Exemplo: modelo BNRT

Para exemplicar a aplicabilidade desta metodologia em defeitos tipo onda via-jante, vamos considerar o chamado modelo BNRT, introduzido originalmente por Bazeia e colaboradores [35], cujo superpotencial é

W (φ, χ) = k  φ − ^φ 3 3  − kφχ2. (5.38)

Tal modelo possui como um de seus pares de soluções analíticas as relações5 ,

φ(x, t) = − ¹

4e2kx+ωt+ 1^{; χ(x, t) =}

4e2kx+ωt

4e2kx+ωt+ 1^, (5.39) essas soluções revelam que a função de deformação responsável por conectar estes campos é φ = f(χ) = χ−1, assim, o superpotencial juntamente com a função deformação permite escrever F e G, como

F = k(1 − φ²) − kχ²+ Z(φ)(φ − χ + 1); G = −2Kφχ + Z(χ)(φ − χ + 1). (5.40) Então por substituição de F e G, e suas derivadas em (5.37), têm-se,

Z(χ) = −² a^bk

2(1 − 4χ + 6χ²), (5.41)

onde, para o processo de simplicação desta última equação, consideramos Z(φ) = Z(χ), Zφ(φ) = Zχ(χ), além do mais, a função deformação φ = χ − 1 implica que,

Z(φ) = −² a^bk

2(3 + 8φ + 6φ²). (5.42)

Desde modo, as equações diferenciais de primeira ordem para este modelo de onda viajante são, φ⁰ = k(1 − φ²) − kχ²− ² a^bk 2(3 + 8φ + 6φ²)(φ − χ + 1); χ⁰ = −2kφχ − ² 2^bk 2(1 − 4χ + 6χ²)(φ − χ + 1), (5.43) que são satisfeitas por (5.39). Tomando uma derivada a mais em relação a x das equações diferenciais acima e substituindo-as em (5.36), encontramos o potencial efetivo

V (φ, χ) = ^k 2 2a3 n a²2bk(3 + 8φ + 6φ2 ) + a(φ² + χ²− 1)2 + 4a²[aφχ + bk(1 + φ − χ) (1 − 4χ + 6χ²)^2− 4bk48b3 k³(3 + 8φ + 6φ²)(1 + φ − χ)⁴(1 − 4χ + 6χ²) +a²bk(1 + φ − χ)² −(φ − 1)²+ 2(φ − 1)(6φ²− 7)χ + (13 + 4φ − 30φ²)χ² −8(1 + 3φ)χ³− 6χ⁴
− a3 χ (φ²− 1)²− 2(1 + φ²)χ²+ χ⁴
+ 4ab2 k²(1 + φ − χ)³ (−5 + 2φ + 3φ²+ 8(1 + φ)(2 − 3φ + 9φ²)χ + (−53 + 6φ(2 + 9φ))χ²+ 18χ^4 o . (5.44) Com esta última equação pode-se calcular Vφe Vχpara escrever as equações de movimento (5.33) explicitamente, e também vericar que elas são satisfeitas por (5.39).

Para determinarmos a energia do sistema, mais uma vez recorremos a componente T⁰⁰ do tensor energia-momentum e pelo fato dos defeitos não se alterarem no decorrer do deslocamento, temos que Hi = −L_i, onde a densidade lagrangeana para as ondas viajantes abordadas é,

L_i = −^a 2^(φ

02

+ χ⁰²) + b_iχ⁰⁰φ⁰− V (φ, χ). (5.45) Assim substituindo as equações diferenciais (5.43) e considerando V visto em (5.44) en-contramos a respectiva densidade de hamiltoniana

H_i = ^128e

4ξk2(a − b_ik + 4e2ξ(a + b_ik))

(1 + 4e2ξ)5 ; ξ = kx + ωt. (5.46) A partir de (5.46), constatamos que dξ = kdx, e que a energia total dos defeitos tipo

ondas viajantes é obtida a partir de E = Z +∞ −∞ dξ^Hi k ⁼ 2ak 3 ^. (5.47)

Aqui mais uma vez, é traçado uma dependência entre o parâmetro de violação de Lorentz g e k(ou ω), analisando os pontos extremos do potencial efetivo e comparando com a forma padrão do potencial BNRT. Primeiramente, calculando Vφφ e o determinante da matriz Hessiana para os pontos (-1,0) e (0,1), podemos ver que eles serão mínimos verdadeiros de V , se 2b_ik  1 −^3bik a  < a, (5.48)

levando à primeira restrição envolvendo b e a. Para obtermos o potencial padrão do modelo BNRT, fazemos g = 0 em (5.44), daí,

Vp(φ, χ) = a^k

2

2 ^(χ

2− 1)²+ φ⁴+ (6χ²− 2)φ²
, (5.49) que apresenta quatro mínimos em (±1, 0) e (0, ±1), bem como um máximo local em (0, 0), Vp(0, 0) = ak²/2. E fazendo a substituição de φ = χ = 0 no potencial (5.44), temos

V (0, 0) = ^k 2 2  a − 12b_ik + ^44b 2 ik² a ⁺ 80b³_ik³ a2 − ^576b 4 ik⁴ a3  ≡^{ 1} 2 − c  ak², (5.50) com c = ^12bk a ⁺ 44b²k² 2a2 +^80b 3k³ 2a3 −^576b 4k⁴ 2a4 (5.51)

onde c é uma pequena correção para o potencial original causado pelo parâmetro de VIL. Então, denindo que bi ≡ a(αk)−1, a equação anterior é reescrita como ,

α [α((α − 12)α + 44) + 80] − 576

2α4 = ¹

2 − c, (5.52)

então, para um valor de c = 10−1, encontramos α ≈ 55, 96 e para c = 10−2, α ≈ 596, 30, portanto com esses resultados e aplicando a denição bi ≡ a(αk)−1 em (5.34) resulta nas seguintes relações de dispersão,

k±1 = ^ω 2  αgω ±^p4 + α2g2ω2^; k±2 = ±√ ^ω 1 − αgω^; (5.53) k₃₁= −ω; k±32 = ^{1 − 2αgω ±} √ 1 − 8αgω 2αg ^,

portanto quando tomamos o limite em que g → 0, temos k±1 = k±2 = ±ω como é requerido pela teoria invariante de Lorentz padrão. No caso tipo-luz não podemos obter

a relação de dispersão naturalmente, assim expandimos a relação de dispersão k±32 em torno de pequenos valores de g, ou seja,

k₊₃₂= ω + 4αω²g; k−32 = ¹

αg − 3ω − 4αω2g, (5.54) até termos da ordem de g. A última expressão mostra que k−32 é fortemente dependente de pequenos valores de g, se comportando analogamente a relação de dispersão do tipo-luz no caso da solução particular vista em (4.31). Concluímos que, ao contrário de k31

e k+32, k−32 não pode reproduzir a relação de dispersão para a densidade lagrangeana de dois campos padrão de uma maneira natural, mesmo que leve a uma densidade de energia integrável. O comportamento não analítico de k−32 no parâmetro perturbativo é consistente com a relação de dispersão obtida por Reyes em [5, 37] para esse modelo eletromagnético de Myers-Pospelov. Como apontado em [5, 37] uma forte dependência quando g → 0, pode ser interpretado como graus de liberdade extra para a teoria tipo -luz, caracterizando assim como uma genuína teoria de altas ordens derivativas.

Vamos analisar agora o efeito do parâmetro perturbativo g, nesse caso especíco a Figura(5.4) exemplica defeitos tipo-ondas viajantes para o cenário tipo-tempo, pode-se

Figura 5.4: O gráco do campo φ, para o tipo-tempo do modelo BNRT. Os kinks foram gerados com k+1, α = 55, 96, g = 0, 03 (cura sólida vermelha), g = 0, 005 (curva tracejada azul), ω = 1, em t = 0 a esquerda e t = 10 a direita. Concluímos que pequenos valores de g resultam num rápido deslocamento dos defeitos.

perceber que os defeitos se movem rapidamente para pequenos valores de g. Podemos visualizar tais características nas Figuras(5.5 e5.6), onde a primeira ilustra o potencial V com uma correção de c = 10−2 devido ao parâmetro de VIL, bem como o seu contorno, onde os mínimos (−1, 0) e (0, 1) são conectados via soluções analíticas (5.39). Já a Figura (5.6) revela o comportamento do potencial V com uma correção c = 10−1 e seu respectivo contorno, onde a linha vermelha conecta as orbitas analíticas. Analisando os grácos

Figura 5.5: O potencial a esquerda para o tipo-tempo, com b = a(αk+1)⁻¹, α = 596, 30, k₊₁ = 2, ω = 1, e g = 0, 003. A direita temos o contorno do potencial V , onde a linha vermelha representa a órbita analítica do modelo conectando o mínimo (-1,0) com (0,1).

Figura 5.6: O potencial a esquerda para o tipo-tempo, com b = a(αk+1)⁻¹, α = 55, 96, k+1 = 2, ω = 1, e g = 0, 03. A direita temos o contorno do potencial V , onde a linha vermelha representa a órbita analítica do modelo conectando o mínimo (-1,0) com (0,1). concluímos que pequenos valores de c resultam em pequenas deformações no potencial de uma teoria invariante de Lorentz.

Capítulo 6

Conclusão e Perspectiva

Neste trabalho de dissertação, foram estudadas as propriedades associadas a La-grangeana de Myers-Pospelov em 2D descrita por dois campos escalares reais: φ e χ. Primeiro vericamos que este tipo de modelo pode ser obtido por um determinado pro-cesso de redução de dimensional com base na projeção da Lagrangeana de 4D para 2D. O ponto chave do procedimento de projeção dimensional é de que ele modica a ordem do operador derivativo que insere a VIL, antes de dimensão-cinco em 4D para dimensão-três agora em 2D.

Obtemos as equações de movimento para os três regimes distintos de ocorrência da VIL, isto é, quando restringe-se o quadri-vetor constante, nµ, ao caso tipo-tempo, caso tipo-espaço e caso tipo-luz. Nossa primeira análise focou nas equações de movimento associadas a esses diferentes regimes pelas quais mostramos que elas são satisfeitas por um conjunto especíco de campos analíticos que por sua vez, são soluções da equação de Burgers em baixas velocidades. Estudamos também o procedimento de obtenção das soluções analíticas para o caso estático (dependência espacial) e também para o caso de ondas viajantes (dependência temporal) relacionados a tal Lagrangeana. No sentido de se ter um melhor entendimento das aplicabilidades dos procedimentos, os exemplicamos através de campos tipo defeitos estáticos e dependentes do tempo.

Como aplicação do procedimento, consideramos um superpotencial estático des-crito por φ4 - χ4, e também pelo uso do modelo BNRT, que são exemplos clássicos de soluções de modelos de dois campos acoplados. A metodologia resulta na geração de potenciais que possuem diversos termos de acoplamentos envolvendo ambos os campos escalares. Como descritos nas Figs.( 5.1, 5.2, 5.5 e 5.6), o parâmetro que controlam a VIL é responsável pelos efeitos de deformações exibidos pelos potenciais. A dependência entre

k (vetor de onda) e g no capítulo 5 dene em quais direções os modelos analíticos obti-dos devem ser consistentes com pequenas deformações sobre os potenciais usuais. Além disso, o parâmetro g também muda a intensidade da transição entre dois vácuos, como é observado na Fig.(5.3) ou a velocidade das propagações dos solitons, veja também a Fig. (5.4).

A perspectiva natural desse trabalho é a de analisar outras alternativas de inserir os termos que controlam a VIL nas soluções solitônicas via uma abordagem perturbativa. Acreditamos que este tipo metodologia poderá determinar novas regras para descrever soluções analíticas para modelos com termos cinéticos generalizados em que pode ser aplicada em outros cenários que envolvam ou não efeitos da VIL. Uma outro possibili-dade de extender o presente trabalho é a de considerar outros cenários da literatura que descrevem modelos em altas ordens derivativas na ausência ou na presença de quebra explícita da invariância de Lorentz. Para o caso da ausência da VIL, podemos examinar o conteúdo físico em 2D da teoria de campos eletromagnética de Podolsky [39, 40], origi-nalmente descrita em 4D. E para o caso da presença da VIL, podemos estudar o conteúdo físico de modelos eletromagnéticos descrito por operadores de dimensão-seis [41].

Apêndice A

Obtenção da equação de movimento

Fazendo a minimização da ação obtemos a seguinte equação, ∂L

∂A_α ^{= ∂σ} ∂L

∂(∂_σA_α) − ∂_ρ∂_σ ^∂L

∂(∂_ρ∂_σA_α) (A.1)

que aplicando a densidade lagrangeana da pela Eq.(2.1) na presença de uma fonte externa, temos para a derivada em relação a Aµ

∂L ∂A_α ⁼ ∂ ∂A_α^(−jµA µ) = −4πj_µ^∂A µ ∂A_α ^{= −j} µ∂A_µ ∂A_α ^{= −j} µδ^α_µ = −j^α agora, analisando os termos de derivada primeira,

∂L ∂(∂σAα) ⁼ ∂ ∂(∂σAα)  −¹ 4^FµνF µν+ ^g 2ⁿ µF_µνn^θ∂_θ(n_βε^βνγλF_γλ) 

onde o primeiro termo que é a parte usual da densidade lagrangiana, se torna; ∂L ∂(∂_σA_α) ^{= −} 1 4 ∂ ∂(∂_σA_α)^FµνF µν, onde Fµν = g^µλg^νθF_λθ = −¹ 4 ∂ ∂(∂_σA_α)^Fµνg µλg^νθF_λθ = −¹ 4^g µλg^νθ  ∂ ∂(∂σAα)^Fµν  F_λθ + F_µν  ∂ ∂(∂σAα)^Fλθ  = −¹ 4^g µλg^νθ δ_µ^σδ_ν^α− δσ νδ_µ^α
F_λθ+ F_µν(δ_λ^σδ_θ^α− δσ θδ_λ^α)^ = −F^σα,

e o segundo termo; ∂L ∂(∂_σA_α) ⁼ ∂ ∂(∂_σA_α) g 2ⁿ µF_µνn^θ∂_θ(n_βε^βνγλF_γλ)^ = ^g 2ⁿ µ  ∂ ∂(∂σAα)^Fµν  n^θ∂_θ(n_βε^βνγλF_γλ) = ^g 2ⁿ µ δ_µ^σδ_ν^α− δσ νδ_µ^α
nθ∂_θ(n_βε^βνγλF_γλ) = ^g 2 ⁿ σn^θ∂_θn_βε^βαγλF_γλ− nαn^θ∂_θn_βε^βσγλF_γλ
,

por último iremos analisar o termo de derivada segunda do quadri-vetor Aµ; ∂L ∂(∂_ρ∂_σA_α) ⁼ g 2ⁿ µF_µνn^θn_βε^{βνγλ ∂(∂θFγλ)} ∂(∂_ρ∂_σA_α) = ^g 2ⁿ µF_µνn^θn_βε^βνγλ ∂(∂_θ∂_γA_λ) ∂(∂ρ∂σAα)− ^{∂(∂θ∂λAγ)} ∂(∂ρ∂σAα)  = ^g 2ⁿ µF_µνn^θn_βε^βνγλ(δρ θδ^σ_γδ^α_λ) − (δ_θ^ρδ_λ^σδ_γ^α) = ^g 2nµF_µνn^ρn_βε^βνσα− nµF_µνn^ρn_βε^βνασ = ^g 2nµF_µνn^ρn_βε^βνσα+ n^µF_µνn^ρn_βε^βνσα = ^g 22nµn^ρn_βε^βνσαF_µν , agora podemos substituir as derivadas na equação (A.1),

−∂_σF^σα+^g 2^{∂σ n} σn^θ∂_θn_βε^βαγλF_γλ− nαn^θ∂_θn_βε^βσγλF_γλ
+ −^g 2^{∂ρ∂σ 2n} µn^ρn_βε^βνσαF_µν
= −4πjα, (A.2) onde o último termo do lado esquerdo da igualdade pode ser reescrito manipulando o tensor eletromagnético, abrindo em dois termos, e vendo que uma parte se anula e a outra permanece da forma ;

−^g

2^{∂ρ∂σ 2n}

µn^ρn_βε^βνσαF_µν
= ^g 2⁽ⁿ

ρ∂_ρ)²n_βε^βανσF_νσ, então a Eq.(A.2) se torna,

−∂_σF^σα+ ^g

2(nρ∂_ρ)²n_βε^βαγλF_γλ− nαn^ρ∂_ρn_βε^βσγλ∂_σF_γλ + +^g

2⁽ⁿ

Apêndice B

O tensor energia-momentum no

formalismo de altas derivadas

Vamos inicialmente analisar a lagrangeana do campo escalar φ e suas primeiras m derivadas em um espaço-tempo n-dimensional.

L = L(φ, ∂φ, ...∂ⁿφ), (B.1)

onde a ação é dada por,

S = Z

dⁿxL, (B.2)

pelo princípio de Hamilton para a minimização da ação, onde ela deve ser estacionária [38], escrevemos

δS = Z

dⁿxδL = 0, (B.3)

aplicando a variação na lagrangeana, temos

δL = ^∂L ∂φ^{δφ +} ∂L ∂(∂_αφ)^{δ∂αφ + · · ·} ∂L ∂(∂_α1· · · ∂_αmφ)^δ(∂α1· · · ∂_αmφ), (B.4) fazendo uma integração por partes na variação das derivadas do campo φ e substituindo em Eq.B.3, δS = Z dⁿx h∂L ∂φ − ∂α ∂L ∂(∂_αφ) ^{+ · · · (∂α}1· · · ∂αm) ^∂L ∂(∂_α1· · · ∂_αmφ) i δφ = 0, (B.5) vemos que o termo entre colchetes deve ser igual a zero, que é a equação de Euler-Lagrange,

∂L ∂φ − ∂_α ^∂L ∂(∂_αφ) ^{+ ∂α∂β} ∂L ∂(∂_α∂_βφ) − · · · ± (∂_α1· · · ∂_αm) ^∂L ∂(∂_α1· · · ∂_αmφ) ^{= 0} (B.6)

Similarmente a este procedimento, podemos generalizar o teorema de Noether, δL = ∂_α^{n ∂L} ∂(∂_αφ) − ∂_β ^∂L ∂(∂_α∂_βφ) ^{+ · · ·}
δφ + ^∂L ∂(∂_α∂_βφ) − ∂_σ ^∂L ∂(∂_α∂_β∂_σ) ^{+ · · ·}
δ∂βφ + ^∂L ∂(∂α∂β∂σ) − · · ·
δ∂β∂_σ+ · · ·^o.(B.7) Em particular, podemos construir o tensor energia-momentum Tµν considerando a trans-lação innitesimal :

δx^µ= ε^µ; δL = ∂_µLε^µ; δφ = ∂_µφε^µ; δ∂_αφ = ∂_µ∂_αφε^µ, (B.8) que substituindo na equação acima, temos

∂µLε^µ = ∂α n ∂L ∂(∂_αφ) − ∂β ∂L ∂(∂_α∂_βφ) ^{+ · · ·}
∂µφε^µ+ ^∂L ∂(∂_α∂_βφ) − ∂σ ∂L ∂(∂_α∂_β∂_σ)^{+ · · ·}
∂µ∂βφε^µ + ^∂L ∂(∂_α∂_β∂_σ)− · · ·
∂µ∂_β∂_σφε^µ+ · · ·^o (B.9) simplicando e deixando compatível com a densidade lagrangiana usada no nosso trabalho,

temos ∂_α^{n ∂L} ∂(∂_αφ) − ∂_β ^∂L ∂(∂_α∂_βφ)
∂µφ + ^∂L ∂(∂_α∂_βφ)
∂_β∂^µφ^o− ηµα∂_αL = 0, ∂_αT^αµ= 0 (B.10) em que usamos, ∂µL = ηµα∂_αL e o tensor energia-momentum é dado por,

T^αµ = ^∂L

∂(∂_αφ) − ∂_β ^∂L

∂(∂_α∂_βφ)
∂µ

φ + ^∂L

∂(∂_α∂_βφ)
∂_β∂^µφ − η^µαL. (B.11) Então para a lagrangeana do nosso modelo em 2D,

LM P = ¹ 2^∂µφ∂ µ φ +¹ 2^∂µχ∂ µ χ + gnµε^µν(n · ∂)²χ∂νφ − V (φ, χ), (B.12)

vamos calcular as derivadas parciais separadamente, ∂L ∂(∂_αφ) ⁼ ∂ ∂(∂_αφ) h1 2^∂µφ∂ µφ + gn_µε^µν(n · ∂)²χ∂_νφⁱ = ¹ 2 h∂(∂_µφ) ∂(∂_αφ)^∂ µφ + ∂_µφ^∂(∂ µφ) ∂(∂_αφ) i + gn_µε^µν(n · ∂)²χ^∂(∂νφ) ∂(∂_αφ) = ¹ 2 h δ_µ^α∂^µφ + ∂^µφ^∂(∂µφ) ∂(∂_αφ) i + gn_µε^µν(n · ∂)²χδ_ν^α = ¹ 2^[δ α µ∂^µφ + ∂^µφδ^α_µ] + gnµε^µν(n · ∂)²χδ_ν^α = ¹ 2^[∂ α φ + ∂^αφ] + gnµε^µα(n · ∂)²χ = ∂^αφ + gnµε^µα(n · ∂)²χ. (B.13) Agora, para ∂L

∂(∂α∂βφ) = 0, tendo em mente que a densidade lagrangeana não apresenta derivadas segunda no campo φ. E para as derivadas relativas ao campo χ,

∂L ∂(∂_αχ) ⁼ ∂ ∂(∂_αχ) 1 2^∂µχ∂ µχ^= ∂^αχ (B.14)

e a derivada segunda em relação a χ, ∂L ∂(∂_α∂_βχ) ⁼ ∂ ∂(∂_α∂_βχ) h gn_µε^µν∂_νφn^λn^ρ∂_λ∂_ρχⁱ = gn_µε^µν∂_νφn^λn^{ρ∂(∂λ∂ρχ)} ∂(∂_α∂_βχ) = gn_µε^µν∂_νφn^λn^ρδ^α_λδ_β^ρ = gn_µε^µν∂_νφn^αn^β (B.15)

Após realizarmos as derivadas dos campos , vamos substitui-las no Tασ,

T^ασ = ∂^αφ + gnµε^µα(n · ∂)²χ
∂σ

+ ∂^αχ − gnµε^µν∂νφn^αn^β∂β
∂σ

χ +

gnµε^µν∂νφn^αn^β∂β∂^σχ
− ηασL, (B.16) onde para obtermos a densidade de energia fazemos T00, da forma

T⁰⁰ = ( ˙φ)²+ gn_µε^µα(n · ∂)²χ ˙φ + ( ˙χ)²− gn_µε^µν∂_νφn⁰n^β∂_βχ + (gn˙ _µε^µν∂_νφn⁰n^β∂_βχ)˙ −η00^{n ˙}φ2 2 −^φ 02 2 ⁺ ˙ χ2 2 − ^χ 02 2 + g ¨χφ⁰+ χ⁰⁰φ⁰ + 2 ˙χ⁰φ⁰+ ¨χ ˙φ + χ⁰⁰φ + 2 ˙^˙ χ⁰φ − V (φ, χ)^{˙ o}, (B.17)

como estamos considerando defeitos estáticos, as derivadas temporais dos campos serão nulas, então, camos com a seguinte expressão,

T⁰⁰ = ^φ

02

2 ⁺ χ⁰²

2 − gχ⁰⁰φ⁰+ V (φ, χ) (B.18) que substituindo as derivadas das funções φ e χ e o potencial efetivo, podemos integrar a expressão sobre todo o espaço e obtermos a energia do sistema.

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No documento Adriano dos Santos Oliveira (páginas 39-55)