Exemplo 1

Analisou-se um problema em estado plano de deformações, em que uma seção representativa de um talude, constituído por três tipos de solos distintos, é submetida a um carregamento vertical distribuído em seu topo. O comportamento constitutivo do solo foi simulado através do Modelo de Drucker-Prager. Considerou-se que o material não sofre encruamento, isto é, possui comportamento elasto-idealmente-plástico. As propriedades materiais dos solos que constituem o talude são apresentadas na Tabela 1.

O ângulo de atrito e a coesão do solo estão relacionados, respectivamente, com os coeficientes angular e linear da função de escoamento do Modelo de Drucker-Prager. Esses

coeficientes (θ, k) podem ser calculados a partir das seguintes expressões para um problema de estado plano de deformações:

(

)

θ = + (7.1)

(

)

= c

k (7.2)

Essas expressões são apresentadas por Desai e Siriwardane (1984).

TABELA 1 PROPRIEDADES MATERIAIS DOS SOLOS QUE CONSTITUEM O TALUDE DO EXEMPLO 1.

Material γγ peso específico

(kN/m³)

c coesão

(kPa)

° ângulo de

atrito

E módulo de elasticidade

(kPa)

coeficiente de Poisson

Colúvio 1 17,0 5 25

Colúvio 2 18,0 5 30

15000 15000

0,4 0,4 Solo

Residual

19,5 10 32 30000 0,4

Substituindo os valores da coesão e do ângulo de atrito nas Equações (7.1) e (7.2), obtêm-se os seguintes coeficientes para o Modelo de Drucker-Prager:

TABELA 2 COEFICIENTES DO CRITÉRIO DE ESCOAMENTO DE DRUCKER-PRAGER.

Material θθ k (kN)

Colúvio 1 0,1368577 4,402385 Colúvio 2 0,1601281 4,160252 Solo Residual 0,1689111 8,109429

No programa ANSYS^® e no programa desenvolvido, o talude foi discretizado utilizando um elemento isoparamétrico de oito nós. O elemento utilizado da biblioteca do ANSYS^® foi o PLANE 82. Esse elemento é definido por oito nós, cada qual com dois graus de liberdade: translação nas direções nodais x e y. O elemento pode ser utilizado como um elemento plano ou axissimétrico. O carregamento imposto no topo do talude, as condições

de contorno do problema e a discretização espacial em elementos finitos são apresentados na Figura 12.

FIGURA 12 CONDIÇÕES DE CONTORNO E DISCRETIZAÇÃO ESPACIAL EM ELEMENTOS FINITOS PARA O EXEMPLO 1.

O carregamento foi imposto em 100 incrementos de carga iguais. Adotou-se a mesma malha de elementos finitos para a simulação realizada com o programa ANSYS^® e para a simulação realizada com o programa desenvolvido no presente trabalho.

Os resultados obtidos com o programa desenvolvido nesse trabalho para as distribuições de deslocamentos, tensões e deformações são apresentados nas Figuras 13 a 32, juntamente com os resultados gerados pelo programa ANSYS^®. Para esse exemplo, foram adotadas unidades do Sistema Internacional (deslocamentos em metros e tensões em Pascal).

Salienta-se que para problemas em estado plano de deformações a componente E_zz do tensor de deformações totais é nula. No entanto, as deformações plásticas E_zz^p e as deformações elásticas E_zz^e ao longo da direção z não são necessariamente nulas,

aplicando-se a restrição = + zz^e =0

p zz

zz E E

E . Entre os resultados apresentados a seguir encontra-se a distribuição de deformações plásticas E_zz^p.

FIGURA 13 DISTRIBUIÇÃO DOS DESLOCAMENTOS HORIZONTAIS GERADA PELO PROGRAMA DESENVOLVIDO.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0 1 2 3 4 5 6

-0.0013 a -0.000955 -0.000955 a -0.000836 -0.000836 a -0.000716 -0.000716 a -0.000597 -0.000597 a -0.000477 -0.000477 a -0.000358 -0.000358 a -0.000239 -0.000239 a -0.000119 -0.000119 a 0.00003724

FIGURA 14 DISTRIBUIÇÃO DOS DESLOCAMENTOS HORIZONTAIS GERADA PELO PROGRAMA ANSYS.

FIGURA 15 DISTRIBUIÇÃO DOS DESLOCAMENTOS VERTICAIS GERADA PELO PROGRAMA DESENVOLVIDO.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0 1 2 3 4 5 6

-0.0041238 a -0.003342 -0.003342 a -0.002924 -0.002924 a -0.002507 -0.002507 a -0.002089 -0.002089 a -0.001671 -0.001671 a -0.001253 -0.001253 a -0.000836 -0.000836 a -0.000418 -0.000418 a 0.0

FIGURA 16 DISTRIBUIÇÃO DOS DESLOCAMENTOS VERTICAIS GERADA PELO PROGRAMA ANSYS.

FIGURA 17 DISTRIBUIÇÃO DO COMPONENTE TXX DO TENSOR DE TENSÕES GERADA PELO PROGRAMA DESENVOLVIDO.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0 1 2 3 4 5 6

-41053 a -35612 -35612 a -30172 -30172 a -24732 -24732 a -19291 -19291 a -13851 -13851 a -8410 -8410 a -2970 -2970 a 2471 2471 a 7911

FIGURA 18 DISTRIBUIÇÃO DO COMPONENTE TXX DO TENSOR DE TENSÕES GERADA PELO PROGRAMA ANSYS.

FIGURA 19 DISTRIBUIÇÃO DO COMPONENTE TYY DO TENSOR DE TENSÕES GERADA PELO PROGRAMA DESENVOLVIDO.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0 1 2 3 4 5 6

-58967 a -52050 -52050 a -45132 -45132 a -38214 -38214 a -31297 -31297 a -24379 -24379 a -17462 -17462 a -10544 -10544 a -3627 -3627 a 3291

FIGURA 20 DISTRIBUIÇÃO DO COMPONENTE TYY DO TENSOR DE TENSÕES GERADA PELO PROGRAMA ANSYS.

FIGURA 21 DISTRIBUIÇÃO DO COMPONENTE TXY DO TENSOR DE TENSÕES GERADA PELO PROGRAMA DESENVOLVIDO.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0 1 2 3 4 5 6

-12492 a -9749 -9749 a -7007 -7007 a -4264 -4264 a -1522 -1522 a 1221 1221 a 3964 3964 a 6706 6706 a 9449 9449 a 12191

FIGURA 22 DISTRIBUIÇÃO DO COMPONENTE TXY DO TENSOR DE TENSÕES GERADA PELO PROGRAMA ANSYS.

FIGURA 23 DISTRIBUIÇÃO DO COMPONENTE TZZ DO TENSOR DE TENSÕES GERADA PELO PROGRAMA DESENVOLVIDO.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0 1 2 3 4 5 6

-39303 a -34456 -34456 a -29610 -29610 a -24764 -24764 a -19918 -19918 a -15072 -15072 a -10226 -10226 a -5379 -5379 a -533.133 -533.133 a 4313

FIGURA 24 DISTRIBUIÇÃO DO COMPONENTE TZZ DO TENSOR DE TENSÕES GERADA PELO PROGRAMA ANSYS.

FIGURA 25 DISTRIBUIÇÃO DO COMPONENTE E_xx^p DAS DEFORMAÇÕES PLÁSTICAS GERADA PELO PROGRAMA DESENVOLVIDO.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0 1 2 3 4 5 6

0.000416 a 0.00380 0.000364 a 0.000416 0.000312 a 0.000364 0.000260 a 0.000312 0.000208 a 0.000260 0.000156 a 0.000208 0.000104 a 0.000156 0.0000520 a 0.000104 0.0 a 0.0000520

FIGURA 26 DISTRIBUIÇÃO DO COMPONENTE E_xx^p DAS DEFORMAÇÕES PLÁSTICAS GERADA PELO PROGRAMA ANSYS.

FIGURA 27 DISTRIBUIÇÃO DO COMPONENTE E_yy^p DAS DEFORMAÇÕES PLÁSTICAS GERADA PELO PROGRAMA DESENVOLVIDO.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0 1 2 3 4 5 6

-0.00816 a -0.000185 -0.000185 a -0.000143 -0.000143 a -0.000101 -0.000101 a -0.0000582 -0.0000582 a -0.0000159 -0.0000159 a 0.0000264 0.0000264 a 0.0000687 0.0000687 a 0.000111 0.000111 a 0.00157

FIGURA 28 DISTRIBUIÇÃO DO COMPONENTE E_yy^p DAS DEFORMAÇÕES PLÁSTICAS GERADA PELO PROGRAMA ANSYS.

FIGURA 29 DISTRIBUIÇÃO DO COMPONENTE E_xy^p DAS DEFORMAÇÕES PLÁSTICAS GERADA PELO PROGRAMA DESENVOLVIDO.

FIGURA 30 DISTRIBUIÇÃO DO COMPONENTE E_xy^p DAS DEFORMAÇÕES PLÁSTICAS GERADA PELO PROGRAMA ANSYS.

FIGURA 31 DISTRIBUIÇÃO DO COMPONENTE E_ZZ^p DAS DEFORMAÇÕES PLÁSTICAS GERADA PELO PROGRAMA DESENVOLVIDO.

FIGURA 32 DISTRIBUIÇÃO DO COMPONENTE E_ZZ^p DAS DEFORMAÇÕES PLÁSTICAS GERADA PELO ANSYS.

Observa-se nos gráficos apresentados que os resultados gerados pelo programa desenvolvido foram condizentes com aqueles gerados pelo programa ANSYS^®. A diferença mais significativa entre as análises encontra-se no tamanho das regiões de concentração de deformações plástica mais intensas. Em ambas as análises, os maiores valores em módulo de todos os componentes do tensor de deformações plásticas (E_xx^p,E_xy^p,E_yy^p,E_zz^p) encontram-se predominantemente na zona do talude constituída pelo Colúvio 1, mais especificamente, sob a região de aplicação do carregamento. No entanto, apesar de situadas aproximadamente na mesma zona do talude, essas regiões de plastificação são mais extensas para a análise realizada com o programa desenvolvido. Diferenças dessa natureza poderiam ser atribuídas ao fato de a região de tensões admissíveis ser definida no ANSYS^® por uma função diferente daquela empregada no programa desenvolvido neste trabalho. O programa ANSYS^® não adota a função quadrática apresentada no Capítulo 6, mas sim a função de escoamento de Drucker-Prager em sua forma linear. Apesar de representarem a mesma região, uma vez que a função quadrática adotada nesse trabalho é o traço da superfície de um cone no plano, as expressões obtidas para os incrementos de deformações plásticas são distintas, o que pode gerar diferenças nos módulos dos diferentes componentes das deformações plásticas.