Os últimos exemplos apresentados baseiam-se num artigo dos autores Lou, T. et al. (2013), publicado por Journal of Bridge Engineering (ASCE). As avaliações numéricas presentes no artigo pretendem estudar o comportamento à flexão de vigas contínuas com pré-esforço aplicado externamente. Nestes exemplos foram analisadas apenas duas vigas, Vigas 5V1 e 5V2 com seções transversais de dimensões iguais, mantendo os mesmos materiais: betão e aço, mas com armadura variável.
O esquema estrutural das vigas analisadas consiste numa viga contínua de dois vãos, simétrica, com um comprimento total de 20,0 m, tal como apresentado na Figura 4.16. A geometria da seção transversal é idêntica para as duas vigas: largura b = 0,3 m e altura h = 0,6 m. Na viga são aplicadas duas cargas pontuais que distam 5,0 m de cada apoio extremo.
Figura 4.16 – Geometria e esquema estrutural das Vigas dos Exemplos 5.
Ao longo da viga, o diagrama de momentos fletores varia entre momentos positivos e negativos, o que leva a adotar duas seções para cada viga variando a armadura: uma sobre o apoio central e outra para os vãos. Ao longo de 7,0 m, desde os topos da viga, a armadura de tração As estará na parte inferior da viga e a de compressão na parte superior, enquanto no restante comprimento intermédio (zona central da viga correspondente ao momentos fletores
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negativos registados) a armadura de tração estará na parte superior da viga e a de compressão na parte inferior. Na Tabela 4.17 são definidas as seções transversais das Vigas 5V1 e 5V2.
Tabela 4.17 - Caraterísticas geométricas e armaduras das Vigas dos Exemplos 5.
5V1 5V2
d // d' 0,565 m // 0,035 m 0,565 m // 0,035 m As // ρ 5,40 cm2 // 0,3 % 10,8 cm2 // 0,6 %
As' 3,60 cm2 3,60 cm2
As propriedades mecânicas do betão e do aço são apresentadas nas Tabelas 4.18 e 4.19. O aço considerado foi o aço NR.
Tabela 4.18 – Caraterísticas mecânicas do betão das Vigas dos Exemplos 5.
Viga fcm,cube (MPa) fctm (MPa) εcu (‰) Ec (GPa) εpc (‰)
5V1 e 5V2 40 3,0 3,3 33,3 2,0
Tabela 4.19 – Caraterísticas mecânicas do aço das Vigas dos Exemplos 5.
Viga fy (MPa) fyu (MPa) Es (GPa) εsu (‰) ks
5V1 e 5V2 450 500 200 8 1,11
Face ao comprimento das vigas analisadas e adotando uma discretização com elementos finitos de 0,1 m, foram definidos 201 pontos e 200 elementos. Com esta discretização conseguiram-se obter pontos na zona dos apoios, aplicação dos carregamentos externos e meio vão de cada tramo.
Para o esquema estrutural de viga destes exemplos, neste caso, dado as consideráveis dimensões da viga, interessa contabilizar o peso próprio da viga, variável que o programa computacional não tem em consideração. Assim, para obter aproximadamente a carga uniformemente distribuída referente ao peso próprio da viga, foram introduzidas quatro cargas pontuais de 9 kN distanciadas de 2,0 m, ao longo de cada vão.
Ao longo das vigas, a excentricidade dos cabos de pré-esforço é variável, razão pela qual foi necessário definir vários desviadores para simular a real configuração dos cabos no programa ANLv4, tendo-se também optado por não utilizar o programa inicial ANLv3. A área efetiva dos cabos considerada foi Ap = 4,0 cm2, com um módulo de elasticidade de 195 GPa. No programa ANLv4 foram definidos 5 desviadores, sendo que a posição de cada desviador e a carga axial inicial imposta nos troços dos cabos encontram-se definidas na Tabela 4.20. Ainda de referir que a excentricidade é positiva quando o cabo se encontra abaixo do eixo neutro.
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Tabela 4.20 – Definição dos desviadores das Vigas dos Exemplos 5.
D 1 2 3 4 5
x (m) 0,0 5,0 10,0 15,0 20,0
e (m) 0,00 0,15 - 0,10 0,15 0,00
N0 (kN) 448 448 448 448
Na Figura 4.17 são apresentados os diagramas para a Viga 5V1. Para a análise realizada para a Viga 5V1, de grosso modo, as diferenças entre o diagrama experimental e teórico são assinaláveis. Numa primeira fase, na fase elástica, conseguiu-se uma aproximação dos resultados bastante boa, traduzida na sobreposição das duas curvas. Quando é atingida carga de fissuração, os valores teóricos ANLv4 apresentam maior carga do que a registada experimentalmente, analogamente ao que ocorre na maioria dos exemplos apresentados. Na fase de fissuração é notável uma divergência de valores entre resultados teóricos e experimentais à medida que o deslocamento aumenta, apesar de se verificar uma boa concordância entre as curvas. As diferenças de valores ao longo desta fase estão intrinsecamente associadas ao ponto de fissuração determinado pelo programa ANLv4.Quando se atinge a fase de cedência, embora haja uma diferença substancial entre as cargas teóricas e experimentais, na curva ANLv4 a rigidez é reduzida consideravelmente conseguindo uma boa concordância entre ambos os diagramas. Para um deslocamento de 40 mm, o parâmetro de comparação da curva teórica em relação à experimental foi de 5,3%.
Figura 4.17 - Diagramas carga deslocamento P-δ para a Viga 5V1 dos Exemplos 5. Na Figura 4.18 são apresentadas os diagramas para a Viga 5V2. Para a Viga 5V2, de uma maneira geral conseguiu-se uma melhor aproximação entre as curvas do que no caso da Viga
400 450 500 550 600 650 700 0 50 100 150 200 250 300 0 20 40 60 80 N ( k N ) P ( k N ) δδδδ(mm) 5V1 - ANLv4 5V1 - Exp N - ANLv4
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5V1. Para a fase elástica, a curva teórica é praticamente coincidente com a curva teórica, sendo que o ponto de fissuração teórico é atingido para uma carga superior, apesar da menor diferença em relação à viga anterior (neste caso tem-se um ρ superior, e portanto a diferença não é tão significativa). Na fase de fissuração, em consequência da aproximação das cargas de fissuração experimental e teórica, os desvios ao longo desta fase são mais reduzidos, conseguindo-se uma maior aproximação entre as curvas, mas ainda assim os desvios são crescentes à medida que o deslocamento aumenta. Na fase de cedência, registam-se desvios consideráveis entre ambas as curvas, sendo que se consegue obter uma boa concordância das curvas nesta fase. Para um deslocamento de 37,5 mm, o parâmetro de comparação obtido foi de 2,3%.
Figura 4.18 - Diagramas carga deslocamento P-δ para a Viga 5V2 dos Exemplos 5. Dado o programa ANLv4 considerar os cabos de pré-esforço solidários com a viga, são consideradas deformações nos cabos, conferindo uma maior resistência por parte da viga. Também as modelações do betão em compressão e dos cabos pré-esforçados propostas pelos autores do artigo em questão, apresentam diferenças em relação às consideradas pelo programa ANLv4. Posto isto, seria de esperar uma sobreavaliação das cargas teóricas em relação às experimentais, como o que se verificou.
400 450 500 550 600 650 700 750 0 50 100 150 200 250 300 350 0 10 20 30 40 50 60 70 80 N ( k N ) P (k N ) δδδδ(mm) 5V2 - ANLv4 5V2 - Exp N- ANLv4