Estudos de NAAMAN (1990) e NAAMAN e ALKHAIRI (1991)

Os dois trabalhos buscaram desenvolver uma metodologia para a determinação de tensões no concreto e no aço de vigas protendidas com cabos não aderentes, internos ou externos, em serviço e no estado limite último.

Primeiramente NAAMAN (1990) desenvolveu um procedimento de cálculo para o caso da protensão não aderente, partindo do caso de cabos aderentes e introduzindo um coeficiente redutor de deformações, Ω. Em seguida, NAAMAN e ALKHAIRI (1991) usaram um coeficiente redutor de deformações para o estado limite último, Ωu, que levou a melhores resultados que a metodologia original.

O coeficiente de redução das deformações para a seção de momento fletor máximo é a razão entre a variação da deformação no cabo não aderente e a no cabo aderente equivalente e sua dedução pode ser vista em ALMEIDA (2001).

A Figura 2-8 representa de maneira esquemática a relação momento fletor-deslocamento vertical para a seção transversal de uma viga com protensão não aderente.

Segundo NAAMAN (1990), é possível dividir essa relação em 4 estágios, que representam o comportamento linear elástico não fissurado (trecho A-B), o aparecimento da primeira fissura (trecho B-C), o comportamento linear elástico no estado fissurado (trecho C-D) e comportamento não linear fissurado (trecho D-E). O ponto E corresponde ao valor máximo de momento fletor e o F ao de ruptura. Foram estabelecidas expressões para os coeficientes de redução de deformação relativos a diferentes estágios.

Para o estágio linear elástico não fissurado, trecho A-B, o coeficiente de redução de deformações, Ω, depende apenas da armadura e do tipo de carregamento. Os efeitos de segunda ordem são desprezados e considera-se que o comportamento dos materiais é linear elástico. Essas premissas são válidas para a determinação da tensão nos cabos (equação 2.3) para um valor de momento fletor M variando entre o devido às cargas permanentes, Mg, e o de fissuração, Mcr.

15 Figura 2-8 – Diagrama esquemático da relação entre momento fletor e deslocamento vertical da seção de maior momento fletor de viga com cabos protendidos não aderentes

internos ou externos (NAAMAN, 1990, p. 352).

( )

em: excentricidade do cabo de protensão no meio do vão Ec: módulo de elasticidade longitudinal do concreto

Aps: área da seção transversal da armadura de protensão externa Ag: área da seção transversal bruta de concreto

Ig: momento de inércia da seção bruta de concreto

Quando o momento fletor atuante ultrapassa o momento de fissuração, é dado início ao estágio linear elástico no estado fissurado, trecho C-D. A viga é então dividida em duas regiões, uma fissurada e outra não fissurada com momentos de inércia Icr e Ig, respectivamente. Define-se para essa etapa o coeficiente redutor Ωc que depende de Ω, da relação entre o momento de inércia da seção fissurada e da seção bruta, Icr/Ig, e da relação entre o comprimento da região fissurada e o vão, Lc / L. As expressões para o cálculo de Ω e Ωc, para alguns casos de carregamento e cabos com um desviador, encontram-se na Tabela 2-1. NAAMAN (1990) limitou-se a uma verificação do comportamento em serviço, assumindo comportamento linear elástico para os materiais e desprezando os efeitos de segunda ordem provenientes da mudança de excentricidade

δ δδδ

16 dos cabos externos com o aumento de carga. Analisando as expressões de Ωc, constata-se que, constata-se o valor de Lc / L for pequeno, o de Ωc fica aproximadamente igual ao de Ω.

A determinação de tensões nos cabos e no concreto é feita por meio de um processo iterativo, pois dependem da altura da linha neutra x. A partir das equações de equilíbrio, de compatibilidade de deformações e de relações entre tensões e deformações dos materiais, chega-se a uma equação de terceiro grau em x, onde a deformação no concreto aparece multiplicada por Ωc, que, por sua vez, depende da altura da linha neutra. Uma vez encontrada a posição da linha neutra, é possível determinar a tensão no cabo com a equação (2.4) e a tensão na fibra mais comprimida do concreto com a equação (2.5), onde tensões e deformações entram em módulo.



εce: deformação específica longitudinal do concreto no nível dos cabos externos ds: altura útil da armadura longitudinal de tração passiva

ds’: altura útil da armadura longitudinal de compressão passiva b: largura da mesa da seção transversal T ou I

bw: largura da alma da seção transversal T ou I ou largura da seção retangular hf: altura da mesa da seção transversal T ou I

As: área da seção transversal da armadura longitudinal de tração passiva As’: área da seção transversal da armadura longitudinal de compressão passiva

Es, Es’: módulo de elasticidade longitudinal do aço de armadura passiva de tração e de compressão

NAAMAN (1990) limitou-se a uma verificação do comportamento em serviço, assumindo comportamento linear elástico para os materiais e desprezando os efeitos de segunda ordem provenientes da mudança de excentricidade dos cabos externos com o aumento de carga.

17 Tabela 2-1 – Fatores Ω, Ωc e Ωu para diferentes carregamentos e cabos com um

desviador.

Estado não

fissurado Estado fissurado ELU

m coeficiente Ωu depende do tipo de carregamento e da relação entre vão e altura útil dos cabos L/dp e é valido para vigas bi-apoiadas (ver Tabela 2-1). Para que os valores calculados sejam inferiores aos obtidos experimentalmente, a tensão nos cabos é limitada a 0,94 fpy. Dessa forma garante-se que as tensões nos cabos permaneçam trabalhando no regime elástico linear, como admitido.

A posição da linha neutra no estado limite ultimo é obtida resolvendo-se a equação (2.7). De posse do valor de xu, a tensão nos cabos na seção crítica fica determinada pela equação (2.6). Nessas equações, é adotado o valor de 3‰ para εcu.

py

18 l1: soma de comprimentos de trechos do vão com cabos e carregados

l2: comprimento entre ancoragens do cabo

β1 : fator que multiplicado pela altura da linha neutra fornece a altura do diagrama de tensões de compressão retangular no concreto

A equação (2.9) é para o caso de β1 x > hf; para vigas com linha neutra na mesa ou seção retangular, b=bw.