Exemplo 3 problema de Woodward & Colella

Este exemplo descreve o escoamento de uido unidimensional conhecido como problema teste de Woodward & Colella [94]. O destaque é a grande diferença de ordem de grandeza na pressão inicial, o que traz um ambiente encontrado em problemas de formação de jatos relativísticos. Um outro interesse em realizar este exemplo é o fato de que o uido se desenvolverá à direita, isto é, no sentido contrário do problema de Sod - exemplos 1 e

Figura 3.24: Evolução da densidade: à esquerda tem-se a solução obtida pelo método Lax-Friedrichs e à direita pelo Método Nessyahu-Tadmor.

Figura 3.25: Evolução da densidade: à esquerda expõem-se a solução obtida pelo método Lax-Wendro-Richtmeyer(LWR) e à direita pelo método LWR com RK3-TVD.

Figura 3.26: Evolução da velocidade: à esquerda encontra-se a solução exata de refer- ência e à direita a solução obtida pelo Método de Godunov com o resolucionador de problemas de Riemann HLL.

Figura 3.27: Evolução da velocidade: à esquerda tem-se a solução obtida pelo método Lax-Friedrichs e à direita pelo Método Nessyahu-Tadmor.

Figura 3.28: Evolução da velocidade: à esquerda expõe-se a solução obtida pelo método Lax-Wendro-Richtmeyer(LWR) e à direita pelo método LWR com RK3-TVD.

Figura 3.29: Evolução da pressão: à esquerda encontra-se a solução exata de referência e à direita a solução obtida pelo Método de Godunov com o resolucionador de problemas de Riemann HLL.

Figura 3.30: Evolução da pressão: à esquerda tem-se a solução obtida pelo método Lax-Friedrichs e à direita pelo Método Nessyahu-Tadmor.

Figura 3.31: Evolução da pressão: à esquerda expõe-se a solução obtida pelo método Lax-Wendro-Richtmeyer(LWR) e à direita pelo método LWR com RK3-TVD.

Figura 3.32: Evolução da energia interna: à esquerda encontra-se a solução exata de referência e à direita a solução obtida pelo Método de Godunov com o resolucionador de problemas de Riemann HLL.

Figura 3.33: Evolução da energia interna: à esquerda tem-se a solução obtida pelo método Lax-Friedrichs e à direita pelo Método Nessyahu-Tadmor.

Figura 3.34: Evolução da energia interna: à esquerda expõe-se a solução obtida pelo método Lax-Wendro-Richtmeyer(LWR) e à direita pelo método LWR com RK3-TVD. 2, assim os dois problemas testam os códigos dos métodos em várias situações possíveis tornando-os mais conáveis.

O problema de Woodward & Colella à direita consiste das seguintes condições iniciais:

ρ(x, 0) =    1, 0 se x < 2 1, 0 se x > 2 , v(x, 0) =    0, 0 se x < 2 0, 0 se x > 2 , e p(x, 0) =    0, 01 se x < 2 1.000, 00 se x > 2 . (3.74)

Consideramos γ = 1, 4 e para as simulações representadas pelas Figuras 3.37 - 3.48 utilizamos os dados da Tabela 3.4. As condições iniciais estão plotadas nas Figuras 3.35 e 3.36. Em todos os grácos de soluções numéricas mostramos a solução analítica de referência em cor preta. Na Tabela 3.5 encontram-se informações sobre o desempenho computacional de cada método, quando aplicados ao problema em questão.

Tabela 3.4: Dados computacionais para a obtenção das soluções do problema de Wood- ward & Colella

Domínio Subintervalos ∆x tf

[0,4] 800 0,005 0,04

Tabela 3.5: Informações sobre a performance computacional de cada método numérico Esquema CFL passos de tempo tempo nal tempo CPU (s)

Lax-Friedrichs 0,02 400 0,04 32,089

Godunov-HLL 0,02 400 0,04 80,471

LWR-RK3TVD (∗) 0,02 400 0,04 166,76

Nessyahu-Tadmor-ST 0,008 1.000 0,04 754,99

Lax-Wendro (∗∗) 0,0001-0,04 - - -

(∗)método estável para os valores 0, 01 e 0, 02, e instável para 0, 005 e 0, 04. (∗∗)método não estabilizado entre 0,0001 e 0,04.

Figura 3.35: Condições iniciais: à esquerda tem-se a densidade inicial e à direita a veloci- dade inicial.

Figura 3.36: Condições iniciais: à esquerda tem-se a pressão inicial e à direita a energia interna inicial.

Friedrichs, Nessyahu-Tadmor, Lax-Wendro-Richtmyer, LWR com Runge-Kutta de ter- ceira ordem TVD e Godunov com HLL.

Os grácos à esquerda das Figuras 3.38, 3.41, 3.44 e 3.47 mostram as soluções encon- tradas pelo Método Lax-Friedrichs. Apesar do caráter dissipativo, as soluções numéricas são boas aproximações e tal caráter neste exemplo não cou tão evidenciado quando com- parado ao problema de Sod - Exemplo 1. A dissipação numérica foi mais evidenciada no gráco da densidade - Figura 3.38.

Nas mesmas guras, os grácos à direita mostram as soluções obtidas pelo método Nessyahu-Tadmor e tal método permaneceu menos dissipativo mesmo precisando de mais iterações quando comparado ao Lax-Friedrichs - veja Tabela 3.5. Confrontando os méto- dos Nessyahu-Tadmor e Godunov-HLL - guras 3.37, 3.40, 3.43 e 3.46 - as soluções grá- cas possuem comportamentos semelhantes. O método Nessyahu-Tadmor precisou de um tempo de execução maior que o do método Godunov-HLL - ver Tabela 3.5, porém ressalta-se que o método Godunov-HLL necessita dos autovalores da matriz Jacobiana e em sistemas que não são estritamente hiperbólicos, as diculdades de aplicação au- mentam. Embora as soluções apresentem grandes semelhanças, destacam-se as soluções obtidas pelo método Nessyahu-Tadmor, pois foi possível perceber uma melhor represen- tação do pico que aparece no gráco da densidade, mesmo sem precisar de informações a mais como no caso do método Godunov-HLL.

As soluções obtidas pelos métodos Lax-Wendro's encontram-se nas Figuras 3.39, 3.42, 3.45 e 3.48. Nos grácos à esquerda têm-se as soluções obtidas pelo método Lax-Wendro- Richtmyer, cuja evolução temporal não atingiu o tempo nal devido as grandes oscilações. Na tentativa de estabilizá-lo variou a CFL entre os valores de 0, 0001 até 0, 04, entretanto não foi possível obter uma solução estável. As Figuras 3.39, 3.42, 3.45 e 3.48 possuem soluções, com oscilações utilizando o método LWR com os valores CF L = 0, 0001, 1200 iterações e tempo nal de 6.10−4_{, com um pouco mais de iterações a solução é ilimitada}

obtendo-se um overow.

Nota-se que, mesmo o método Lax-Wendro-Richtmyer sendo consistente e condi- cionalmente estável - seção 3.5.3, não foi possível obter uma solução estável devido a propagação de grandes oscilações nas proximidades da descontinuidade inicial da pressão.

A modição realizada no método Lax-Wendro utilizando o Runge-Kutta 3 TVD para a discretização, foi capaz de controlar a grande oscilação inicial e estabilizar a solução numérica, veja as Figuras 3.39, 3.42, 3.45 e 3.48, grácos à direta. Modicando a CFL para 0, 01 realizamos a simulação com o método LWR-KK3TVD até o tempo nal de 0, 04 com 800 iterações, neste caso a oscilação inicial continuou controlada, porém com uma amplitude maior do que a solução obtida com a CFL de 0, 02 - ver Figuras 3.49 e 3.50. De fato as soluções foram controladas, simulações com tempo nal maior foram realizadas e tal oscilação não aumentou de tamanho.

O custo computacional desses métodos encontram-se na Tabela 3.5. O método Nessyahu- Tadmor demorou 20 vezes mais para executar a mesma evolução temporal realizada pelo método Lax-Friedrichs e o método LWR com RK3-TVD gastou quase 4 vezes mais para realizar a evolução que o Lax-Friedrichs fez. Por outro lado, o método Nessyahu-Tadmor foi o que melhor representou a evolução da descontinuidade inicial da pressão e as de- mais descontinuidades subsequentes às condições iniciais. O grande aumento no tempo de execução do método Nessyahu-Tadmor está vinculado à função minmod, pois sua im- plementação computacional depende de tomadas de decisões - comandos IF's.

O gráco à direita da Figura 3.37 mostra a solução numérica do método de Godunov- HLL. As demais Figuras 3.40 - 3.48 apresentam as soluções obtidas por cada método numérico e expõem os comportamentos já citados anteriormente.

Figura 3.37: Evolução da densidade: à esquerda encontra-se a solução exata de re- ferência e à direita a solução obtida pelo Método de Godunov com o resolucionador de problemas de Riemann HLL.

Figura 3.38: Evolução da densidade: à esquerda tem-se a solução obtida pelo método Lax-Friedrichs e à direita pelo Método Nessyahu-Tadmor.

Figura 3.39: Evolução da densidade: à esquerda expõem-se a solução obtida pelo método Lax-Wendro-Richtmeyer(LWR) e à direita pelo método LWR com RK3-TVD.

Figura 3.40: Evolução da velocidade: à esquerda encontra-se a solução exata de refer- ência e à direita a solução obtida pelo Método de Godunov com o resolucionador de problemas de Riemann HLL.

Figura 3.41: Evolução da velocidade: à esquerda tem-se a solução obtida pelo método Lax-Friedrichs e à direita pelo Método Nessyahu-Tadmor.

Figura 3.42: Evolução da velocidade: à esquerda expõem-se a solução obtida pelo método Lax-Wendro-Richtmeyer(LWR) e à direita pelo método LWR com RK3-TVD.

Figura 3.43: Evolução da pressão: à esquerda encontra-se a solução exata de referência e à direita a solução obtida pelo Método de Godunov com o resolucionador de problemas de Riemann HLL.

Figura 3.44: Evolução da pressão: à esquerda tem-se a solução obtida pelo método Lax-Friedrichs e à direita pelo Método Nessyahu-Tadmor.

Figura 3.45: Evolução da pressão: à esquerda expõem-se a solução obtida pelo método Lax-Wendro-Richtmeyer(LWR) e à direita pelo método LWR com RK3-TVD.

Figura 3.46: Evolução da energia interna: à esquerda encontra-se a solução exata de referência e à direita a solução obtida pelo Método de Godunov com o resolucionador de problemas de Riemann HLL.

Figura 3.47: Evolução da energia interna: à esquerda tem-se a solução obtida pelo método Lax-Friedrichs e à direita pelo Método Nessyahu-Tadmor.

Figura 3.48: Evolução da energia interna: à esquerda expõem-se a solução obtida pelo método Lax-Wendro-Richtmeyer(LWR) e à direita pelo método LWR com RK3-TVD.

Figura 3.49: Evolução da densidade: à esquerda tem-se a solução da densidade e à direita da velocidade, ambas obtida pelo método LWR com RK3-TVD. Consideramos a CFL de 0, 01, que apresentou uma oscilação inicial maior do que a oscilação para CF L = 0, 02.

Figura 3.50: Evolução da densidade: À esquerda tem-se a solução da pressão e à direita da energia interna, ambas obtida pelo método LWR com RK3-TVD. Consideramos a CFL de 0, 01, que apresentou uma oscilação inicial maior do que a oscilação para CF L = 0, 02.