O uso das RANS serve os propósitos da modelação e interpretação numérica e experimental. Porém, neste tipo de escoamentos é corrente usarem-se parâmetros médios no espaço, como por exemplo o coeficiente de rugosidade, sendo que não é específico de um ponto (Franca et al., 2008; Nikora e Goring, 2001; Nikora, McEwan, et al., 2007; Nikora, McLean, et al., 2007; Pokrajac et al., 2008). Verifica-se portanto a necessidade de introduzir a média espacial às RANS.
A metodologia Dupla Média é portanto um processo no qual se procede à média, tanto temporal como espacial, dos termos de velocidade e pressão constantes nas equações fundamentais dos escoamentos. De referir que a passagem das RANS para as DANS representa um “upscalling”, ou seja, são estudados os escoamentos a escalas maiores, não desprezando porém as pequenas escalas que influenciam o escoamento.
Em geral, há duas formas de se obter este tipo de equações, sendo que o resultado de cada uma será o mesmo. A primeira resulta de aplicar a média espacial às equações RANS já introduzidas, uma vez que já se encontram com valores médios temporais. O segundo método é o oposto e obtém-se através do cálculo inicial da média espacial nas equações com variáveis instantâneas e de seguida a aplicação da média temporal. Porém, independentemente do processo escolhido, os termos resultantes das duas operações são idênticos como se pode verificar no resumo presente na Figura 2.7.
Irá ser adotado o primeiro procedimento, pois este apresenta-se como o mais indicado para descrever escoamentos em leitos rugosos. Proceder à média tempo-espaço vai de encontro com as tradições no estudo da turbulência, contrariamente ao segundo método, que não apresenta muitos procedimentos experimentais que o sustentem (Nikora, McEwan, et al., 2007).
No contexto da metodologia da dupla média adota-se uma decomposição de Reynolds adaptada com o intuito de se ter em consideração a variabilidade espacial (Franca et al., 2010)
𝜃 = 〈𝜃̅〉 + 𝜃� + 𝜃′ (2.20)
onde 〈θ�〉 representa a dupla média, θ� a flutuação espacial e θ' reproduz a flutuação temporal da variável em causa (Figura 2.6).
A definição do operador dupla média aplicada a uma variável genérica, 𝜃, é definido por (Nikora, McEwan, et al., 2007):
〈𝜃〉(𝑥, 𝑦, 𝑧) =𝑉1
𝑓� 𝜃 𝑑𝑉𝑉𝑓
(2.21)
Neste contexto 𝑉𝑓 representa o volume do fluido onde se pretende obter o valor da dupla média. 2.3.1. EQUAÇÕES DOUBLE AVERAGED NAVIER-STOKES (DANS)
Para obter a forma final das DANS é necessário introduzir os procedimentos e os teoremas que permitiram obter este conjunto de equações a partir das RANS (Nikora, McEwan, et al., 2007).
O primeiro, conhecido como o teorema geral do transporte serve como ferramenta para proceder à média espacial das derivadas temporais:
〈𝜕𝜃𝜕𝑡〉 =𝛹1𝜕𝛹〈𝜃〉𝜕𝑡 +𝑉1
𝑓� 𝜃𝜐 ∙ 𝑛 𝑑𝑆𝑆𝑖𝑛𝑡
(2.22)
Tal como anteriormente 𝑉𝑓 representa o volume do fluido, 𝑆𝑖𝑛𝑡 é a superfície de interface entre a parte sólida e a parte líquida do volume de controlo, 𝑛 é a componente normal do vetor unitário normal ao leito do canal na direção da superfície livre, υ é a velocidade no leito do escoamento e 𝛹 representa a função de vazios. Esta função corresponde à fração de área ocupada pelo fluido, ou seja, a relação entre a área de fluido (𝐴𝑓) e a área total (𝐴𝑡) a uma determinada cota (𝑧).
𝛹 = 𝛹(𝑧) =𝐴𝑓𝐴(𝑧)
𝑡 (2.23)
O segundo teorema é conhecido como o teorema da média espacial:
〈𝜕𝜃 𝜕𝑥𝑖〉 = 1 𝛹 𝜕𝛹〈𝜃〉 𝜕𝑥𝑖 + 1 𝑉𝑓� 𝜃 𝑛𝑆𝑖𝑛𝑡 𝑖 𝑑𝑆 (2.24)
Por último, a manipulação das RANS após aplicação do operador dupla-média resulta nas equações DANS (Nikora et al., 2004; Nikora, McEwan, et al., 2007; Franca et al., 2010):
𝜕〈𝑢�𝑖〉 𝜕𝑡 +〈𝑢�𝑗〉 𝜕〈𝑢�𝑖〉 𝜕𝑥𝑗 = 𝑔𝑖−𝜌𝛹1 𝜕(𝛹〈𝑝̅〉)𝜕𝑥 𝑖 − 1 𝛹 𝜕 𝜕𝑥𝑗�𝛹 〈𝜐 𝜕𝑢�𝑖 𝜕𝑥𝑗〉 − 𝛹〈𝑢𝚤 ′𝑢 𝚥′ ������〉 − 𝛹〈𝑢�𝑗𝑢�𝑖〉� +𝜌𝑉1 𝑓� 𝑝̅𝑛𝑗 𝑑𝑆 − 1 𝑉𝑓 𝑆𝑖𝑛𝑡 � 𝜐𝜕𝑢�𝜕𝑥𝑖 𝑗 𝑆𝑖𝑛𝑡 𝑛𝑗 𝑑𝑆 (2.25)
Especificamente, e em termos simples, a equação anterior consiste em termos de aceleração do fluido à esquerda equilibrada com parâmetros de força por unidade de massa à direita. Os seus parâmetros- chave definem-se como descrita na Tabela 2.1.
Tabela 2.1 – Termos e significado físico dos termos das DANS (Campbell, 2005; Lory, 2011)
Termo Significado a. 𝜕〈𝑢�𝑖〉 𝜕𝑡 Aceleração local b. 〈𝑢�𝑗〉𝜕〈𝑢�𝜕𝑥𝑖〉 𝑗 Aceleração convectiva c. 𝑔𝑖 Aceleração da gravidade d. 1 𝜌𝛹 𝜕(𝛹〈𝑝̅〉) 𝜕𝑥𝑖
Gradiente de pressão (força por unidade de massa)
e. 1
𝛹
𝜕𝛹〈𝑢������〉𝚤′𝑢𝚥′ 𝜕𝑥𝑗
Gradiente das tensões de Reynolds (ou gradiente das tensões
turbulentas)
f. 1
𝛹
𝜕𝛹〈𝑢�𝑖𝑢�𝑗〉
𝜕𝑥𝑗 Gradiente das tensões dispersivas
g. 1
𝛹 𝜕 𝜕𝑥𝑗𝛹 〈𝜐
𝜕𝑢�𝑖
𝜕𝑥𝑗〉 Gradiente das tensões viscosas
h. 1
𝜌𝑉𝑓� 𝑝̅𝑛𝑆𝑖𝑛𝑡 𝑗 𝑑𝑆
Resistência de forma (por unidade de massa) i. 𝑉1 𝑓∬ 𝜐 𝜕𝑢�𝑖 𝜕𝑥𝑗 𝑆𝑖𝑛𝑡 𝑛𝑗 𝑑𝑆
Resistência Viscosa (por unidade de massa)
A equação (2.25) difere das RANS ao apresentar três importantes termos adicionais: tensões dispersivas, resistência de forma e resistência viscosa indicadas na Tabela 2.1 com as letras f, h e i respetivamente.
A parcela das tensões dispersivas, 〈𝑢�𝑖𝑢�𝑗〉 advém do proceder à média espacial, de igual forma que as tensões de Reynolds, 〈𝑢′𝑖𝑢′𝑗〉 resultam da média temporal. Na Figura 2.7 é apresentada uma matriz dos termos que surgem quando se efetua a média no tempo e no espaço. A célula de baixo, à esquerda, marca o ponto de partida com as variáveis instantâneas. As restantes células mostram o resultado da média efetuada. A média temporal é efetuada subindo ao longo da coluna, desde o fundo para o início da matriz, e encontra-se conotada com os símbolos � ↑. Cada procedimento resulta em dois termos: a média das flutuações ′ ′������ e o produto das médias temporais � � . A média espacial desenvolve-se da esquerda para a direita ao longo das linhas e encontra-se identificada por 〈 〉 →. Este processo produz dois termos: a média do produto das flutuações espaciais 〈 � � 〉 e o produto das médias espaciais 〈 〉〈 〉 (Pokrajac et al., 2008).
Figura 2.7 – Matriz dos termos que surgem no processo de média temporal/espacial e espacial/temporal (Pokrajac et al., 2008)
A aplicação da média espacial a equações que já apresentam valores com médias temporais foi desenvolvida gradualmente através das contribuições de Smith e McLean (1977), Wilson e Shaw (1977), Raupach e Shaw (1982), Finnigan (1985), Raupach et al. (1991), Wang e Tackle (1994), (Giménez-Curto e Lera, 1996) citados nos trabalhos Nikora e Goring (2001) e Nikora, McEwan, et al. (2007). O primeiro marca o início da aplicação desta técnica no contexto de canais com fronteiras rugosas.
A utilização da técnica de dupla média apresenta várias vantagens das quais se destacam (Nikora, McEwan, et al., 2007; Nikora e Goring, 2001):
• Ligação consistente entre as médias espaciais dos parâmetros de rugosidade, tensões de corte do leito e as variáveis médias, tanto espacial como temporal, do escoamento;
• Aparecimento da resistência viscosa, resistência de forma e tensões dispersivas resultantes de uma derivação rigorosa;
• Possibilidade de escalonamento de considerações e parametrização baseado nas variáveis médias temporais e espaciais;
• Possibilita a partição, em escalas consistentes, dos parâmetros de rugosidade e propriedades do escoamento. Fornece melhor definição dos parâmetros hidráulicos como a uniformidade do escoamento, bidimensionalidade e a tensão de corte no leito.
Por outro lado, a principal restrição deste método prende-se com a exigência deste ter de apresentar uma ampla separação da escala de turbulência e do escoamento médio (Nikora, McEwan, et al., 2007).