M´etodos de estima¸c˜ ao - Modelos longitudinais de grupos múltiplos multiníveis na teoria da r

Pijk = P (Yijk= 1|θjk, ζi) = Φ(aiθjk− bi) , (2.1)

Distribui¸c˜ao latente (parte estrutural)

θjk|ηθk∼ N(µθk, ψθk) , (2.2)

em que ζi= (ai, bi)te ηθk= (µθk, ψθk)

t_{. ´}_{E digno de nota que (2.1) ´e uma reparametriza¸c˜}_{ao do modelo original}

probito de 2 parâmetros, veja Baker and Kim (2004). Na equa¸cão (2.1) o parâmetro b representa b = ab∗_{, em}

que b∗ _{´e o parˆ}_{ametro de dificuldade original. Al´em disso, de uma forma em geral, a parte (2.2) do modelo}

pode, de fato, ser suprimida†_{. Isto equivale a considerar os tra¸cos latentes como efeitos fixos, veja Harwell et al.}

(1988). Entrentanto, em termos do ajuste do modelo via MCMC, a mesma se faz necessária. Tais comentários são válidos para todo o desenvolvimento desta Tese.

Com rela¸cão a distribui¸cão dada em (2.2) algumas escolhas têm sido consideradas na literatura: normal padrão, Bock and Aitkin (1981), mistura finitas de normais, Mislevy (1986), normal multivariada, Tava- res (2001) e normal assimétrica, Bazán (2005). Além disso, uma representa¸cão não-paramétrica é poss´ıvel dividindo-se a densidade latente em um conjunto finito de pontos. Neste sentido algumas referências importantes são Bock and Aitkin (1981) e Mislevy (1984). A suposi¸cão de normalidade nos desenvolvimentos apresentados aqui é baseada em dois pontos. Primeiro, em algumas situa¸cões é razoável a escolha de tal modelo para representar o comportamento dos tra¸cos latentes ou mesmo, tal modelo pode se mostrar robusto, veja Azevedo and Andrade (2007). Segundo, as estruturas de outras distribui¸cões de interesse, e.g. normal assimétrica, t e t-assimétrica, podem ser facilmente desenvolvidas a partir da estrutura da distribui¸cão normal, através de alguma representa¸cão estocástica conveniente.

2.4 M´etodos de estima¸c˜ao

Sem dúvida, um dos aspectos mais importantes com respeito a aplica¸cão da TRI nos últimos anos, tem sido o desenvolvimentos de métodos de estima¸cão apropriados. Existe uma vasta literatura com respeito a esse segmento. Por exemplo, Baker and Kim (2004) mostram diferentes métodos e apresentam uma visão geral sobre a história desse tópico. Azevedo (2003) discute alguns aspectos de relevância e apresenta alguns procedimentos alternativos aos usuais. Recomendamos a leitura de ambos para um aprofundamento no assunto.

Nesta se¸cão discutiremos, brevemente, os principais métodos utilizados. De uma forma em geral, podemos dizer que existem três grandes problemas com rela¸cão ao ajuste de um MRI : a falta de identificabilidade, o grande número de parâmetros (que aumenta com o aumento do tamanho da amostra) e a complexidade das FRI. Dessa forma, procedimentos de estima¸cão conjunta dos parâmetros, num contexto frequentista, podem não produzir estimativas consistentes, veja Baker and Kim (2004). Isto, inclusive, pode ocorrer com certos procedimentos bayesianos, veja Lord (1986). Em alternativa à essa abordagem alguns trabalhos foram desenvolvidos. Bock and Lieberman (1970) consideraram a obten¸cão da verossimilhan¸ca marginal, através da integra¸cão dos tra¸cos latentes, da´ı a nomenclatura máxima verossimilhan¸ca marginal (MVM). Contudo, tal procedimento exige a maximiza¸cão de tal verossimilhan¸ca (marginal) conjuntamente com rela¸cão aos parâmetros dos itens, o que torna este método limitado para testes com mais do que 15 itens. Na tentativa de solucionar tal problema, Bock and Aitkin (1981) consideraram a utiliza¸cão de um pseudo algoritmo EM, vide Dempster et al. (1977), implemen- tado através das quantidades assim chamadas de dados artificiais. Nesta abordagem os parâmetros dos itens são estimados individualmente, a menos das quantidades artificiais, o que torna tal método potencialmente aplicável em um número razoável de situa¸cões. Além disso, algumas medidas de ajuste foram desenvolvidas com base nos resultados obtidos por este método, vide Zimowski et al. (1996). Mislevy (1986) desenvolveu um paralelo bayesiano da abordagem de MVM no sentido de que ele atribuiu prioris para os parâmetros dos itens e para os tra¸cos latentes. Note-se que, neste caso, a priori para os tra¸cos latentes, apesar de ser utilizada na constru¸cão da verossimilhan¸ca marginal, é atribu´ıda através de argumentos bayesianos e não embasada em suposi¸cões de amostragem, veja Andrade et al. (2000). Com rela¸cão a estima¸cão dos parâmetros dos itens tal método é conhecido como Moda Marginal a Posteriori (MMAP). Para a estima¸cão dos tra¸cos latentes Mis- levy (1986) sugere a utiliza¸cão da média ou da moda a posteriori. Por outro lado, Mislevy and Stocking (1989) sugerem com maior ênfase, esperan¸ca a posteriori. Esses métodos são conduzidos em duas etapas no sentido de que primeiro se estima os parâmetros dos itens.Então, de posse de tais estimativas, estima-se os tra¸cos latentes através de uma verossimilhan¸ca do tipo perfilada, Fraser and Reid (1989). Mais detalhes sugerimos a leitura das referências supracitadas.

No contexto da TRI, a abordagem bayesiana plena (ABP), baseada em métodos de MCMC, veja Gilks et al. (1996), iniciou-se com o trabalho de Albert (1992). Em uma ABP via MCMC, as distribui¸cões a posteriori, conjuntas e marginais, dos parâmetros de interesse são obtidas, de modo emp´ırico, ao invés de meras estimativas pontuais, como nas abordagens discutidas anteriormente. Neste trabalho, Albert utilizou um esquema de dados aumentados, veja Tanner and Wong (1987) e Johnson and Albert (1999) por exemplo, no modelo probito de 2 parâmetros (para um único grupo), veja Baker and Kim (2004), desenvolvendo um esquema direto de simula¸cão através do amostrador de Gibbs, vide Gilks et al. (1996). Este procedimento permite que modelos complexos sejam ajustados sem a necessidade da utiliza¸cão de métodos numéricos de integra¸cão ou de maximiza¸cão de fun¸cões. Modelos como os longitudinais, veja Tavares (2001), ou multivariados, veja Matos (2001), necessitam se utilizar de métodos de integra¸cão numérica para a implementa¸cão da abordagem via verossimilhan¸ca marginal. Apesar de métodos de quadratura adaptativa, vide Schilling and Bock (2005) e Gander and Gautschi (2000),

2.5 Verossimilhan¸ca de dados aumentados 19

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