Exemplo 1: Erro na saída

Neste exemplo será considerado o sistemaS de (Piroddi e Spinelli, 2003): w(k) = 0, 75w(k₋2) +0, 25u(k₋1)₋0, 2w(k₋2)u(k₋1)

y(k) = w(k) +e(k), (4.6)

sendo a entrada u(k)um processo AR(2) com pólos em z =0, 9 e z=0, 95 exci- tado por um ruído gaussiano branco (WGN) com média zero e variância igual a σ2 =0, 25, representado por WGN(0,0,25). O modelo em (4.6) é claramente um modelo de erro na saída (OE, do termo em inglês output error).

Reescrevendo o modelo (4.6) em termos dos dados medidos y(k)e u(k)tem- se

y(k) = 0, 75 y(k₋2) +0, 25 u(k₋1)₋0, 2 y(k₋2)u(k₋1)₋

−0, 75 e(k₋2) +0, 2 e(k₋2)u(k₋1) +e(k), (4.7) o qual é um modelo NARMAX e não um modelo NARX. Sendo assim, o esti- mador de mínimos quadrados será tendencioso e estimadores alternativos de- vem ser usados. Uma alternativa é o estimador de mínimos quadrados esten- dido.

Seguindo Piroddi e Spinelli, foram gerados N = 500 valores usando o mo- delo (4.6). Estes dados foram utilizados na sequência para estimar parâmetros utilizando três diferentes estimadores: 1) o estimador convencional de mínimos quadrados (MQ), 2) o estimador de mínimos quadrados estendido, e 3) o al- goritmo NSGA-II descrito na Sec. 4.2.4. No que diz respeito aos AE, o problema bi-objetivo (4.4) foi resolvido, produzindo assim uma família de modelos, todos com a mesma estrutura. Ao contrário de (Piroddi e Spinelli, 2003), neste exem- plo, a estrutura correta para os modelos é atribuída, uma vez que o objetivo neste exemplo é a compreensão das principais contribuições de J1 = MSE(Z, ZM1) e

Js =MSE(Z, ZMs)como funções-custo durante a estimação de parâmetros.

Uma visão geral dos resultados é vista na Fig. 4.1. Considerando que a Fig. 4.1 (a) é precisamente o conjunto Pareto obtido durante a otimização, o pro- blema de otimização com dados sem ruído daria um único modelo e não seria

informativo. A fim de avaliar o papel desempenhado pelas funções J1e Js, os 500 modelos obtidos a partir de dados ruidosos y(k)– e, portanto, bastante diferen- tes - foram avaliados nos dados sem ruído w(k). Esse resultado é apresentado na Fig. 4.1 (b).

(a) (b)

Figura 4.1: Conjunto Pareto com 500 modelos para os quais as funções custo fo- ram avaliadas usando (a) y(k) = w(k) +e(k)com e(k) ∼WGN(0,0,02) e (b) w(k).

Os modelos com os parâmetros estimados por MQ e MQE são indicados por (_×) e (), respectivamente, enquanto que o denso conjunto de círculos indicam os estimados pelo NSGA-II. Os valores de J₁ e Js quando os parâmetros ver- dadeiros são utilizados no modelo são indicados por um triângulo. Em (b) tanto o quadrado quanto o triângulo estão na origem.

Para o caso sem ruído J1e Jssão objetivos não conflitantes, ou seja, a minimi- zação de Jsé equivalente a minimizar J1no sentido de que ambos problemas de minimização levam basicamente para o mesmo (correto) modelo (Fig. 4.1 (b)). Vale ressaltar que os modelos que mais reduziram a função custo J₁ em dados ruidosos não foram aqueles que minimizaram tal função em dados sem ruído. Se for minimizar apenas J₁, então o convencional e muito eficiente algoritmo de MQ poderia ser utilizado com grande vantagem. A minimização de Js é com- putacionalmente muito mais exigente.

Por outro lado, no caso de dados ruidosos, ruído branco adicionado na saída – o que se traduz como ruído colorido não-linear na equação de regressão, ver modelo (4.7) – J1e Jssão objetivos conflitantes no sentido de que a minimização de um deles irá resultar no aumento do outro, e vice-versa.

A Fig. 4.1 (a) mostra que a estimativa MQ é tendenciosa e que a MQE não é (comparar o quadrado e o triângulo), como previsto pela teoria. No caso rui-

doso, a minimização de Jsé equivalente, considerando a tendência dos parâme- tros, a usar o algoritmo MQE, com a vantagem de não ser necessário um modelo de ruído e com a desvantagem de exigir um maior custo computacional.

Uma análise deste exemplo pode ser feita examinando as estimativas dos pa- râmetros dos modelos no Pareto. A Fig. 4.2 mostra os três parâmetros do modelo relativos à: saída y(k−1), entrada u(k−1)e termo cruzado y(k−2)u(k−1).

(a) (b)

(c)

Figura 4.2: Relação entre Js =MSE(Z, ZMs) e os parâmetros estimados. O eixo

vertical deve ser comparado com o da Fig. 4.1 (a). (a) parâmetros θ1 do termo y(k−1), (b) parâmetro θ2 do termo u(k−1) e (c) parâmetro θ3 do termo y(k− 2)u(k₋1). A linha vertical indica o valor ideal. Os valores estimados por MQ e MQE são indicados por cruz e quadrado, respectivamente. O conjunto denso de círculos indica os modelos estimados pelo NSGA-II.

A principal conclusão a retirar da Fig. 4.2 é uma confirmação do que foi ob- servado na Fig. 4.1 (a). Ou seja, com relação à estimativa de parâmetros, existem

duas formas de evitar a polarização no caso de erro na saída: deve-se obter um modelo de ruído e utilizar o MQE para minimizar J1 = MSE(Z, ZM1), ou mini-

mizar Js =MSE(Z, ZMs)usando um AE por exemplo, sem que seja necessário a

utilização de um modelo de ruído. Existem outros estimadores não tendenciosos que não são mencionados.

A partir dos resultados na Tabela 4.1, observa-se que, para o modelo (4.6), o estimador MQ é tendencioso e o MQE não é. Quanto aos AE, que dispensam o uso de um modelo de ruído, a polarização é evitada minimizando uma norma baseada no erro de simulação, enquanto que a utilização de erro um passo à frente irá resultar em estimativas tendenciosas. Um fato relevante é a menor variância dos parâmetros estimados pelos AE (Js) comparando-se com a dos parâmetros obtidos pelo MQE, indicando a maior robustez do erro de simulação em problemas de erro na saída.

Neste exemplo (ver Tabela 4.1), tanto o erro médio quadrático (MSE) quanto o erro médio absoluto (MAE), foram utilizados. Na Fig. 4.1 apenas os resultados com MSE foram notificados – os resultados com MAE são totalmente equivalen- tes. A escolha do MSE é justificada para tornar a função custo compatível com as funções minimizadas pelos estimadores MQ e MQE. Por outro lado, o uso da MAE é atraente no contexto de AGs por ser menos caro computacionalmente do que o MSE.

Uma entrada suave (um processo AR(2)) foi utilizada neste exemplo. Em (Piroddi e Spinelli, 2003), a utilização desse tipo de sinal (em vez de um pro- cesso branco), juntamente com um algoritmo de detecção de estrutura baseado no erro de predição, obteve termos espúrios no modelo. Aqui, mesmo com uso dessa entrada, a minimização de Js resultou em estimativa não polarizada con- siderando que a estrutura correta do modelo tenha sido usada, ou seja, em pro- blemas sem erro na estrutura.

Tabela 4.1: Simulação de Monte Carlo com 1000 execuções. MSE: erro médio quadrático; MAE: erro médio absoluto. As colunas que usam MAE e MSE são referentes aos AGs. Valores ideais: θ1 =0, 75, θ2 =0, 25 e θ3 =−0, 2. O ruído é e(k)_∼WGN(0, 0,02).

MSE(Z, Z_Ms) MAE(Z, Z_Ms) MSE(Z, Z_M1) MAE(Z, Z_M1) MQ MQE

¯θ σθ ¯θ σθ ¯θ σθ ¯θ σθ ¯θ σθ ¯θ σθ

θ₁ 0,7496 0,0050 0,7499 0,0062 0,6251 0,0129 0,6166 0,0238 0,6262 0,0137 0,7494 0,0067 θ2 0,2499 0,0054 0,2496 0,0069 0,3435 0,0119 0,3500 0,0235 0,3428 0,0125 0,2317 0,0922