4.9 Programa computacional
4.9.2 Exemplo de Aplicação 2
Este segundo exemplo corresponde a um modelo hipotético, utilizado no trabalho de Sekhar A., Prabhu B. (1995). Este modelo é composto por dois eixos, acoplados por meio de um acoplamento flexível. Cada eixo é suportado através de dois mancais distribuídos simetricamente em relação à posição do acoplamento, como é apresentado na Figura 4.21.
Figura 4.21: Sistema mecânico a ser simulado [Dimensões geométricas em m].
0,2 0,2 0,2 0,2 0,25 0,2 0,2 0,2 0,1 0,1 0,2 Disco 1 Disco 2 Mancal externo Mancal externo Mancal
interno Acoplamento Mancal interno
0,10 0,28 0,45
0,45
Os casos simulados no programa foram:
• Caso I: Quando o acoplamento é modelado como disco rígido, segundo critério geral, para o qual o sistema é modelado com 8 elementos de eixo, 3 elementos de disco, e 4 elementos de mancais;
• Caso II: Quando o acoplamento é modelado de acordo o primeiro critério de Krämer E. (1993). Neste caso, o acoplamento é modelado com 2 nós e as restrições nos graus de liberdade estabelecidas no modelo, mais 2 elementos de disco (associada a cada um dos nós do acoplamento) que incluem a inércia do acoplamento;
• Caso III: Corresponde ao segundo modelo sugerido por Krämer E. (1993), similar ao caso II, com a diferença de que são acrescentadas rígidez e amortecimento rotacionais próprios do acoplamento;
• Caso IV: Quando o acoplamento é modelado de acordo com o primeiro modelo proposto por Nelson H., Crandall S. (1992), no qual são consideradas rígidez translacional e rotacional, e a inércia do acoplamento. O sistema foi discretizado com 10 nós, 8 elementos de eixo, 2 elementos de disco e 4 elementos de mancais;
• Caso V: Corresponde ao segundo modelo definido por Nelson H., Crandall S. (1992). Este modelo é similar ao caso anterior, com a diferença de que serão adicionados o amortecimento translacional e rotacional do acoplamento.
A Tabela 4.3 apresenta os dados correspondentes às características físicas e dinâmicas dos diferentes componentes do sistema mecânico indicados na Figura 4.21.
Tabela 4.3: Propriedades físicas e dinâmicas dos componentes mecânicos do sistema simulado.
DISCOS EIXOS
Disco1:
Densidade 7800kg/m3 Disco2: Densidade 7800kg/m3 Densidade 7800 kg/m
3 , Mod. Elasticidade 2*1011N/m2,
Coef. de Poisson 0,3 , Fat. de Cisalhamento 0,9
MANCAIS EXTERNOS MANCAIS INTERNOS
Rígidez: Kxx=108N/m, Kxz=0, Kzz=1,5*108N/m, Kzx=0 Rígidez: Kxx=107N/m, Kxz=0, Kzz=1,5*107N/m, Kzx=0 1 Amortecimento: Cxx=0,5*103Ns/m,Cxz=0,Czz=0,8*103Ns/m,Czx=0 1 Amortecimento: Cxx=103Ns/m,Cxz=0,Czz=103Ns/m,Czx=0 Rígidez: Kxx=107N/m, Kxz=0, Kzz=107N/m, Kzx=0 Rígidez: Kxx=107N/m, Kxz=0, Kzz=1,5*107N/m, Kzx=0 2 Amortecimento: Cxx=103Ns/m,Cxz=0,Czz=103Ns/m,Czx=0 2 Amortecimento: Cxx=103Ns/m,Cxz=0,Czz=1,1*103Ns/m,Czx=0
ACOPLAMENTO(Kramer) ACOPLAMENTO (Nelson e Crandall)
Densidade 7800kg/m3 Densidade 7800kg/m3
Rígidez rotacional 13579.1*102 Nm/rad Rígidez: Rotacional 13579.1*102 Nm/rad; Translacional 1.2*109 N/m
Amortecimento rotacional 11.3 Nms/rad Amortecimento: Rotacional l1.3 Nms/rad; Translacional l1.3 Ns/m
Os resultados para os casos analisados, apresentados a seguir, foram determinados através do Programa PROGRA_M1.mdp.
Figura 4.22: (a) primeiro par de freqüências naturais do sistema; (b) segundo par de freqüências naturais do sistema.
As Figuras 4.22(a), 4.22(b), apresentam as variações dos 2 primeiros pares das freqüências naturais do sistema com a rotação para os cinco casos analisados, através dos diagramas de Campbell.
As Figuras 4.23(a), 4.23(b), representam as variações dos 2 pares seguintes de freqüências naturais do sistema com a rotação, para os cinco casos analisados, através dos diagramas de Campbell.
Figura 4.23: (a) terceiro par de freqüências naturais do sistema; (b) quarto par de freqüências naturais do sistema.
Figura 4.24: (a) na direção Z na posição do Disco1; (b) na direção X na posição do Disco1. As Figuras 4.24(a), 4.24(b), representam as funções de resposta em freqüência, na direção do eixo X e Z na posição do Disco 1 do sistema, devido a um desbalanceamento de massa suposto
no Disco 1, com um valor aproximado de 0.00189 kgm e a 0o do eixo Z. A faixa de freqüência dos gráficos está próxima à primeira condição de ressonância, excitada pelo desbalanceamento, para cada um dos cinco casos definidos.
As Figuras 4.25(a), 4.25(b), representam as funções de resposta em freqüência, na direção do eixo X e Z na posição do Disco 1 do sistema, em torno da segunda condição de ressonância.
Figura 4.25: (a) na direção Z na posição do Disco1; (b) na direção X na posição do Disco1. Dos resultados apresentados para este exemplo pode-se afirmar que:
• O modelo por elementos finitos para o sistema Rotor-Acoplamento-Mancal, foi implementado com modelos simplificados de acoplamentos flexíveis, sugeridos por: Krämer E. (1993) e Nelson H., Crandall S. (1992). Assim, determinam-se as freqüências naturais do sistema e as respostas ao desbalanceamento;
• Observa-se nas Figuras 4.22(a) e 4.23(a), que os valores do primeiro e do terceiro par de freqüências naturais do sistema, dependendo do modelo considerado, diferem tanto na precessão direta quanto na precessão retrógrada, o que mostra a influência do modelo considerado, devido a que as formas modais correspondentes são altamente influenciadas pelo acoplamento;
• Nas Figuras 4.22(b) e 4.23(b), a diferença entre o segundo e o quarto par de freqüências naturais não são significativas, o que, pode ser atribuído ao fato de que as formas modais correspondentes são pouco influenciadas pelo acoplamento, pois a posição da mesma está sobre ou bem próxima de um nó dos modos do sistema, fazendo de que as
freqüências desses modos sejam pouco sensíveis às diversas considerações na modelagem dos acoplamentos;
• Analisando as respostas ao desbalanceamento nas Figuras 4.24(a) e 4.24(b), na direção Z e X, em torno da primeira condição de ressonância, observa-se que estas refletem o comportamento apresentado pelo diagrama de Campbell para o primeiro par de freqüências naturais do sistema, ou seja, as posições de ressonância mudam dependendo do modelo considerado. As Figuras 4.25(a) e 4.25(b), correspondem às amplitudes de vibração nas direções Z e X na segunda condição de ressonância, e confirmam mais uma vez o que ocorre no diagrama de Campbell, para o segundo par de freqüências naturais do sistema, ou seja, as posições dos picos de ressonância não se encontram muito distantes uma da outra, para cada um dos cinco modelos de acoplamentos estabelecidos.
• Conclui-se dessa forma, que o acoplamento nos sistemas mecânicos rotativos influencia nas freqüências naturais do sistema e na amplitude de vibração dos mesmos. Além disso, têm-se no presente trabalho que, segundo os critérios existentes na literatura sobre a modelagem dos acoplamentos, as freqüências naturais e a resposta do sistema serão diferentes. Pode-se afirmar, que dependendo do sistema mecânico real analisado, um ou outro modelo será mais adequado para representá-lo e que algumas freqüências serão mais sensíveis aos efeitos dinâmicos do acoplamento flexível.
Capitulo 5
Análise Modal de Máquinas Rotativas
A análise modal é um conjunto de procedimentos que visa determinar, analítica e/ou experimentalmente, os parâmetros modais de uma estrutura, ou seja, freqüências naturais, fatores de amortecimento e formas modais, a partir das funções de resposta em freqüência ou impulsiva.
Sob o ponto de vista analítico, o que se faz é elaborar um modelo matemático da estrutura, que pode ser através do método de elementos finitos, da matriz de transferência, e outros. Em seguida, resolve-se o problema de autovalor associado e determina-se os modos de vibração, os fatores de amortecimento e as freqüências de ressonância da estrutura. As funções de resposta em freqüência (funções de transferência), podem ser calculadas através da superposição dos modos naturais de vibração.
Experimentalmente, segue-se uma trajetória oposta (uma vez que não se dispõe do modelo do sistema). Uma força conhecida é aplicada à estrutura e são medidas as vibrações resultantes em diversos pontos. Através do processamento dos sinais de excitação e resposta, consegue-se estimar as respectivas funções de transferência. Com este conjunto de funções de transferência (ou Funções de Resposta ao Impulso), e utilizando os inúmeros algoritmos de extração de parâmetros modais, pode-se identificar as características, modais ou físicas, da estrutura.
Em geral, as máquinas rotativas são estruturas relativamente complexas, contendo inúmeros dispositivos que podem ser difíceis de modelar (selos, mancais, acoplamentos, etc.), e que podem sofrer desgaste durante a vida útil do equipamento, fazendo com que suas características físicas se alterem. Por isso, é importante validar modelos numéricos de estruturas rotativas com resultados experimentais, tanto na fase de projeto quanto durante a operação da máquina. As
freqüências naturais devem ser determinadas, para que se possa conhecer as velocidades críticas e as faixas de rotação seguras para operação em regime. Os modos de vibração do rotor permitem descrever o seu comportamento dinâmico em resposta a várias excitações.
O método de análise modal tradicional, tem sido amplamente e sucessivamente usado para a identificação de parâmetros modais de todo tipo de estruturas, exceto para máquinas rotativas. Embora algumas tentativas, nos trabalhos de Rogers P., Ewins E. (1989), e de Bently D., Muszynska A. (1986), tenham sido feitas para desenvolver métodos de teste modal para máquinas rotativas, estas não diferem significativamente, do método tradicional, que ignora totalmente a direção de um modo. A aplicação de métodos de análise modal tradicionais para máquinas rotativas, têm resultado em respostas ou funções de transferência no domínio da freqüência com alta densidade dos modos de vibrar, muitas vezes com superposição dos modos de precessão direta e retrógrada.
A característica particular dos sistemas rotativos, de apresentar modos de precessão direta e retrógrada, em muitos casos com freqüências bastante próximas entre si, torna difícil realizar uma identificação precisa dos parâmetros modais ou físicos, com os métodos da análise modal experimental tradicionais. Tal fato, têm conduzido ao desenvolvimento recente da análise Modal Complexa para máquinas rotativas, entre os quais destacam-se os trabalhos de Lee C. (1990,1991), com este propósito.