Exemplos de grupoides Morita equivalentes

Nesta sec¸ ˜ao damos v ´arios exemplos de grupoides Morita equivalentes.

Exemplo 1.5.31. Sejam G ⇒ X um grupoide transitivo e x ∈ X. Vamos mostrar que existe um bifibrado G

´e uma submers ˜ao sobrejetora. Al ´em disso,P ´e umGx-fibrado principal `a direita. De fato, P ⊂ G, logoGx age `a direita ao longo de s : P → {x} pela multiplicac¸ ˜ao do grupoideG. Esta ac¸ ˜ao ´e principal, pois a aplicac¸ ˜ao

s⁻¹{x} ×s tGx → s⁻¹{x} ×t ts⁻¹{x} (g, h) → (g, gh)

´e um difeomorfismo. De fato, se(g, k)∈s⁻¹{x} ×t ts⁻¹{x}, temoss(g) =s(k) = {x}e Por-tanto, um grupoide transitivo ´e Morita equivalente ao grupo de isotropia de qualquer ponto de sua base.

Como consequ ˆencia do exemplo anterior temos o seguinte.

Exemplo 1.5.32. Seja M uma variedade diferenci ´avel e Pair(M) ⇒ M o grupoide do par associado a M. Neste caso, temos (s, t) : M ×M → M × M, dada por (x, y) → (s(x, y), t(x, y)) = (x, y) ´e a identidade. Portanto, Pair(M) ´e um grupoide transitivo. Seja x ∈ M um ponto na base, ent ˜ao Pair(M)x = {(x, x)}, ou seja, a isotropia dePair(M) num pontox ´e o grupoide trivial com um ´unico objeto e uma

´unica flecha{(x, x)} ⇒ {x} e pelo exemplo acima Pair(M) ´e Morita equivalente a este grupoide trivial.

Exemplo 1.5.33. Suponha quep:N →M ´e uma submers ˜ao e sejaN p×pN ⇒N o grupoide de submers ˜ao associado. Vamos mostrar que existe um bifibrado

M

um bifibradoN : (M ⇒M)→(N p×pN), tal que a ac¸ ˜ao deM `a esquerda tamb ´em

´e principal. Logo,M ⇒M eN p×p N s ˜ao Morita equivalentes.

Exemplo 1.5.34. Dada uma cobertura {Uα}α∈Λ de uma variedade X por abertos, como no exemplo 1.1.11 temos o grupoide de ˇCech associado

α,βUα ∩ Uβ ⇒ X.

Como caso particular do exemplo anterior, o grupoide de ˇCech ´e Morita equivalente ao grupoide unitalX ⇒X (independentemente da cobertura escolhida).

Exemplo 1.5.35. Suponha queμ:K×N →N ´e uma ac¸ ˜ao livre e pr ´opria do grupo de LieK sobre a variedadeN. Ent ˜ao,M =N/K tem ´unica estrutura de variedade diferenci ´avel tal que a projec¸ ˜aop :N → N/K ´e submers ˜ao. Note que a aplicac¸ ˜ao KN →N _p×_pN, dada por(g, y)→(y, gy) ´e um isomorfismo de grupoides de Lie.

E pelo exemplo anterior,N p×pN ´e Morita equivalente aM ⇒M. Portanto,K N

´e Morita equivalente ao grupoide unitalN/K ⇒N/K.

Orbifolds

Neste cap´ıtulo introduzimos o conceito de orbifold diferenci ´avel efetivo segundo as definic¸ ˜oes dadas em [ALR07, MM03]. Veremos que, grosso modo, orbifolds s ˜ao espac¸os topol ´ogicos localmente homeomorfos a abertos de um espac¸o eu-clidiano m ´odulo a ac¸ ˜ao de um grupo finito de difeomorfismos. Portanto, orbifolds s ˜ao uma generalizac¸ ˜ao da ideia de variedade diferenci ´avel. Nas primeiras sec¸ ˜oes ser ˜ao apresentadas as definic¸ ˜oes b ´asicas, uma noc¸ ˜ao de morfismos entre orbi-folds e exemplos fundamentais. Nas ´ultimas sec¸ ˜oes, veremos que todo orbifold efetivo –a menos de isomorfismo– ´e um quociente de uma variedade por uma ac¸ ˜ao quase-livre e efetiva de um grupo de Lie compacto. Al ´em disso, ser ´a apresentada a correspond ˆencia entre orbifolds e grupoides de Lie. Ou seja, exibiremos uma correspond ˆencia biun´ıvoca entre classes de isomorfismos de orbifolds e classes de equival ˆencia de Morita de grupoides de Lie pr ´oprios, ´etale e efetivos, demonstrada originalmente em [MP97]. As principais refer ˆencias utilizadas neste cap´ıtulo s ˜ao:

[ALR07, Thu80, HB99, MM03, MP97, Moe02]

2.1 Orbifolds: definic¸ ˜ao e exemplos

Nesta sec¸ ˜ao apresentamos a definic¸ ˜ao formal da noc¸ ˜ao de orbifold efetivo e apre-sentamos os exemplos b ´asicos de tais espac¸os.

Por completude vamos comec¸ar definindo o conceito de ac¸ ˜ao efetiva

Definic¸ ˜ao 2.1.1. SejamK um grupo eZ um conjunto. Suponha queμ:K×Z →Z

´e uma ac¸ ˜ao de K emZ. Ent ˜ao, para cada k ∈ K temos uma bijec¸ ˜aoμ_k : Z → Z, dada por μ_k(z) = μ(k, z) = kz. Dizemos que a ac¸ ˜ao ´e efetiva se a aplicac¸ ˜ao ψ : K → Bij(Z), dada por ψ(k) = μ_k ´e injetora, onde Bij(Z) denota o conjunto de todas as bijec¸ ˜oes deZemZ. De forma equivalente, a ac¸ ˜ao ´e efetiva se dadok ∈K tal queμ_k = IdZ, ent ˜aok = 1K ´e o elemento neutro do grupoK.

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Definic¸ ˜ao 2.1.2. SejamQum espac¸o topol ´ogico en≥0um inteiro. Umacarta de orbifold em Q ´e uma tripla ( ˜U , G, ϕ), onde U˜ ´e um aberto conexo de Rⁿ, G ´e um grupo finito que age efetivamente em U˜ por difeomorfismos e ϕ : ˜U → Q ´e uma aplicac¸ ˜ao cont´ınua,G-invariante, tal queϕ( ˜U) ´e aberto emQe a aplicac¸ ˜ao induzida (tamb ´em denotadaϕ)ϕ : ˜U /G→ϕ( ˜U) ´e um homeomorfismo.

Observac¸ ˜ao 2.1.3. Se ( ˜U , G, ϕ) ´e uma carta de orbifold no espac¸o topol ´ogico Q, sempre denotaremos porU o aberto ϕ( ˜U)contido emQ.

Dadas cartas de orbifold ( ˜U , G, ϕ) e ( ˜V , H, ψ), dizemos que λ : ˜U → V˜ ´e um mergulho entre cartasseλ ´e um mergulho de classeC^∞eψ◦λ =ϕ.

Definic¸ ˜ao 2.1.4. Seja Q um espac¸o topol ´ogico. Um atlas de orbifold em Q ´e uma fam´ılia de cartas de orbifold emQ,{U˜_α, G_α, ϕ_α}α∈Γ que cobreQe tal que duas cartas( ˜U_α, G_α, ϕ_α)e( ˜U_β, G_β, ϕ_β)desta fam´ılia s ˜ao compat´ıveis no seguinte sentido:

SeU_α∩U_β =∅ondeU_θ =ϕ_θ( ˜U_θ)para todoθ ∈Γ, ent ˜ao para cada p∈U_α∩U_β existe um abertoW_p ⊂U_α∩U_β e uma carta de orbifold( ˜W_p, G_p, ψ_p)com mergulhos entre cartasλ_α : ˜W_p →U˜_α eλ_β : ˜W_p →U˜_β.

Dizemos que um atlas {U˜_α, G_α, ϕ_α}α∈Γ ´e um refinamento de {U˜_α, G_α, ϕ_α}α∈Γ

se para toda carta ( ˜U_α, G_α, ϕ_α) existe uma carta ( ˜U_β, G_β, ϕ_β) e um mergulho λ : U˜_β →U˜_α. Dizemos tamb ´em que dois atlases s ˜ao equivalentes se eles possuem um refinamento comum.

Definic¸ ˜ao 2.1.5. Um orbifold efetivode dimens ˜ao n ´e um espac¸o de Hausdorff e segundo cont ´avelQ, munido de uma classe de equival ˆencia de um atlas de orbifold n-dimensional emQ.

Os exemplos mais simples de orbifolds que podemos encontrar s ˜ao os seguin-tes:

Exemplo 2.1.6.SuponhaX uma variedade diferenci ´avel, com um atlas( ˜U_α, ϕ_α)α∈Γ, ondeU˜_α ⊂Rⁿ eϕ_α : ˜U_α →X ´e um homeomorfismo sobre um aberto deX. Ent ˜ao,

´e f ´acil ver que( ˜U_α,{1}, ϕ_α)α∈Γ ´e um atlas de orbifold emX. Assim, toda variedade pode ser vista como orbifold.

Exemplo 2.1.7. Suponha que U˜ ⊂ Rⁿ ´e um aberto, munido de uma ac¸ ˜ao efetiva de um grupo finitoG. Ent ˜ao, claramente o espac¸o quocienteU /G˜ tem estrutura de orbifold, pois pode ser coberto por uma ´unica carta de orbifold( ˜U , G, π : ˜U →U /G˜ ). Note que todo orbifold ´e localmente como um desses.

Definic¸ ˜ao 2.1.8. SejaX uma variedade diferenci ´avel munida de uma ac¸ ˜ao de um grupoG. Dizemos que um aberto S⊂ X ´eG-est ´avelse satisfaz a seguinte propri-edade: para todog ∈G, tem-seg(S) = Soug(S)∩S=∅. SeS ´eG-est ´avel, vemos queG_S :={g ∈G|g(S) = S} ´e um subgrupo deG.

Uma classe de exemplos um pouco menos trivial e que cont ´em os dois exemplos anteriores ´e dada pela seguinte proposic¸ ˜ao:

Proposic¸ ˜ao 2.1.9. SejaXuma variedade diferenci ´avel munida de uma ac¸ ˜ao efetiva de um grupo finitoG. Ent ˜ao,X/Gtem estrutura de orbifold.

Demonstrac¸ ˜ao: ComoG ´e um grupo finito, podemos cobrir a variedadeXpor aber-tos G-est ´aveis S_α, de modo que cada S_α esteja contido em alguma carta ( ˜U_α, ϕ_α) de X. Desta forma, temos uma estrutura de orbifold em X/G, com cartas dadas

por(S_α, ϕ⁻¹_α G_Sαϕ_α, π|Sα ◦ϕ_α).

Observac¸ ˜ao 2.1.10. Um orbifold da forma X/G como na Proposic¸ ˜ao 2.1.9 ´e cha-mado deorbifold quociente efetivo global.

Vejamos dois exemplos de quocientes efetivos globais.

Exemplo 2.1.11. Sejam X = B(0,1) = {z ∈ C||z| < 1} e C_n o grupo c´ıclico de ordem n, formado pelas ra´ıses n- ´esimas da unidade. Ent ˜ao, C_n age em X por rotac¸ ˜oes da seguinte forma:

C_n×X → X (g, z) → m(g, z)

Onde m ´e a multiplicac¸ ˜ao de n ´umeros complexos. Esta ac¸ ˜ao ´e efetiva, logo o quociente X/C_n tem estrutura de orbifold efetivo (coberto por uma ´unica carta de orbifold). Note que topologicamente o quociente ´e novamente o disco aberto X, por ´em a origem ´e o ´unico ponto com isotropia n ˜ao trivial. Assim,X/C_n ´e pensado como um cone, onde o v ´ertice corresponde `a classe de0emX/C_n.

Exemplo 2.1.12. Outro exemplo de quociente efetivo global ´e o seguinte. Considere X=R² eG < Diff(R²)o subgrupo gerado pela reflex ˜ao

σ : R² → R² (x, y) → (x,−y)

Ent ˜ao, X/G ´e um orbifold. Aqui o espac¸o topol ´ogico subjacente ´e H = {(x, y) ∈ R²|y ≥ 0}. Note ainda que podemos generalizar esse exemplo para mostrar que toda variedade com bordoN admite uma estrutura de orbifold. Basta ver queN ´e o quociente de seu dobro por uma ac¸ ˜ao via reflex ˜ao atrav ´es do bordo∂N.

Exemplo 2.1.13. Suponha que X ´e uma variedade. Ent ˜ao o grupo sim ´etrico age em Xⁿ via permutac¸ ˜ao de coordenadas. Assim, Xⁿ/S_n ´e um orbifold quociente efetivo global.

A seguir vamos fazer algumas definic¸ ˜oes, enunciar e demonstrar alguns resul-tados que ajudar ˜ao a deixar mais claro o que de fato ´e um orbifold e qu ˜ao longe um orbifold est ´a de ser uma variedade diferenci ´avel. O seguinte lema, sobre grupos finitos de difeomorfismos de variedades, ´e um resultado muito importante para o estudo de quest ˜oes locais em orbifolds. Sua demonstrac¸ ˜ao pode ser encontrada em [MM03].

Lema 2.1.14. Sejam X uma variedade diferenci ´avel, G ≤ Diff(X) um subgrupo finito de difeomorfismos de X, eπ : X →X/G a aplicac¸ ˜ao quociente can ˆonica. Se U ⊂X ´e um aberto conexo ef :U →X ´e aplicac¸ ˜ao diferenci ´avel tal queπ◦f =π, ent ˜ao existe um ´unicog ∈G, tal quef =g|U.

Proposic¸ ˜ao 2.1.15. Valem as seguintes afirmac¸ ˜oes:

(i) Dados dois mergulhos λ, μ : ˜U → V˜ entre duas cartas de orbifold ( ˜U , G, ϕ), ( ˜V , H, ψ), existe um ´unicoh∈H tal queμ=h◦λ.

(ii) Como consequ ˆencia do item acima cada mergulho λ : ˜U → V˜ induz um ho-momorfismo de grupos injetor λ :G→H.

(iii) Se h ∈ H ´e tal que λ( ˜U) ∩(h ◦ λ)( ˜U) = ∅, ent ˜ao h ∈ Im(λ) e portanto λ( ˜U) = h◦λ( ˜U).

(iv) Se as ac¸ ˜oes dos grupos finitosG_α nos abertosU˜_α s ˜ao livres, ent ˜aoX ´e local-mente euclidiano e portanto uma variedade diferenci ´avel.

Demonstrac¸ ˜ao:

(i) Comoλ ´e um difeomorfismo sobre sua imagem, temosλ⁻¹ : λ( ˜U) ⊂ V → U˜ diferenci ´avel. Assim, μ◦λ⁻¹ : λ( ˜U) ⊂ V → V ´e uma aplicac¸ ˜ao diferenci ´avel.

Por serem mergulhos entre cartas, sabemos que ψ◦λ=ϕeψ◦μ=ϕ. Logo, ψ ◦μ◦λ⁻¹ = ϕ◦λ⁻¹ = ψ. Portanto, pelo lema2.1.14, existe ´unico h ∈ H tal queμ◦λ⁻¹ =h, ou equivalentementeμ=h◦λ.

(ii) De fato, cadag ∈ G ´e um difeomorfismog : ˜U → U, logo˜ λ◦g : ˜U →V˜ ´e um mergulho. Ent ˜ao, pelo item (i)existe ´unicoh∈H tal queλ◦g =h◦λ.Defina λ(g) = h. Assim, λ ´e homomorfismo, pois λ◦g₁ = h₁◦λ e λ◦g₂ = h₂ ◦λ implicamλ◦g₁◦g₂ =h₁◦λ◦g₂ =h₁◦h₂◦λ, o que implicaλ(g₁g₂) =λ(g₁)λ(g₂). Por fim,λ ´e injetor, poisλ(g) = eimplicaλ(gx) = λ(x)para todox∈U˜, como λ ´e injetora, seguegx= xpara todox∈ U, como a ac¸ ˜ao ´e efetiva temos que˜ g =e.

(iii) SejaZ =λ( ˜U)∩(h◦λ)( ˜U). Ent ˜ao, temos uma aplicac¸ ˜ao diferenci ´avelλ⁻¹◦h◦λ: independe da escolha de uma carta a menos de isomorfismo.

Seja( ˜V , H, ψ)outra carta em torno dexcomψ(˜y) = x. Pela definic¸ ˜ao de orbifold G_x˜, o grupo de isotropia do pontox. E definimos o˜ grau de singularidadedo ponto xcomo|G_x˜|, a ordem do grupoG_x˜.

Note que pelas observac¸ ˜oes do par ´agrafo acima, o grupo de isotropia emxest ´a bem definido a menos de isomorfismo e por este motivo o grau de singularidade de x est ´a bem definido (n ˜ao depende da escolha da carta ( ˜U , G, ϕ) e nem do ponto escolhido emϕ⁻¹(x))

Definic¸ ˜ao 2.1.17. SejaQum orbifold. Dizemos quex∈Q ´e um pontoregularse o seu grau de singularidade ´e1, ou seja, se o grupo de isotropia emx ´e trivial. Caso contr ´ario o pontox ´e dito singular. Denotaremos porΣ(Q) :={x ∈Q|G_x˜ ={1}}o conjunto dos pontos singulares do orbifoldQ.

Observac¸ ˜ao 2.1.18. O conjunto de singularidadesΣ(Q) ´e um conjunto fechado em Qe possui interior vazio. E o complementar deste conjunto,Q\Σ(Q)tem estrutura de variedade diferenci ´avel.

Vejamos agora um exemplo de quociente efetivo global por uma ac¸ ˜ao num toro.

Exemplo 2.1.19. Seja Tⁿ = (S¹)ⁿ. O grupo GLn(Z) age em Rⁿ levando Zⁿ em Zⁿ, portanto isto induz uma ac¸ ˜ao deGLn(Z) em Rⁿ/Zⁿ = Tⁿ. Assim, para encon-trarmos exemplos de orbifolds como quocientes, basta encontrar subgrupos finitos deGLn(Z). Por exemplo, tomando a involuc¸ ˜ao −Id : R⁴ → R⁴, temos um orbifold quocienteT⁴/{σ,−σ}, onde

σ :T⁴ →T⁴; (e^it1, e^it2, e^it3, e^it4)→(e^−it1, e^−it2, e^−it3, e^−it4)

Este orbifold ´e chamado de superf´ıcie de Kummer e possui 16 pontos singulares isolados.

Definic¸ ˜ao 2.1.20. Uma ac¸ ˜ao de um grupo de Lie K em uma variedade X ´e dita quase-livre se, para todo x ∈ X o grupo de isotropia do ponto x, K_x := {g ∈ K|gx=x} ´e finito.

Definic¸ ˜ao 2.1.21. Suponha que K ´e um grupo de Lie que age em uma variedade X viaμ:K ×X →X. Uma subvariedade mergulhadaS_x ⊂X ´e chamada de slice no pontoxse satisfaz as seguintes propriedades:

(i) O grupo de isotropia do pontoxpreservaS_x,i.e.para todog ∈K_x e para todo s ∈S_x vale gs∈S_x.

(ii) Se g ∈ K ´e tal que para algum s ∈ S_x, vale gs ∈ S_x, ent ˜ao g ∈ K_x ´e um elemento da isotropia.

(iii) O conjuntoKS_x :={gs ∈X|g ∈K_x es ∈S_x} ´e um aberto emX.

(iv) A restric¸ ˜ao da ac¸ ˜ao μ, μ : K × S_x → KS_x ⊂ X induz um difeomorfismo μ: (K×S_x)/K_x→KS_x. Aqui(K×S_x)/K_x ´e o quociente pela ac¸ ˜aoK_x×(K× S_x)→(K×S_x), dada porh(g, s) = (gh⁻¹, hs).

A seguir enunciamos o teorema devido a Palais [Pal61] sobre a exist ˆencia de slices para ac¸ ˜oes pr ´oprias. Uma demonstrac¸ ˜ao acess´ıvel pode ser encontrada em [AB09].

Teorema 2.1.22(Exist ˆencia de slices). Suponha queμ : K×X → X ´e uma ac¸ ˜ao pr ´opria de um grupo de LieK sobre uma variedade X. Ent ˜ao, para todo x ∈ X, existe um sliceS_x no pontox.

Agora veremos um teorema que nos d ´a condic¸ ˜oes suficientes para que o espac¸o quociente de uma variedade diferenci ´avelX pela ac¸ ˜ao de um grupo de LieK seja um orbifold. O teorema a seguir ´e consequ ˆencia do teorema de exist ˆencia de slices e fornece outra classe de exemplos de orbifolds.

Teorema 2.1.23. SejaK um grupo de Lie que age suavemente numa variedadeX, tal que a ac¸ ˜ao ´e efetiva, pr ´opria e quase-livre. Ent ˜ao, a ac¸ ˜ao induz uma estrutura de orbifold efetivo no quocienteX/K.

Definic¸ ˜ao 2.1.24. Um orbifoldX/K obtido como no teorema acima ´e chamado de orbifold quociente efetivo.

Um fato interessante ´e que, todo orbifold efetivoQ ´e isomorfo a um orbifold quo-ciente efetivo (ver 2.2.2 para a definic¸ ˜ao de isomorfismo entre orbifolds). Veremos uma demonstrac¸ ˜ao deste fato mais adiante.(vide Sec¸ ˜ao 2.3).

Exemplo 2.1.25. Sejam,p, qinteiros primos entre si. Ent ˜ao, temos uma ac¸ ˜ao efetiva e quase-livre deS¹ emS³ ⊂C×C, dada por:

S¹×S³ →S³; (w,(z₁, z₂))→(w^pz₁, w^qz₂)

A ac¸ ˜ao ´e pr ´opria posS¹ ´e compacto. Logo, pelo teorema 2.1.23, segue queS³/S¹ tem estrutura de orbifold.

Embora todo orbifold seja um quociente efetivo, pode-se mostrar que existem orbifolds quen ˜ao s ˜aoquocientes efetivos globais. Por exemplo, demonstraremos no cap´ıtulo 3 que qualquer orbifold da forma S³/S¹ como no Exemplo 2.1.25 n ˜ao

´e um quociente global, utilizando para isto a noc¸ ˜ao de grupo fundamental de um orbifold.(Ver Exemplo 3.1.21 e Exemplo 3.3.13).