Celulares
Estudos Analíticos 2.2.1
A primeira metodologia desenvolvida para o estudo da flambagem do montante de alma em vigas celulares foi apresentada por Ward (1990). Em seu estudo, o modo de colapso é governado por um mecanismo de flexão (causado pelo desenvolvimento de rótulas plásticas) ou por flambagem. Assim, visando o desenvolvimento de curvas para o dimensionamento do montante de alma, foram realizadas diversas análises numéricas via MEF considerando comportamento elastoplástico do material. De acordo com o autor, esse tipo de colapso foi assumido como dependente dos detalhes geométricos do montante de alma. Como limitação, somente seções transversais simétricas (aberturas dispostas no centro da alma) foram abordadas.
Lawson et al. (2002) abordou uma nova metodologia para a análise da flambagem do montante de alma em vigas celulares e vigas celulares mistas de aço e concreto simétricas. Essa metodologia foi baseada em uma zona de compressão (‘strut’ model) calibrada através de análises via método dos elementos finitos. As tensões de compressão e tração devidas à força horizontal no meio do montante de alma, conforme ilustrado na Fig. 2.1, variam no
Figura 2.1 – Tensões no entorno do montante de alma (Lawson et al., 2002).
Com base no método do laço, Lawson et al. (2006) desenvolveram um procedimento de cálculo para a flambagem do montante de alma em vigas celulares e vigas celulares mistas de aço e concreto assimétricas.
Estudos Experimentais e Numéricos 2.2.2
Sherbourne (1966) observou a interação entre forças cisalhantes e momentos fletores no comportamento das vigas casteladas sob variadas combinações de carregamentos. Sete vigas submetidas a condições de cisalhamento constante no entorno da castelação central e momento puro foram ensaiadas. Dessas vigas, duas apresentaram flambagem do montante de alma como modo de colapso, sendo uma em zona de cisalhamento máximo (considerando dois pontos de aplicação de cargas) e outra sob efeito de cisalhamento constante no entorno da castelação central.
Halleux (1967) realizou testes destrutivos em cinco vigas casteladas simplesmente apoiadas com padrões geométricos distintos considerando a aplicação de duas cargas concentradas nos terços médios do vão. As vigas sofreram colapso devido ao mecanismo Vierendeel.
Bazile e Texier (1968) ensaiaram duas séries de vigas casteladas visando à observação do comportamento das mesmas segundo diferentes propriedades geométricas e razões de expansão. Todas as vigas foram simplesmente vinculadas e testadas considerando a atuação de oito cargas concentradas. Foi observado que três das seis vigas ensaiadas apresentaram
como modo de colapso a flambagem do montante de alma em região de cisalhamento máximo.
Em uma série de testes, Kerdal e Nethercot (1984) investigaram os modos de colapso e seus fatores condicionantes em vigas casteladas. Foi observado que a flambagem do montante de alma está associada à geometria das vigas, assim como ao tipo de carregamento e vinculação.
Duas grandes séries de ensaios destrutivos foram realizadas pela primeira vez para vigas celulares sobre supervisão do British Steel Construction Institute (BSCI). A primeira série foi realizada pela Universidade de Bradford em 1955 e a segunda pela Universidade de Leeds em 1988. Os resultados obtidos não foram publicados.
Devido ao surgimento de novas tipologias de vigas alveolares, Zaarour e Redwood (1996) ressaltaram a importância de novos estudos do comportamento estrutural de vigas com essas novas tipologias. Com isso, foram realizados doze ensaios em vigas casteladas Bantam (perfis laminados leves fabricados pela Chaparral Steel), com o intuito de observar a flambagem do montante de alma, juntamente com análises numéricas inelásticas via MEF. A instabilidade foi observada em dez casos. De modo geral, pode-se considerar que os modelos numéricos apresentaram resultados de deslocamentos satisfatórios. Entretanto, devido a algumas aproximações, os resultados de cargas últimas observados foram superiores aos valores experimentais. Com base nos resultados, considerando o método das diferenças finitas, foi proposto um processo gráfico como ferramenta auxiliar para a estimativa da capacidade resistente das vigas casteladas.
Redwood e Demirdjian (1998) estudaram a flambagem local da alma por cisalhamento em vigas casteladas em um ensaio com quatro perfis com seções transversais e configurações de aberturas idênticas, variando apenas o vão. O maior foco do experimento era investigar a flambagem do montante de alma e estudar a influência da interação momento-cisalhamento na instabilidade. Adicionalmente, foram desenvolvidos modelos numéricos utilizando as mesmas configurações geométricas dos modelos experimentais. Considerando a análise elástica de bifurcação via MEF, comparativamente aos modelos experimentais, foi observado que todas as cargas críticas numéricas foram inferiores aos valores experimentais. A variação média foi de 9%. Além disso, os resultados demonstraram que a utilização de uma análise elástica para a estimativa da resistência do montante de alma submetido a forças de cisalhamento elevadas é válida.
todas as vigas apresentaram como modo de colapso o mecanismo Vierendeel, exceto uma delas que sofreu flambagem do montante de alma. Adicionalmente, foi observado que em todos os modelos numéricos as cargas últimas foram em média 19% superiores aos valores experimentais. Outro ponto relevante foi a observação de que grandes deformações plásticas ocorreram antes do colapso das vigas nos modelos numéricos, enquanto nos modelos experimentais somente pequenas deformações foram observadas.
Os resultados com relação às abordagens teóricas demonstraram que a metodologia do SCI segundo Ward (1990) é extremamente conservadora prevendo uma carga média de 76% dos valores observados experimentalmente. Dos métodos propostos, o dimensionamento através de gráficos (design charts) mostrou-se mais preciso e de fácil utilização, além de ser aplicável a qualquer tipo de carregamento.
Como limitação, o programa computacional e o aplicativo de análise (spreadsheet) – derivado do programa computacional – podem ser utilizados apenas em vigas celulares simplesmente apoiadas sujeitas a cargas concentradas. Pode-se observar também que os gráficos desenvolvidos para o dimensionamento não identificam problemas associados a efeitos localizados causados pelas cargas concentradas. Adicionalmente, uma das complexidades dessa metodologia foi estabilizar um comprimento efetivo razoável para a zona de compressão devido ao complexo estado de tensões composto no entorno das aberturas.
Bake (2010) avaliou o comportamento de vigas celulares mistas de aço e concreto à temperatura ambiente e em situação de incêndio. Dentre outras observações, o autor sugere que os trabalhos futuros avaliem a capacidade resistente à flambagem do montante de alma submetido a elevadas temperaturas.
Tsavdaridis e D’Mello (2010) investigaram e compararam, através de um programa experimental e modelos desenvolvidos em elementos finitos, o comportamento de vigas alveolares com novas tipologias de aberturas quanto à flambagem do montante de alma.
Conforme ilustrado na Fig. 2.2, com relação às vigas celulares A1 e B1, os modelos numéricos apresentaram resultados muito próximos aos obtidos experimentalmente. Em ambos foram observados elevados níveis de tensões nos montantes de alma.
a) – Modelo experimental A1 e modelo numérico.
b) – Modelo experimental B1 e modelo numérico.
Figura 2.2 – Modelos experimentais A1 e B1 após ensaios e tensões de von-Mises dos modelos numéricos (Tsavdaridis e D’Mello, 2010).
Comparando-se os experimentos A1 e B1 observa-se que a espessura do montante de alma afeta a capacidade das vigas celulares.
Tsavdaridis e D’Mello (2011) apresentaram técnicas para a modelagem em elementos finitos de vigas alveolares considerando a flambagem do montante de alma. Para tal, foram ensaiadas duas vigas alveolares, uma castelada e a outra celular, sendo essa última foco da análise. Similarmente aos modelos experimentais, foram desenvolvidos dois modelos em elementos finitos no programa ANSYS. O primeiro modelo, para a determinação da carga crítica de flambagem, utiliza uma solução linearizada através de autovalores (que fornecem as cargas de flambagem) e autovetores (que fornecem os modos de flambagem). Já o segundo modelo utiliza uma análise não linear incremental através de ‘cargas de gatilho’ (trigger load) que induzem a peça à instabilidade.
Os resultados apresentaram valores de cargas superestimados em decorrência do limitado número de nós (quatro) dos elementos, além da utilização da integração reduzida minimizando problemas numéricos como o efeito de bloqueio do cisalhamento (shear
Ellobody (2011) propôs o desenvolvimento de um modelo tridimensional em elementos finitos considerando a não linearidade geométrica e de material e destacando a interação entre os modos de flambagem em vigas celulares. Um extensivo estudo paramétrico foi desenvolvido para investigar o comportamento das cargas últimas e dos modos de flambagem das mesmas segundo diferentes geometrias da seção transversal, vãos e esbeltezes. Diferentemente dos outros trabalhos apresentados, foi observada a consideração de tensões residuais nos modelos numéricos. Segundo o autor, pode-se utilizar a mesma distribuição de tensões recomendada para perfis I duplamente simétricos, assumindo que o processo de corte seja cuidadosamente conduzido.
Os resultados demonstraram que as vigas celulares que apresentaram como modo de colapso a flambagem distorcional da alma associada à flambagem do montante de alma apresentaram uma redução considerável da carga última. Ademais, foi observado que a utilização de aço de alta resistência contribuiu para um aumento considerável das cargas últimas nas vigas celulares menos esbeltas.
Erdal (2011) avaliou a capacidade última de vigas celulares considerando a variação das propriedades geométricas. Similarmente aos modelos experimentais, para fins de comparação, foram desenvolvidos modelos em elementos finitos considerando as não linearidades geométrica e física. Esses modelos também foram utilizados para determinar as tensões, deformações e deslocamentos nas vigas celulares, além de investigar os modos de colapso, principalmente a flambagem do montante de alma.
A flambagem do montante de alma foi observada em seis experimentos, nos quais as vigas foram apoiadas lateralmente (ver Fig. 2.3). A instabilidade foi associada à carga diretamente aplicada no montante de alma, à sua geometria e às forças horizontais internas.
Figura 2.3 – Flambagem do montante de alma na série NPI_CB_280 (Erdal, 2011). Em comparação com os resultados experimentais, foi observado que os deslocamentos nas mesas no modelo numérico foram em torno de 10% menores que os valores obtidos experimentalmente.
ANÁLISE NUMÉRICA
3.1 Considerações Iniciais
Na elaboração dos modelos numéricos procurou-se representar com fidelidade a geometria e as características físicas dos materiais empregados. Posteriormente, através de um estudo de convergência e sensibilidade de malha, os modelos foram validados por meio de resultados numéricos e experimentais existentes na literatura. Após sua calibração e aferição, foi feita a avaliação do comportamento dos perfis laminados brasileiros da série W através de um estudo paramétrico de acordo com a sua faixa de variação de esbeltez.
Neste trabalho, os modelos numéricos foram desenvolvidos no programa ABAQUS (Hibbit et al., 2009) versão 6.10 que apresenta como base o MEF. De maneira simplificada, o procedimento de resolução é ilustrado na Fig. 3.1. Para uma simulação mais realística, foram consideradas as não linearidades física e geométrica.
Figura 3.1 – Procedimento simplificado de resolução de um problema via MEF. Pré-processador -
Geração do arquivo de entrada
Simulação Geração dos arquivos de saída
Pós-processador - análise dos
3.2 Discretização e Condições de Contorno
Devido à complexidade do comportamento do fenômeno analisado, é necessária a utilização de um elemento plano que incorpore comportamentos associados de flexão e de membrana. Nesse contexto, e sabendo-se que as espessuras das mesas e da alma são significativamente inferiores ao comprimento da viga, a utilização de elementos de casca para a representação do modelo é adequada. A Fig. 3.2 apresenta a geometria desses elementos, assim como a orientação positiva das normais.
Figura 3.2 – Elementos de casca retangular de quatro nós triangular de três nós (Hibbit et al., 2009).
Todos os elementos apresentados possuem seis graus de liberdade por nó (três de translação e três de rotação). Adicionalmente, nesse caso, devido ao comportamento do montante de alma, optou-se por utilizar integração reduzida para minimizar problemas numéricos como o efeito de bloqueio do cisalhamento (shear locking) em elementos de casca.
Inicialmente, o modelo foi discretizado com elementos S4R (elemento retangular de quatro nós com integração reduzida) em uma malha não estruturada. Na discretização utilizada, ao contrário de uma malha estruturada, o número de elementos que rodeiam os nós dos vértices não é constante (ver Fig. 3.3).
a) – Malha estruturada. b) – Malha não-estruturada. Figura 3.3 – Tipos de malha.
Figura 3.4 – Discretização do modelo em elementos S4R com malha não estruturada. Com relação às condições de contorno, a viga, considerada simplesmente apoiada, foi submetida a uma carga concentrada aplicada sobre o enrijecedor central. Além disso, de acordo com a Fig. 3.5, de modo a prevenir a flambagem lateral com torção, a viga foi contida lateralmente nos apoios e no ponto de aplicação da carga.
Figura 3.5 – Condições de contorno.
Contenção lateral (uz = 0)
ux = uy = uz = 0
uy = uz = 0 Ponto de aplicação de carga
Análise Linearizada de Estabilidade 3.2.1
A carga crítica de flambagem elástica foi estimada através de uma análise numérica pelo MEF. Os autovalores (cargas críticas) associados aos autovetores (modos de flambagem) permitiram uma avaliação do comportamento da estrutura considerando o tipo de carregamento e as condições de contorno a que essa foi submetida. De modo geral, apenas o menor autovalor é de interesse. Ademais, nesse tipo de análise as não linearidades físicas não são incorporadas ao modelo.
Consideração da não Linearidade Geométrica 3.2.2
A não linearidade geométrica foi considerada através da introdução das imperfeições geométricas iniciais no modelo. Trata-se de perturbações aplicadas no modelo elástico (geometricamente “perfeito”) com o intuito de se observar o comportamento pós-flambagem da estrutura. Tais imperfeições são baseadas nos modos de flambagem (previamente determinados na análise linearizada de estabilidade) e funcionam como um ‘gatilho’ para iniciar a análise não linear incremental.
Para os problemas abordados neste trabalho, em concordância com Vieira (2011) e Ferrari (2013), foi utilizado aqui o valor de imperfeição igual a 1/2000 da altura total da viga celular. Entretanto, com o avanço das pesquisas, acredita-se que novos valores possam ser utilizados.
Consideração da não Linearidade Física 3.2.3
Através da análise não linear pode-se estimar a carga máxima resistente de uma determinada estrutura sem que esta se torne instável ou entre em colapso. Para tal, além da consideração das imperfeições geométricas, também foram consideradas as não linearidades do material através do diagrama trilinear elastoplástico proposto por Earl (1999) e utilizado por diversos pesquisadores, como Castro e Silva (2006), conforme ilustrado na Fig. 3.6.
O aço estrutural considerado foi o ASTM A572-Grau 50 (usado normalmente na fabricação dos perfis laminados brasileiros da série W), que possui resistência ao escoamento fy igual a 345 MPa e resistência à ruptura fu igual a 450 MPa, com o módulo de elasticidade E suposto igual a 200.000 MPa. As deformações correspondentes ao final de cada zona foram retiradas
Figura 3.6 – Diagrama trilinear elastoplástico (Earl, 1999).
Para a determinação das deformações plásticas, devem-se utilizar três propriedades que caracterizam o comportamento do material:
superfície de escoamento – especifica o estado de tensões multiaxial correspondente ao início do escoamento. Para o aço foi considerada a função de escoamento de von Mises;
regra de fluxo – define a propagação das deformações plásticas no contínuo através da relação tensão e deformação. Utiliza como base uma superfície chamada superfície potencial;
regra de encruamento – especifica como a função de escoamento é modificada após o material ter atingido o escoamento. Neste trabalho, se tratando de um caso bidimensional, considera-se o modelo de encruamento isotrópico.
Em uma análise não linear, para cada incremento de carga, devem-se verificar quais regiões sofreram plastificação para que essas possam ter as rigidezes atualizadas, assim como toda a estrutura.
Desse modo, nesse incremento de carga, sabendo-se que as tensões calculadas se situam fora do volume limitado pela superfície de escoamento, deve-se determinar a real condição da estrutura através das três propriedades descritas.
Processo Incremental e Iterativo de uma Análise não Linear 3.2.4
A solução de um problema não linear acontece através da resolução das equações de equilíbrio não lineares. O processo é iterativo, ou seja, passo a passo. Simultaneamente à atualização da matriz de rigidez, incrementa-se o carregamento aplicado a fim de definir o novo caminho de equilíbrio do modelo. Neste estudo foi considerado o método de Riks que apresenta uma implementação do método de Newton-Raphson, cuja solução é obtida por um caminho único de equilíbrio através do comprimento do arco constante (arc-length) num espaço definido pelas variáveis de deslocamento (u) e de carga (P). Esse método também pode ser utilizado em casos em que a carga diminui e os deslocamentos aumentam (snap- through) ou a carga e os deslocamentos diminuem (snap-back) (ver Fig. 3.7), ao contrário do método de Newton-Raphson que para esses casos de instabilidade torna-se uma ferramenta insuficiente. Entretanto, devido ao maior número de iterações necessárias para a sua solução (pode ser considerado que o método é mais ‘caro’ computacionalmente), o método de Riks deve ser utilizado somente em situações onde a aplicação do método de Newton-Raphson não pode ser aplicado.
Figura 3.7 – Instabilidades solucionadas pelo método de Riks.
Após a primeira iteração, a acurácia e a eficiência da solução são verificadas através do critério de convergência que pode ser baseado em deslocamentos, cargas ou energia. Entretanto, com o intuito de assegurar uma resposta precisa e consistente, recomenda-se uma combinação dos três critérios. Em adição, ao utilizar uma análise via MEF, deve-se salientar que a utilização de elementos distorcidos compromete a convergência da análise, pois a cada
u P u P Snap-through Snap-back
Figura 3.8 – Metodologia simplificada de uma análise não linear.
Validação do Modelo Numérico 3.2.5
Para a utilização do modelo numérico desenvolvido neste trabalho, primeiramente, foi feita a sua aferição com base em resultados experimentais encontrados na literatura. Nesse contexto, foram consideradas as viga celulares NPI_240_CB, 4B e B1 ensaiadas por Erdal (2011), Warren (2001) e Tsavdaridis e D’Mello (2010), respectivamente. As dimensões são apresentadas na Tab. 3.1. Maiores detalhes sobre os programas experimentais estão disponíveis nas respectivas referências.
Tabela 3.1 – Propriedades geométricas das vigas celulares Determinação dos
incrementos de carga ΔF e Δu
Iterações (k = 1, 2, 3, ..., kmáx.)
Verificação da convergência: OK - Recomeçar o processo com um novo
incremento de carga N OK - Corrigir o incremento de deslocamento através do método de Riks
Atualização das variáveis incrementais e totais
Modelo dg (mm) Do (mm) p (mm) tw (mm) bf (mm) tf (mm) L (mm)
NPI_240_CB 355,6 251,0 344,0 8,7 106,0 13,1 2846
4B 463,2 325,0 400,0 5,8 101,6 8,0 7400
Considerando as propriedades físicas dos materiais empregados nos ensaios, para as vigas celulares NPI_240_CB, admitiu-se o aço com módulo de elasticidade igual a 185.000 MPa, coeficiente de Poisson igual a 0,3; resistência ao escoamento igual a 290 MPa e resistência à ruptura igual 405 MPa. Para o modelo 4B, as propriedades físicas da alma e das mesas foram representadas através dos diagramas bilineares elastoplásticos ilustrados nas Figs. 3.9 e 3.10.
Figura 3.9 – Diagrama bilinear elastoplástico da alma para o modelo 4B.
Figura 3.10 – Diagrama bilinear elastoplástico das mesas para o modelo 4B.
As propriedades físicas da viga celular B1 foram determinadas através de ensaio de tração. Assim, admitiu-se o aço com módulo de elasticidade igual a 200.000 MPa, coeficiente de Poisson igual a 0,3; resistência ao escoamento igual a 355 MPa e resistência à ruptura igual 480 MPa.
Os valores da carga última deste trabalho foram comparados aos valores obtidos experimentalmente e numericamente por Erdal (2011), Warren (2001) e Tsavdaridis e
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 Tensão (MP a) Deformação 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 Tensão (MP a) Deformação
às obtidas pelos trabalhos originais. Assim, considerou-se válido o modelo numérico desenvolvido.
Tabela 3.2 – Comparação entre cargas últimas deste trabalho e Erdal (2011).
a) – Modelo experimental NPI_240_CB_3. b) – Modelo experimental NPI_240_CB_4. Figura 3.11 – Modos de colapso dos modelos experimentais NPI_240 (Erdal, 2011).
Figura 3.12 – Modelo numérico NPI_240 (Erdal, 2011).
Modelo Pult (kN)
Modelo experimental NPI_240_CB_3 (Erdal, 2011) 284,11 Modelo experimental NPI_240_CB_4 (Erdal, 2011) 286,12 Modelo numérico (Erdal, 2011) 280,00
Figura 3.13 – Modelo numérico NPI_240 (Este trabalho).
Figura 3.14 – Curva carga versus deslocamento para os modelos NPI_240_CB. Tabela 3.3 – Comparação entre cargas ultimas deste trabalho e Warren (2001).
0,0 50,0 100,0 150,0 200,0 250,0 300,0 0 5 10 15 20 C ar g a (kN ) δV (mm) Este trabalho NPI_240_CB_3 (experimental) NPI_240_CB_4 (experimental) Modelo Pult (kN)
Modelo experimental 4B (Warren, 2001) 114,00 Modelo numérico (Warren, 2001) 150,00
Figura 3.15 – Modo de colapso do modelo experimental 4B (Warren, 2001).
Figura 3.16 – Modelo numérico 4B (Este trabalho).
Figura 3.17 – Curva carga versus deslocamento para os modelos 4B. 0,0 20,0 40,0 60,0 80,0 100,0 120,0 140,0 160,0 0 10 20 30 40 50 60 70 C ar g a (kN ) δV (mm) Este trabalho 4B (experimental)
Tabela 3.4 – Comparação entre cargas ultimas deste trabalho e Tsavdaridis e D’Mello (2010).
Figura 3.18 – Modo de colapso do modelo experimental B1 (Tsavdaridis e D’Mello, 2010).
Figura 3.19 – Modelo numérico B1 (Tsavdaridis e D’Mello, 2010).
Figura 3.20 – Modelo numérico B1 (Este trabalho).
Modelo Pult (kN)
Modelo experimental B1 (Tsavdaris e D'Mello, 2010) 255,00 Modelo numérico (Tsavdaris e D'Mello, 2010) 275,00
Figura 3.21 – Curva carga versus deslocamento para os modelos B1.
Outro ponto importante observado foi que a consideração das tensões residuais para a validação do modelo (considerando este modo de colapso) não foi relevante. Entretanto, segundo Vieira (2011) e Ellobody (2011), pode-se utilizar a mesma distribuição de tensões recomendada para perfis I duplamente simétricos. Assim, de maneira discutível, deve-se assumir que os processos de corte e soldagem são cuidadosamente conduzidos de modo a não provocarem alterações nas distribuições das tensões residuais assumidas para perfis I duplamente simétricos. 0,0 50,0 100,0 0 5 10 15 20 C ar g δV (mm) B1 (experimental)