Capítulo 5 – Aplicações
5.2. Exemplo 1: Problema de Transferência de Calor
Este exemplo trata da análise de um problema de condução de calor 3D e tem como objetivo principal validar e estudar a performance do algoritmo de acoplamento genérico EC–EC desenvolvido, bem como, avaliar a eficiência do solver iterativo em função do condicionamento do sistema.
O domínio do problema é discretizado em oito subregiões e tem–se que a temperatura é prescrita nas duas extremidades do domínio e o fluxo, no restante do contorno, como mostra a Figura 5.1.
temperatura prescrita: u = 0 ºC Ω2
Ω1 Ω6
Ω3
0,50 m 0,20 m
temperatura prescrita: u = 300 ºC
0,50 m 0,20 m
0,20 m
0,20 m
Ω4 Ω7 Ω8
Ω5
fluxo prescrito:
p = 0,0 J/m s2
x y
z
Figura 5.1 – Decomposição de domínio
Para a discretização de cada uma das subregiões utilizaram–se dois modelos de contorno diferentes com 54 e 96 elementos (ver Figura 5.2), resultando em sistemas com, respectivamente, 1312 e 2320 equações.
Malha I: 54 elementos 164 nós
Malha I: 96 elementos 290 nós
Figura 5.2 – Malhas de elementos de contorno para cada subregião
Na análise, adotaram–se os seguintes valores de condutividade térmica relativa para as subregiões:
k
k1 = , k1 =103k, k1 =106k, k1 =109k, k1 =1010k, k1 =1011k , k1 =1012k e
0 ,
8 1
7 6 5 4 3
2 =k =k =k =k =k =k =k=
k ;
em que, ki denota a condutividade do domínio Ωi. Note que adotaram–se valores de condutividade absurdamente elevados de modo a gerar sistemas mal–condicionados.
Mediu–se a temperatura e o fluxo no ponto central de cada uma das subregiões. As respostas obtidas foram comparadas com a solução analítica do problema (k1 =k) e com as soluções obtidas via ANSYS.
Este problema apesar de apresentar solução analítica simples é complexo no ponto de vista de simulação computacional. Considerando–se, por exemplo, a condutividade relativa k1=k, tem–se como resposta um perfil linear de distribuição de temperatura e fluxo constante ao longo de x. Entretanto, a subdivisão do domínio em várias subregiões implica na existência de vários cantos e arestas nas interfaces entre subregiões, conseqüentemente haverá descontinuidade de fluxo nestes nós. Sendo assim, é conveniente discretizar as interfaces utilizando–se elementos de contorno descontínuos. Os valores de deslocamento, d, adotados para a geração desses elementos foram d =0,01, d =0,05 e d =0,1.
Nos gráficos das Figuras 5.3 e 5.5 apresentam–se as temperaturas no ponto central da subregião 5 calculadas utilizando–se o solvers direto (DLSARG) e iterativo (J–
BiCG), para d =0,05, em função das condutividades consideradas e dos vários processos integração para, respectivamente, os modelos I e II. Nas Figuras 5.4 e 5.6 analisa–se a variação dessa resposta em função dos valores de d. Menciona–se que estas respostas foram obtidas para npi=8×8. Comparam–se os resultados com os valores obtidos via ANSYS, sendo a malha de elementos finitos composta por 512 elementos do tipo SOLID90 (vinte nós) resultando em um modelo com 2673 nós.
1 E +0 0 0 1 E +0 0 3 1 E +0 0 6 1 E +0 0 9 1 E +0 1 2 k1/k
1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0 2 2 0 2 4 0 2 6 0 2 8 0 3 0 0
Temperatura no ponto central deΩ5 (ºC)
A N S Y S
N A E S Y - D L S A R G - ic p t = 1 N A E S Y - D L S A R G - ic p t = 2 N A E S Y - D L S A R G - ic p t = 3 N A E S Y - J-B iC G - ic p t = 1 N A E S Y - J-B iC G - ic p t = 2 N A E S Y - J-B iC G - ic p t = 3
54 Elemento s d e Co ntorno d = 0.05
Figura 5.3 – Temperatura calculada com diferentes métodos – modelo I
1 E +0 0 0 1 E +0 0 3 1 E +0 0 6 1 E +0 0 9 1 E +0 1 2 k1/k
1 0 0 1 2 5 1 5 0 1 7 5 2 0 0 2 2 5 2 5 0 2 7 5 3 0 0
Temperatura no ponto central deΩ5 (ºC)
A N S Y S icp t = 1 ; d = 0 .1 icp t = 1 ; d = 0 .0 5 icp t = 1 ; d = 0 .0 1 icp t = 2 ; d = 0 .1 icp t = 2 ; d = 0 .0 5 icp t = 2 ; d = 0 .0 1 icp t = 3 ; d = 0 .1 icp t = 3 ; d = 0 .0 5 icp t = 3 ; d = 0 .0 1
54 Elemento s d e Co ntorno NAE SY-J-BiCG
Figura 5.4 – Temperatura obtida para os diferentes valores de d – modelo I
1 E +0 0 0 1 E +0 0 3 1 E +0 0 6 1 E +0 0 9 1 E +0 1 2 k1/k
1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0 2 2 0 2 4 0 2 6 0 2 8 0 3 0 0
Temperatura no ponto central deΩ5 (ºC)
A N S Y S
N A E S Y -D L S A R G - ic p t = 1 N A E S Y -D L S A R G - ic p t = 2 N A E S Y -D L S A R G - ic p t = 3 N A E S Y -J -B iC G - icp t = 1 N A E S Y -J -B iC G - icp t = 2 N A E S Y -J -B iC G - icp t = 3
96 Elemento s d e Co ntorno d = 0.05
Figura 5.5 – Temperatura calculada com diferentes métodos – modelo II
1 E +0 0 0 1 E +0 0 3 1 E +0 0 6 1 E +0 0 9 1 E +0 1 2 k1/k
1 0 0 1 2 5 1 5 0 1 7 5 2 0 0 2 2 5 2 5 0 2 7 5 3 0 0
Temperatura no ponto central deΩ5 (ºC)
A N S Y S icp t = 1 ; d = 0 .1 icp t = 1 ; d = 0 .0 5 icp t = 1 ; d = 0 .0 1 icp t = 2 ; d = 0 .1 icp t = 2 ; d = 0 .0 5 icp t = 2 ; d = 0 .0 1 icp t = 3 ; d = 0 .1 icp t = 3 ; d = 0 .0 5 icp t = 3 ; d = 0 .0 1
9 6 Elemen tos de Co ntorno NA ESY-J-BiCG
Figura 5.6 – Temperatura obtida para os diferentes valores de d – modelo II
Observa–se a partir das curvas de temperatura que as respostas obtidas utilizando–se o solver NAESY–J–BiCG é praticamente coincidente com as obtidas utilizando–se o solver de alta precisão NAESY–DLSARG mesmo para sistemas muito mal–
condicionados (k1 >1010k e d =0,01). Nota–se, também, que para valores de condutividade maiores que 1010k não foi possível resolver o problema utilizando–se o ANSYS. Considerando–se os gráficos das Figuras 5.4 e 5.6 vê–se que a resposta do solver J–BiCG não varia em função dos valores de d considerados na análise.
Com o objetivo de avaliar a eficiência dos algoritmos de integração, realizou–se um estudo da variação da resposta do potencial e do fluxo no ponto central da subregião 5 para o modelo I e condutividade térmica relativa k1 =k. Neste estudo, a resposta foi medida considerando–se diferentes ordens de integração e calcularam–se os erros com relação à solução analítica do problema, a saber: u=225ºC e p=300J/m2s. Os resultados são apresentados nos gráficos das Figuras de 5.7 a 5.12 para os vários processos de integração e valores de d.
3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0 n ú m ero d e p on to s d e i nte g ra çã o (n p i)
0 .0 0 .1 0 .2 0 .3 0 .4 0 .5 0 .6 0 .7 0 .8
erro (%)
d = 0 .1 - ic p t = 1 d = 0 .1 - ic p t = 2 d = 0 .1 - ic p t = 3
54 E lem entos de Contorno - P otenc ial Ω5 k1 = 1.0 - NA ES Y -J-B iCG
Figura 5.7 – Erro na avaliação do potencial x npi (d =0.1)
3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0 n ú m ero d e p o nto s d e inte g raçã o (n p i)
0 .0 0 .1 0 .2 0 .3 0 .4 0 .5 0 .6 0 .7 0 .8
erro (%)
d = 0 .0 5 - icpt = 1 d = 0 .0 5 - icpt = 2 d = 0 .0 5 - icpt = 3
54 E lem entos de C ontorno - P otencial Ω5 k1 = 1.0 - N AES Y-J-BiCG
Figura 5.8 – Erro na avaliação do potencial x npi (d =0.05)
3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0 núm ero de po nto s de integ ra ção (np i)
0 .0 0 .1 0 .2 0 .3 0 .4 0 .5 0 .6 0 .7 0 .8
erro (%)
d = 0 .0 1 - ic p t = 1 d = 0 .0 1 - ic p t = 2 d = 0 .0 1 - ic p t = 3
54 E lem entos de C ontorno - Potencial Ω5 k1 = 1.0 - NA ES Y-J-BiC G
Figura 5.9 – Erro na avaliação do potencial x npi (d =0.01)
3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0 núm ero de po ntos de integ raç ão (np i)
0 .0 0 .2 0 .4 0 .6 0 .8 1 .0 1 .2 1 .4 1 .6
erro (%)
d = 0 .1 - icp t = 1 d = 0 .1 - icp t = 2 d = 0 .1 - icp t = 3
54 E lementos de Contorno - F luxo Ω5 k1 = 1.0 - N A ES Y-J-BiC G
Figura 5.10 – Erro na avaliação do fluxo x npi (d =0.1)
3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0 núm ero d e po ntos de integ raç ão (np i)
0 .0 0 .2 0 .4 0 .6 0 .8 1 .0 1 .2 1 .4
erro (%)
d = 0 .0 5 - ic p t = 1 d = 0 .0 5 - ic p t = 2 d = 0 .0 5 - ic p t = 3
54 E lementos de Contorno - Fluxo Ω5 k1 = 1.0 - N AE S Y-J-B iC G
Figura 5.11 – Erro na avaliação do fluxo x npi (d = 0.05)
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 n úm e ro de pontos de in teg raç ão (npi)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4
erro (%)
d = 0.01 - icp t = 1 d = 0.01 - icp t = 2 d = 0.01 - icp t = 3
54 E lem entos de Contorno - F luxo Ω5 k1 = 1.0 - NA E S Y -J -B iCG
Figura 5.12 – Erro na avaliação do fluxo x npi (d =0.01)
A performance do algoritmo de acoplamento foi avaliada com base na relação entre os tempos de processamento dos solvers J–BiCG e DLSARG, e do número de iterações (nit) em função da ordem do sistema de equações (n). Os resultados obtidos, para os vários processos de integração e valores de d, são apresentados nos gráficos das Figuras de 5.13 a 5.16 para os modelos I e II, respectivamente. Nas Figuras 5.17 e 5.18 plota–se o tempo de CPU do solver DLSARG escalonado pelo tempo de montagem da matriz global do sistema acoplado em função da condutividade relativa, para d =0,1. A ordem de integração adotada foi npi=8×8. Observa–se que o solver J–BiCG, em geral, apresentou melhor desempenho que o solver direto, e que não ocorreram grandes alterações no tempo de resolução do sistema, para um mesmo valor de d, em função do processo de integração adotado.
1 E +0 00 1 E +0 03 1 E +0 06 1 E +0 09 1 E +0 12 k1/k
0 .0 0 .5 1 .0 1 .5 2 .0 2 .5 3 .0
Tempo de CPU J-BiCG / Tempo CPU DLSARG
ic p t = 1 - d = 0.1 ic p t = 1 - d = 0.05 ic p t = 1 - d = 0.01 ic p t = 2 - d = 0.1 ic p t = 2 - d = 0.05 ic p t = 2 - d = 0.01 ic p t = 3 - d = 0.1 ic p t = 3 - d = 0.05 ic p t = 3 - d = 0.01
54 E lem entos de C onto rno
Figura 5.13 – Tempo de CPU dos solvers para o modelo I
1 E +0 00 1 E +0 03 1 E +0 06 1 E +0 09 1 E +0 12 k1/k
0 .0 0 .5 1 .0 1 .5 2 .0 2 .5
Tempo de CPU J-BiCG / Tempo CPU DLSARG
icp t = 1 - d = 0 .1 icp t = 1 - d = 0 .0 5 icp t = 1 - d = 0 .0 1 icp t = 2 - d = 0 .1 icp t = 2 - d = 0 .0 5 icp t = 2 - d = 0 .0 1 icp t = 3 - d = 0 .1 icp t = 3 - d = 0 .0 5 icp t = 3 - d = 0 .0 1
96 E lem entos de Contorno
Figura 5.14 – Tempo de CPU dos solvers para o modelo II
1 E +0 0 0 1 E +0 0 3 1 E +0 0 6 1 E +0 0 9 1 E +0 1 2 k1/k
0 .0 0 0 .1 0 0 .2 0 0 .3 0 0 .4 0 0 .5 0 0 .6 0 0 .7 0 0 .8 0 0 .9 0
nit / n
ic p t = 1 - d = 0 .1 ic p t = 1 - d = 0 .0 5 ic p t = 1 - d = 0 .0 1 ic p t = 2 - d = 0 .1 ic p t = 2 - d = 0 .0 5 ic p t = 2 - d = 0 .0 1 ic p t = 3 - d = 0 .1 ic p t = 3 - d = 0 .0 5 ic p t = 3 - d = 0 .0 1
54 Elem e ntos de C ontorno
Figura 5.15 – Número de iterações/ordem do sistema: modelo I
1 E +0 0 0 1 E +0 0 3 1 E +0 0 6 1 E +0 0 9 1 E +0 1 2 k1/k
0 .0 0 0 .1 0 0 .2 0 0 .3 0 0 .4 0 0 .5 0 0 .6 0 0 .7 0 0 .8 0
nit / n
icp t = 1 - d = 0 .1 icp t = 1 - d = 0 .0 5 icp t = 1 - d = 0 .0 1 icp t = 2 - d = 0 .1 icp t = 2 - d = 0 .0 5 icp t = 2 - d = 0 .0 1 icp t = 3 - d = 0 .1 icp t = 3 - d = 0 .0 5 icp t = 3 - d = 0 .0 1
96 E lem entos de Contorno
Figura 5.16 – Número de iterações/ordem do sistema: modelo II
1E +0 0 0 1E +0 0 3 1E +0 0 6 1E +0 0 9 1E +0 12 k1/k
2.2 2.4 2.6 2.8 3.0 3.2
Tempo de CPU DLSARG / Tempo de montagem
ic p t = 1 ic p t = 2 ic p t = 3
54 Elem e ntos de C ontorn o d = 0 .1
Figura 5.17 – Tempo de CPU DLSARG/Tempo de montagem: modelo I
1E +0 0 0 1E +0 0 3 1E +0 0 6 1E +0 0 9 1E +0 1 2 k1/k
6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0
Tempo de CPU DLSARG / Tempo de montagem
ic p t = 1 ic p t = 2 ic p t = 3
96 E lem entos de Contorno d = 0.1
Figura 5.18 – Tempo de CPU DLSARG/Tempo de montagem: modelo II
A partir da rotina IMSL, DLFCRG, calcularam–se os valores estimados do número de condicionamento espectral do sistema de equações, apresentados nos gráficos das Figuras 5.19 e 5.20 em função do valores de d e de condutividade térmica adotados.
1 E +0 00 1 E +0 03 1 E +0 06 1 E +0 09 1 E +0 12 k1/k
1 .0E +0 03 1 .0E +0 05 1 .0E +0 07 1 .0E +0 09 1 .0E +0 11 1 .0E +0 13
Número de Condicionamento Estimado
d = 0 .1 d = 0 .0 5 d = 0 .0 1
5 4 Elem e ntos de C ontorn o NA E SY-DL FC RG
Figura 5.19 – Número de condicionamento estimado para o modelo I
1 E +0 00 1 E +0 03 1 E +0 06 1 E +0 09 1 E +0 12 k1/k
1 .0E +0 03 1 .0E +0 05 1 .0E +0 07 1 .0E +0 09 1 .0E +0 11 1 .0E +0 13
Número de Condicionamento Estimado
d = 0 .1 d = 0 .0 5 d = 0 .0 1
96 E lem entos de Contorno NA E S Y -DLF CRG
Figura 5.20 – Número de condicionamento estimado para o modelo II