como separatriz fraca, após
uma mudança analítica de coordenadas, podemos dizer que temos a forma normal da sela- nó: 𝑥𝑘 Ȃ Ȃ𝑥 𝑦 𝜆𝑥𝑘 Ȃ Ȃ𝑦, em que 𝜆 Ȃ Ă e 𝑘 Ȃ (veja [5] para mais detalhes). Note
ainda que 𝜇𝑝 Ă 𝜇𝑝 Ă 𝐿 𝑘 . Para ver isso, note que uma base para a Ă-álgebra
quociente 𝒪𝑝 ĂĂ, onde ĂĂ ܂𝑥𝑘 𝑦 𝜆𝑥𝑘 ܂, é dada por 𝑥 𝑥 𝑥𝑘 , uma vez
que 𝑥𝑘 Ȃ Ă
Ă e 𝑦 Ȃ 𝑦𝑥𝑘 ĂĂ.
Observe que se uma reta 𝐿 é invariante por uma folheação Ă em Ă então
𝑑 ∑ 𝑝Ȃ𝐿 𝜇𝑝 Ă 𝐿 Ȃ ∑ 𝑝Ȃ𝐿 𝜇𝑝 Ă
CAPÍTULO 2.
M
ODELOS PRIMITIVOS 46 onde 𝑑 grau Ă . Assim, o valor mínimo assumido por∑𝑝Ȃ𝐿𝜇𝑝 Ă é 𝑑 , e isso ocorrese, e somente se, 𝜇𝑝 Ă 𝜇𝑝 Ă 𝐿 Ȃ 𝑝 Ȃ 𝐿. Nesse caso, a Proposição2.2.2 diz que os
pontos 𝑝 Ȃ 𝑆𝑖𝑛𝑔 Ă Ȃ 𝐿 ou são não degenerados ou são sela-nós.
Agora, consideremos uma folheação não primitiva Ă de grau 𝑑 , tendo um modelo primitivo ˜Ă de grau Ȁ𝑑 . Denotamos o graus afins de Ă e ˜Ă, respectivamente, por 𝑑 e Ȁ𝑑. Somando os números de Milnor dessas folheações e utilizando a relação entre eles para a parte afim, encontrada na Proposição2.1.22, teremos que
∑ Ă 𝜇𝑝 Ă ∑ Ă 𝜇𝑝 Ă ∑ 𝐿Ȃ 𝜇𝑝 Ă 𝑚 ∑ Ă 𝜇𝑝 Ă˜ ∑ 𝐿Ȃ 𝜇𝑝 Ă 𝑚 ( ∑ Ă 𝜇𝑝 Ă Ȃ˜ ∑ 𝐿Ȃ 𝜇𝑝 Ă˜ ) ∑ 𝐿Ȃ 𝜇𝑝 Ă
Assim, usando (1.7), obtemos ∑ 𝐿Ȃ 𝜇𝑝 Ă Ȃ 𝑚 ∑ 𝐿Ȃ 𝜇𝑝 Ă˜ ∑ Ă 𝜇𝑝 Ă Ȃ 𝑚 ∑ Ă 𝜇𝑝 Ă˜ 𝑑 𝑑 Ȃ 𝑚 Ȁ𝑑 𝑑Ȁ (2.31)
Os valores de 𝑑 e Ȁ𝑑 em termos dos graus afins 𝑑 e Ȁ𝑑 dependem somente do fato de a reta do infinito 𝐿Ȃ ser invariante ou não pelas folheações Ă e ˜Ă. Sendo 𝐿Ȃ sempre
invariante por Ă, como provado na Proposição2.1.6, teremos 𝑑 𝑑. Consideremos assim os dois casos seguintes:
Caso 1: 𝐿Ȃnão é ˜Ă-invariante. Temos aqui 𝑑 𝑑 e Ȁ𝑑 𝑑 Ȃ . A equação (Ȁ 2.31)
nos dá ∑ 𝐿Ȃ 𝜇𝑝 Ă Ȃ 𝑚 ∑ 𝐿Ȃ 𝜇𝑝 Ă˜ 𝑑 𝑑 Ȃ 𝑚 𝑑 ȂȀ 𝑑Ȁ 𝑚 Ȁ𝑑 𝑚 Ȁ𝑑 Ȃ 𝑚 Ȁ𝑑 Ȃ Ȁ𝑑 𝑚 Ȁ𝑑 Ȃ 𝑚 Ȁ𝑑
CAPÍTULO 2.
M
ODELOS PRIMITIVOS 47 Suponha que ∑𝐿Ȃ𝜇𝑝 Ă 𝑑 𝑑 , isto é, que seja minimal a soma dosnúmeros de Milnor de Ă em 𝐿Ȃ.
Isso nos dá
Ȃ𝑚 ∑
𝐿Ȃ
𝜇𝑝 Ă˜ 𝑚 Ȁ𝑑 Ȃ
que, por sua vez, é equivalente a ∑
𝐿Ȃ
𝜇𝑝 Ă˜ Ȃ Ȁ𝑑
Isso implica que Ȁ𝑑 e∑𝐿Ȃ𝜇𝑝 Ă˜ .
A
FIRMAÇÃO 2.2.3. Nas condições acima para Ȁ𝑑 e ∑𝐿Ȃ𝜇𝑝 Ă˜ podemos afirmarque ˜Ă é a folheação radial.
Demonstração. Com efeito, o fato de ser ∑𝐿Ȃ𝜇𝑝 Ă˜ , nos diz que a reta no infinito
é não invariante. Tendo em vista a equação (1.4), vemos que Ă deve ser induzida em coordenadas afins 𝑥 𝑦 Ȃ Ă por um campo da forma
Ȁ 𝑥𝐺 𝑥 𝑦 𝛼 Ȃ
Ȃ𝑥 𝑦𝐺 𝑥 𝑦 𝛽
Ȃ Ȃ𝑦
Sendo grau𝑎 Ă˜ vemos que 𝐺 𝑥 𝑦 𝜆 Ȃ Ă Ȃ . Temos, pois, que ˜Ă é uma folheação radial com centro
( Ȃ𝛼 𝜆 Ȃ𝛽 𝜆 ) Ȃ Ă .
Assim, Ă é uma folheação homogênea. Como comentado na Observação2.1.17, para uma folheação homogênea Ă de grau 𝑑 , é válido que ∑𝐿Ȃ𝜇𝑝 Ă 𝑑 . Temos,
portanto, o seguinte resultado.
P
ROPOSIÇÃO 2.2.4. Seja Ă uma folheação não primitiva de grau 𝑑 que deixa 𝐿Ȃinvariante. Suponha que Ă tenha um modelo primitivo ˜Ă para a qual 𝐿Ȃé não invariante.
É válido então que∑𝐿Ȃ𝜇𝑝 Ă 𝑑 se, e somente se, Ă for uma folheação homogênea
CAPÍTULO 2.
M
ODELOS PRIMITIVOS 48 Caso 2: 𝐿Ȃé ˜Ă-invariante. Temos, nesse caso, 𝑑 𝑑 e Ȁ𝑑 𝑑, assimȀ∑ 𝐿Ȃ 𝜇𝑝 Ă Ȃ 𝑚 ∑ 𝐿Ȃ 𝜇𝑝 Ă˜ 𝑑 𝑑 Ȃ 𝑚 Ȁ𝑑 𝑑Ȁ 𝑚 Ȁ𝑑 𝑚 Ȁ𝑑 Ȃ 𝑚 Ȁ𝑑 𝑑Ȁ Ȃ𝑚 Ȁ𝑑 𝑚 Ȁ𝑑 Ȃ 𝑚
Suponha agora que valha a condição de minimalidade∑𝐿Ȃ𝜇𝑝 Ă˜
Ȁ 𝑑 𝑑Ȁ . Isso é equivalente a ∑ 𝐿Ȃ 𝜇𝑝 Ă Ȃ 𝑚 Ȁ𝑑 Ȃ𝑚 Ȁ𝑑 𝑚 Ȁ𝑑 Ȃ 𝑚
o que por sua vez equivale a ∑
𝐿Ȃ
𝜇𝑝 Ă 𝑚 Ȁ𝑑 𝑑 𝑑
Chegamos, portanto, à seguinte conclusão:
P
ROPOSIÇÃO 2.2.5. Seja Ă uma folheação não primitiva de grau 𝑑 tendo um modelo primitivo ˜Ă de grau Ȁ𝑑 . Suponha que ˜Ă deixa 𝐿Ȃinvariante. Então,∑𝐿Ȃ𝜇𝑝 Ă˜Ȁ 𝑑 se, e somente se,∑𝐿Ȃ𝜇𝑝 Ă 𝑑 .
O resultado acima, mostra um interessante comportamento das folheações não primitivas e de seus modelos primitivos. Se Ă é uma folheação não primitiva tendo ˜Ă como modelo primitivo, ambas com a reta no infinito invariante, então, a passagem de ˜Ă para Ă degenera todas as singularidades no plano afim Ă , no sentido de que 𝜇𝑝 Ă 𝑚 𝜇𝑝 Ă˜
para todo 𝑝 Ȃ 𝑆𝑖𝑛𝑔 Ă ȂĂ 𝑆𝑖𝑛𝑔 ˜Ă ȂĂ , em que 𝑚 é o grau de ramificação. Por outro
lado, esse processo não degenera as singularidades de ˜Ă que estão sobre 𝐿Ȃ, tendo em vista
que, considerando a Proposição 2.2.2, se todas as singularidades de ˜Ă sobre 𝐿Ȃ são não
degeneradas ou sela-nó com separatriz fraca sobre 𝐿Ȃ, então a mesma propriedade é válida
Capítulo
3
E
QUIVALÊNCIA LINEAR3.1 F
OLHEAÇÕES LINEARMENTE EQUIVALENTESNesta seção, exploraremos o conceito de equivalência linear já introduzido no capítulo anterior, na Seção 2.1.1. Consideramos Ă e Ă folheações de mesmo grau em Ă onde fixamos um sistema de coordenadas afins 𝑥 𝑦 Ȃ Ă de modo que nessas coordenadas, essas folheações sejam induzidas, respectivamente, pelas 1-formas
𝜔 𝑃 𝑥 𝑦 𝑑𝑥 𝑄 𝑥 𝑦 𝑑𝑦 e 𝜔 𝑃 𝑥 𝑦 𝑑𝑥 𝑄 𝑥 𝑦 𝑑𝑦 (3.1) Diremos que Ă e Ă são folheações linearmente equivalentes com respeito às coordenadas 𝑥 𝑦 Ȃ Ă se existem 𝛼 𝛽 𝛾 𝛿 Ȃ Ă satisafazendo 𝛼𝛿 Ȃ 𝛽𝛾 Ȃ e
̂ ࠏ ̂ ࠏ ̂ 𝑃 𝑥 𝑦 𝛼𝑃 𝑥 𝑦 𝛽𝑄 𝑥 𝑦 𝑄 𝑥 𝑦 𝛾𝑃 𝑥 𝑦 𝛿𝑄 𝑥 𝑦
Vimos, dentre outras propriedades, que esta define uma relação de equivalência no espaço das folheações de Ă e que, em uma mesma classe de equivalência por essa relação, todas as folheações possuem o mesmo conjunto singular na parte afim e os mesmos números de Milnor nos pontos de Ă . Provamos também que os feixes lineares polares com respeito a uma reta fixada classificam as classes de equivalência por essa relação, ou seja, duas folheações Ă e Ă como acima possuem o mesmo feixe linear polar com respeito à uma reta 𝐿 se, e somente se, Ă e Ă são linearmente equivalentes quando a reta 𝐿 é
CAPÍTULO 3.
E
QUIVALÊNCIA LINEAR 50 tomada como a reta no infinito em relação ao sistema de coordenadas afins. Um outro resultado interessante acerca dessa relação de equivalência nos diz que duas folheações em Ă linearmente equivalentes Ă e Ă que possuem a mesmas curvas polares PĂ𝑙 e P Ă 𝑙 em
relação a um ponto 𝑙 Ȃ Ă Ȃ 𝐿Ȃcoincidem.
P
ROPOSIÇÃO 3.1.1. Se Ă e Ă são folheações linearmente equivalentes com PĂ 𝑙 PĂ 𝑙
para algum ponto 𝑙 Ȃ Ă Ȃ 𝐿Ȃ, então Ă Ă .
Demonstração. Por uma mudança afim de coordenadas, podemos supor que 𝑙 Ȃ Ă . Sabemos que existe 𝑔
( 𝛼 𝛽 𝛾 𝛿 ) tal que ̂ ࠏ ̂ ࠏ ̂ 𝑃 𝑥 𝑦 𝛼𝑃 𝑥 𝑦 𝛽𝑄 𝑥 𝑦 𝑄 𝑥 𝑦 𝛾𝑃 𝑥 𝑦 𝛿𝑄 𝑥 𝑦 (3.2)
Por outro lado, sabemos de [19] que duas curvas polares 𝑃Ă e 𝑃Ă são iguais se, e somente
se, na parte afim, Ă é modificação radial de Ă , ou seja, a forma 𝜔 induzindo a folheação Ă difere da forma 𝜔 que induz a folheação Ă por um múltiplo da forma que induz a folheação radial. Temos assim, a seguinte equação
𝜔 𝜔 𝐺 𝑥 𝑦 𝑦𝑑𝑥 Ȃ 𝑥𝑑𝑦 (3.3)
Por (3.2), a equação acima equivale a 𝑃 𝑥 𝑦 𝑑𝑥 𝑄 𝑥 𝑦 𝑑𝑦
𝛼𝑃 𝑥 𝑦 𝛽𝑄 𝑥 𝑦 𝑑𝑥 𝛾𝑃 𝑥 𝑦 𝛿𝑄 𝑥 𝑦 𝑑𝑦 𝐺 𝑥 𝑦 𝑦𝑑𝑥 Ȃ 𝑥𝑑𝑦 que, por sua vez, é equivalente a
𝛼 Ȃ 𝑃 𝑥 𝑦 𝛽𝑄 𝑥 𝑦 𝑑𝑥 𝛿 Ȃ 𝑄 𝑥 𝑦 𝛾𝑃 𝑥 𝑦 𝑑𝑦 𝑦𝐺 𝑥 𝑦 𝑑𝑥 Ȃ 𝑥𝐺 𝑥 𝑦 𝑑𝑦
CAPÍTULO 3.
E
QUIVALÊNCIA LINEAR 51 Temos então o seguinte sistemâ ̂ ̂
𝛼 Ȃ 𝑃 𝑥 𝑦 𝛽𝑄 𝑥 𝑦 𝑦𝐺 𝑥 𝑦
𝛿 Ȃ 𝑄 𝑥 𝑦 𝛾𝑃 𝑥 𝑦 Ȃ𝑥𝐺 𝑥 𝑦
Do sistema acima, devemos ter necessariamente que 𝛼 𝛿 𝛽 𝛾 . Caso contrário, quaisquer outros valores para 𝛼 𝛽 𝛾 e 𝛿 implicaria a existência de um fator comum 𝐺 𝑥 𝑦 para 𝑃 𝑥 𝑦 e 𝑄 𝑥 𝑦 . Concluímos, então, que 𝑔
( )
, ou seja, Ă Ă .