Exemplos, contraexemplos e análise de protótipos

É através dos conceitos que as pessoas podem caracterizar diferentes coisas, decidindo se pertencem ou não a uma dada classe. Uma das funções do conceito é permitir que se identifiquem exemplos e contraexemplos dessa categoria. “Em Geometria, um contraexemplo de um conceito é um exemplo em que falta pelo menos um atributo fundamental do conceito que está a ser considerado.” (Tsamir, Tirosh & Levenson, 2008, p. 92)

O NCTM (1991) salienta que para a construção de conceitos é importante que os alunos analisem exemplos e contraexemplos, comparando-os e diferenciando-os, e que procurem construir e apresentar outros modelos e seus contrários. Sendo

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“necessário que os alunos observem muitos exemplos de figuras correspondentes ao mesmo conceito geométrico, bem como uma variedade de figuras que não sejam exemplos desse conceito” (NCTM, 2007, p. 114). Assim, há a necessidade dos alunos estudarem e debaterem as características de diversas figuras que correspondam a exemplos e contraexemplos de um mesmo conceito, para que os mesmos sejam desenvolvidos e aperfeiçoados. Para Tsamir, Tirosh e Levenson (2008) existe uma necessidade do contacto com estes exemplos e contraexemplos para uma mais rápida e completa formação dos conceitos, sendo que os contraexemplos têm como função esclarecer os limites do conceito.

No final do seu estudo Hannibal (1999) destaca que no início da escolaridade as crianças estão a definir os limites e as características das figuras e a definir os seus conceitos de figuras. Nos primeiros anos é normal que muitas crianças reconheçam um atributo essencial (como por exemplo: “um triângulo ter três lados”) mas rejeitem a figura por esta ter um outro atributo não fundamental (como por exemplo, “mas é muito comprido para ser um triângulo”). Cabe ao professores ajudar as crianças a distinguir entre os atributos fundamentais (como o número de lados e de ângulos) e os não fundamentais para a categorização (como o tamanho, a proporção, a orientação ou a simetria no caso dos triângulos); apresentando-lhe uma ampla e variedade de exemplos, em vez de apenas algumas formas prototípicas.

A psicologia cognitiva apresenta diversas teorias que descrevem os processos de categorização e de formação de conceitos, nomeadamente a classical view e a

prototypical view (Smith & Medin, 1981). De acordo com a classical view é necessário

definir quais são os atributos que são partilhados por todos os exemplos (atributos que têm de ser necessários e suficientes) para se determinar se uma figura é ou não exemplo de uma categoria, bastando, nesse caso analisar e fazer uma listagem das propriedades que todos os elementos representativos do conceito têm de ter. A prototypical view considera que os conceitos variam de acordo com a dimensão da partilha de certas propriedades e consequentemente o grau de representação de cada exemplo do conceito, assim, esta visão determina se as figuras apresentadas são ou não exemplos da categoria baseando-se na sua comparação com as chamadas figuras prototípicas, que são

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primeiramente adquiridas. Quando falamos da Matemática, estas teorias referem-se principalmente à construção de conceitos geométricos. Começa-se por construir uma ideia mental que se baseia na perceção das semelhanças entre exemplos (e dos seus elementos característicos) que leva à construção de um conceito apenas parcial, só mais tarde com estudo dos exemplos se formam os conceitos que têm em conta os atributos percetíveis e não percetíveis. (Tsamir, Tirosh & Levenson, 2008)

De entre os exemplos e contraexemplos de determinada categoria podem identificar-se alguns como sendo considerados protótipos, que são os que são intuitivamente aceites como representativos desse mesmo conceito, sem que se sinta necessidade de o justificar (Tsamir, Tirosh & Levenson, 2008), ou seja, são exemplos típicos que servem de base e padrão às aprendizagens iniciais (Edwards & Harper, 2010). Estes exemplos prototípicos têm propriedades especiais que são dominantes e chamam a nossa atenção, tendo uma lista mais longa de propriedades. Também alguns contraexemplos podem ser considerados protótipos por serem rápida e instintivamente identificados como tal (Tsamir, Tirosh & Levenson, 2008). Nos estudos iniciais da Geometria estes protótipos podem ser importantes uma vez que permitem associar, por exemplo, os nomes aos vários tipos de polígonos (por exemplo: triângulos, quadriláteros ou pentágonos) e não polígonos (por exemplo: círculo) (Edwards & Harper, 2010).

O estudo e análise de exemplos e contraexemplos prototípicos são essenciais para a formação inicial dos conceitos, mas não são suficientes, dado que podem levar a uma imagem limitada. Alguns estudos sugerem mesmo que muitos alunos só identificam imagens prototípicas como sendo exemplos dos conceitos e identificando os outros exemplos como sendo contraexemplos (Hershkowitz 1989; Schwarz & Hershkowitz 1999; Wilson 1990 citados por Tsamir, Tirosh & Levenson, 2008), ou impedindo um reconhecimento correto de quais são realmente as propriedades essenciais e não essenciais (Edwards & Harper, 2010). Estes últimos autores salientam mesmo o facto de que uma grande maioria dos manuais escolares utilizados só ter imagens de polígonos regulares e prototípicos, dando assim ênfase apenas a algumas propriedades que caracterizam algumas figuras específicas.

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A utilização excessiva de protótipos pode impedir a aquisição completa dos conceitos. O uso de contraexemplos na sala de aula poderá diminuir o efeito negativo da utilização de protótipos, ao expor os alunos a contraexemplos que apresentem os mesmos atributos não significativos, poderá ajudar os alunos a começar a diferenciar os atributos que são realmente significativos. Quando falam de contraexemplos Tsamir, Tirosh e Levenson (2008) salientam ainda que estes, tal como os exemplos, podem ser intuitivos (quando são intuitivamente aceites como tal, sendo imediatamente identificados pelas crianças como tal) ou não intuitivos (quando são consideravelmente idênticos a exemplos do conceito e, consequentemente, são muitas vezes erradamente identificados como exemplos).

O NCTM (2007) dá como exemplo os triângulos recomendando que os alunos na sala de aula tenham oportunidade de observar conjuntos de triângulos que estejam posicionados de diferentes maneiras, com diferentes amplitudes de ângulos, e outras formas, que sendo semelhantes a triângulos, não o são realmente. Será no debate sobre estes exemplos e contraexemplos, protótipos e não protótipos que os alunos terão oportunidade de desenvolver e aperfeiçoar os seus conceitos geométricos.

É de salientar que de acordo com Tsamir, Tirosh e Levenson (2008) “a aquisição de conceitos geométricos é um processo complexo que inclui raciocínio visual e de atribuição. Nomear, intuir e brincar com protótipos desempenham um papel importante na conceptualização geométrica” (p. 85).